初中数学人教版七年级上册1.2.4 绝对值学案

绝对值（提高）

【学习目标】

1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；

2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；

3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；

4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.

【要点梳理】

要点一、绝对值

1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.

要点诠释：

（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．

（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．

要点二、有理数的大小比较

1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．

2.法则比较法：

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：

要点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．

3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．

4. 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立． 若a、b为任意负数，则与上述结论相反．

5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.

【典型例题】

类型一、绝对值的概念

1．计算：（1）  （2）|-4|+|3|+|0|   （3）-|+(-8)|

【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.

解：(1) ，

    (2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，

    (3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．

【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．

2．若|a﹣1|=a﹣1，则a的取值范围是（　　）

A. a≥1            B. a≤1       C. a＜1         D. a＞1

【思路点拨】根据|a|=a时，a≥0，因此|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，即可求得a的取值范围．

【答案】A

【解析】

解：因为|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，

解得：a≥1，

【总结升华】此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

举一反三：

【变式1】 若a＞3，则|6﹣2a|=　  　（用含a的代数式表示）．

【答案】2a-6

【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为        ．

如果｜x－2｜＝1，那么x＝         ；

          如果｜x｜＞3，那么x的范围是           ．

【答案】6或-6；1或3；或

【变式3】已知| a |＝3，| b |＝4，若a，b同号，则| a +b |＝_________；若a，b异号，则| a+b |＝________．据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系．

【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，

由此可得：|a+b|≤|a|+|b| .

类型二、比大小

3． 比较下列每组数的大小：

    (1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)与；(4)与．

【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．

【答案与解析】

解： (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．

          因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．

(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．

(3)化简得：．这是两个负数比较大小，因为，，且．所以．

    (4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．

【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．

举一反三：

【高清课堂：绝对值比大小   例（简单举例）】

【变式1】比大小：

（1）       －0.3        （2）      ．

【答案】＞；＞

【高清课堂：绝对值比大小     典型例题2（最后两个）】

【变式2】比大小：（1）______－1.384；（2） －π___－3.14．

【答案】＞；＜

【变式3】若m＞0，n＜0，且|m|＞|n|，用“＞”把m，-m，n，-n连接起来．

【答案】解法一：∵  m＞0，n＜0，

    ∴  m为正数，-m为负数，n为负数，-n为正数．

    又∵  正数大于一切负数，且|m|＞|n|，

    ∴  m＞-n＞n＞-m．

           解法二：因为m＞0，n＜0且|m|＞|n|，

把m，n，-m，-n表示在数轴上，如图所示．

    ∵  数轴上的数右边的数总比左边的数大，

    ∴  m＞-n＞n＞-m．

类型三、含有字母的绝对值的化简

4.若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|=　            ．

【思路点拨】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； 当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．

【答案】2x﹣3．

【解析】

解：原式=x+1﹣（﹣x+4），

=x+1+x﹣4，

=2x﹣3.

【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x﹣4的正负性．

举一反三：

【变式1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：
　　　　　
　　

化简：.
【答案】

解：由图所示，可得．
　　∴ ，，，
　　∵
　　　　　 ．
　　∴ 原式．

【变式2】求的最小值．

【答案】

解法一：当时，则

       当时，则

       当时，则

综上：当时，取得最小值为：5.

解法二：借助数轴分类讨论： ①； ②； ③.
　　　　的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和．
　　　　　　　　　　　　

由图明显看出时取最小值．
所以，时，取最小值5.

类型四、绝对值非负性的应用

5. 已知a、b为有理数，且满足：，则a=_______，b=________．

【答案与解析】由，，，可得 ∴

【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．

举一反三：

【变式1】已知，则x的取值范围是________．

【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，．

【变式2】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．

【答案】解：由题意得 ∴       所以，

类型五、绝对值的实际应用 

6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．

【答案与解析】

解：因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．

【总结升华】绝对值越小，越接近标准.

 举一反三：

【变式】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?

【答案】

解：小虫爬行的总路程为：

|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)

小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)

答：小虫一共可以得到108粒芝麻.