人教版八年级上册13.3.2 等边三角形学案及答案

【巩固练习】

一.选择题

1. 如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的长为（　　）

　 A．2       B．3      C．4      D．5

2．如图，B、C、D在一直线上，△ABC、△ADE是等边三角形，若CE＝15，CD＝6，则 AC＝（      ）

A.9         B.8         C.7         D.10

3. 已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，与P关于OB对称，与P关于OA对称，则，与O三点构成的三角形是（    ）

   A.直角三角形    B.等腰三角形     C.等边三角形      D.视P点的位置而定

4. 如图，木工师傅从边长为90的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（　　）

A.34         B.32         C.30         D.28

5. 已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的任意一点，连接AD并作等边三角形ADE，若DE⊥AB，则的值是（　　）

A.           B.           C.1            D.

6. 如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN．其中，正确结论的个数是（　　）

A.3个         B.2个        C.1个       D.0个

二.填空题

7. 如图，已知AB＝AC＝BC＝AD,則∠BDC＝_________.

8．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，∠EDC＝∠BAC，AE＝AF，∠B＝60°，则图中的线段: AF、BF、AE、CE、AD、BD、DC、DF中与DE的长相等的线段有        条.

9. 如图，已知ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2，则BC＝_____.

10.如图，AB=AC=AD=4cm，DB=DC，若∠ABC为60度，则BE为　   　，∠ABD=　    　°．

11．在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AD为△ABC的中线，则∠ADC=　    　．

12．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则＝           ．

三.解答题

13.已知△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM相交于点Q．下面给出了三种情况（如图①，②，③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM是否为定值并利用其中一图证明你的结论．

14.如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；

（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．

15. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目.

    小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

    当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE______DB（填“＞”,“＜”或“＝”）.

    （2）一般情况，证明结论

     如图2，过点E作EFBC，交AC于点F.

    （请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明）

     证明：

【答案与解析】

1. 【答案】C；

   【解析】解：作PH⊥MN于H，如图，

∵PM=PN，

∴MH=NH=MN=1，

在Rt△POH中，∵∠POH=60°，

∴∠OPH=30°，

∴OH=OP=×10=5，

∴OM=OH﹣MH=5﹣1=4．

故选C．

2. 【答案】A；

   【解析】证△ABD≌△ACE，AC＝BC＝BD－CD＝CE－CD＝15－6＝9.

3. 【答案】C；

【解析】根据对称性，∠＝60°，且.

4. 【答案】C ；

【解析】图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以正六边形的周长是正三角形的周长的，正六边形的周长为90×3×＝180，所以正六边形的边长是180÷6＝30．

5. 【答案】C；

【解析】根据题意：若DE⊥AB，必有∠BDE＝30°，而∠EDA＝60°；故AD⊥BC；即BD＝DC；故的值是1．

6. 【答案】B；

【解析】①②正确. 证△ACE≌△DCB（SAS），△EMC≌△BNC（ASA）.

二.填空题

7. 【答案】150°；

   【解析】设∠CBD＝，∠BCD＝，由题意∠ADB＝60°＋，∠ADC＝60°＋，△BCD中，＋＋60°＋＋60°＋＝180°,＋＝30°，所以∠BDC＝150°.

8. 【答案】3；

   【解析】由题意可得∠DEC＝60°，△AFD≌△AED，易证△BFD为正三角形，故BD＝BF＝FD＝DE.

9. 【答案】12；

   【解析】连接AD，反复利用30°所对直角边等于斜边的一半.

10.【答案】2cm，75；

   【解析】解：①∵AB=AC，∠ABC为60度，

∴△ABC为等边三角形．

在△ABD和△ACD中，

∵，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD=∠CAD，

∴AE是BC边的中垂线，

∴BE=BC=2cm；

②∵AB=AD（已知），

∴∠ABD=∠ADB（等边对等角），

∴∠ABD=（180°﹣∠BAD）=（180°﹣30°）=75°．

11.【答案】45°；

   【解析】过C作CE⊥AB于点E，

则有∠AEC=∠BEC=90°，

∵∠CAB=45°，∠B=30°，

∴∠ACE=∠CAB=45°，∠BCE=60°，

∴AE=CE，

∵AD为三角形的中线，

∴BD=CD=DE=BC，

∴∠BED=30°，

∴△CED是等边三角形，

∴DE=CE=AE，∠CDE=60°，

∴∠ADE=∠DAE=∠BED=15°，

∴∠ADC=∠CDE﹣∠ADE=45°．

故答案为：45°．

12．【答案】；

   【解析】证△CBD≌△ACE，∠BCD＝∠CAE，因为∠ACF＋∠BCD＝60°，∠CAE＋∠ACF＝∠AFG＝60°，所以∠FAG＝30°，所以＝.

三.解答题

13.【解析】

解：∠BQM为定值．

理由：如图①∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC

∵BM＝CN

∴△ABM≌△BCN（SAS）

∴∠BAM＝∠CBN（全等三角形的对应角相等），

∴∠BQM＝∠BAQ＋∠ABQ＝∠CBQ＋∠ABQ＝∠ABC＝60°

即∠BQM为定值．

图②中：∠BQM＝∠ABN＋∠BAM

∵△ABM≌△BCN

∴∠BAM＝∠CBN

∴∠BQM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°

图③中：

∠BQM＝∠N＋∠NAQ

∵△ABM≌△BCN，

∴∠N＝∠M，且∠NAQ＝∠CAM，

又∵∠ACB＝∠M＋∠CAM＝∠N＋∠NAQ，

且∠BQM＝∠N＋∠NAQ，

∴∠BQM＝∠ACB＝60°．

14.【解析】

解：（1）△ODE是等边三角形，

其理由是：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵OD∥AB，OE∥AC，

∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°

∴△ODE是等边三角形；

（2）答：BD=DE=EC，

其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，

∴∠ABO=∠OBD=30°，

∵OD∥AB，

∴∠BOD=∠ABO=30°，

∴∠DBO=∠DOB，

∴DB=DO，

同理，EC=EO，

∵DE=OD=OE，

∴BD=DE=EC．

15.【解析】

解：（1）＝

（2）证明：在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC

∵EF∥BC

∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，且∠CEF＝∠ECD，

∴AE＝AF＝EF，

∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.

∵ED＝EC，

∴∠EDB＝∠ECB，∠CEF＝∠EDB

∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，

∴∠BED＝∠FCE，

∴△DBE≌△EFC

∴DB＝EF，

∴AE＝BD.