初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形学案

全等三角形判定二（ASA，AAS）（提高）

【学习目标】

1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．

2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．

【要点梳理】

【高清课堂：379110 全等三角形判定二，知识点讲解】

要点一、全等三角形判定3——“角边角”

全等三角形判定3——“角边角”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.

要点二、全等三角形判定4——“角角边”

1.全等三角形判定4——“角角边”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.

2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

要点三、判定方法的选择

1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：

2.如何选择三角形证全等

（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；

（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

【典型例题】

类型一、全等三角形的判定3——“角边角” 

1、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.

【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF

【答案与解析】 

证明：    ∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠C

          ∵BF平分∠ABC

          ∴∠ABC＝2∠CBF

          ∵∠ABC＝2∠ADG

          ∴∠CBF＝∠ADG

在△DAE与△BCF中

∴△DAE≌△BCF（ASA）

∴DE＝BF

【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．

举一反三：

【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例7】

【变式】已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．

求证：HN＝PM.

【答案】

证明：∵MQ和NR是△MPN的高，

      ∴∠MQN＝∠MRN＝90°，

      又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4

      ∴∠1＝∠2

      在△MPQ和△NHQ中，

      ∴△MPQ≌△NHQ（ASA）

      ∴PM＝HN

类型二、全等三角形的判定4——“角角边” 

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C点作直线l，点 D，E在直线l上，连接AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°．求证：△ADC≌△CEB．

【思路点拨】先证明∠DAC=∠ECB，根据AAS证△ADC≌△CEB．

【答案与解析】

证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）．

【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

举一反三：

【变式】如图，给出下列四组条件：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF；

②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；

③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；

④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．

其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（　　）

A.1组      B.2组      C.3组      D.4组

【答案】C．

解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．

第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．

第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．

第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．

所以有3组能证明△ABC≌△DEF．

故符合条件的有3组．

故选：C．

3、平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF＋BF＝2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．

【思路点拨】过B作BH⊥CE与点H，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF＋BF＝2CE．

【答案与解析】

解：图2，AF＋BF＝2CE仍成立，

证明：过B作BH⊥CE于点H，

∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90°

∴∠CBH＝∠ACE

      在△ACE与△CBH中，

∴△ACE≌△CBH．（AAS）

∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝EF，

∴AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝CH＋EF＋HE＝CE＋EF＝2EC．

【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键.

举一反三：

【变式】已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证；当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.

窗体底端【答案】

解：图2成立；

     证明图2：

     过点作

     则

在△AMD和△DNB中，

∴△AMD≌△DNB（AAS）

∴DM＝DN

∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°，

∴∠ MDE＝∠NDF

在△DME与△DNF中，

∴△DME≌△DNF（ASA）

∴

∴

可知，

∴

类型三、全等三角形判定的实际应用　

4、小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？

【思路点拨】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．

【答案与解析】

解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，

∴∠DCP=∠APB=54°，

在△CPD和△PAB中

∵，

∴△CPD≌△PAB（ASA），

∴DP=AB，

∵DB=36，PB=10，

∴AB=36﹣10=26（m），

答：楼高AB是26米．

【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．