四川省内江市第六中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学（理）试题（创新班） 含答案

内江六中2021—2022学年（上）高23届第1次月考

创新班理科数学试题

考试时间：120分钟     满分：150分

第Ⅰ卷 选择题（满分 60分）

一、选择题（每题5分，共60分）

1．过点且平行于的直线方程为（    ）

A．   B．  C．  D．

2．如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形，斜边长，那么原平面图形的面积是（ ）

A．2     B．    C．      D．

3．下列命题中错误的是（    ）

A．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面

B．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面

C．如果平面平面，平面平面，，那么平面

D．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

4．已知直线与直线垂直，且与圆相切，切点位于第一象限，则直线的方程是（    ）．

A．   B．   C．     D．

5．已知圆柱中，点，，为底面圆周上的三点，为圆柱的母线，，，则点到平面的距离为（    ）

A． B．1 C． D．

6．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（    ）

A． B． C．    D．

7．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，则下列说法错误的是（    ）

A．              B．平面

C．平面      D．与是异面直线

8．关于x，y的方程（m﹣1）x2+my2＝m（m﹣1）（m∈R）表示的曲线不可能是（　　）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线

9．如图，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，点分别为线段的中点，则下列说法错误的是（    ）

A．              B．三棱锥的体积为定值

C．      D．的最小值为

10．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（    ）

A．    B．      C．      D．

11．已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，我们可以通过找对称点的方法求解两条线段之和的最小值，则的最小值为（    ）

A．8 B． C． D．

12．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）．

A． B． 

C． D．

                 第Ⅱ卷 非选择题（满分 90分）

二、填空题（每题5分，共20分）

13．已知实数满足线性约束条件则目标函数的最大值是_______

14．直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为________．

15．如图1所示的几何模型是由一个半圆和矩形组成的平面图形，将半圆沿直径折成直二面角（如图2）后发现，在半圆弧（不含、点）上运动时，三棱锥的外接球始终保持不变，若，，则该三棱锥外接球的表面积为______．

16．如图，已知P为椭圆C：上的点，点A、B分别在直线与上，点O为坐标原点，四边形为平行四边形，若平行四边形四边长的平方和为定值，则椭圆C的离心率为________．

三、解答题（共70分）

17．（本小题满分10分）

已知的三个顶点.

（1）求过点A且垂直于的直线方程；

（2）求过点B且与点A，C距离相等的直线方程.

18．（本小题满分12分）

根据下列条件求圆的标准方程：

（1）过两点，且它的圆心在直线上；

（2）圆心在直线上，且与直线相切于点．

19．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD是矩形，，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF⊥平面ABCD；

（1）求证：AF⊥平面BEG；

（2）若，求直线EG与平面ABG所成的角的正弦值.

20．（本小题满分12分）

已知的顶点，点B在x轴上移动，，且BC的中点在y轴上．

（1）求C点的轨迹的方程；

（2）已知轨迹上的不同两点M，N与的连线的斜率之和为4，求证：直线MN过定点．

21．（本小题满分12分）

如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.

（1）求证：平面.

（2）在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分12分）

已知椭圆的焦距为，过椭圆的焦点且与轴垂直的弦的长为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，是椭圆的右焦点，，(不在轴上)是椭圆上关于轴对称的两点，直线交椭圆于另一点，若是外接圆的圆心，求的最小值。

参考答案

1．C

设与直线平行的直线方程为，

又由直线过点，代入可得，解得，

即所求直线的方程为.

2．B

根据斜二测画法可得原图形为如图所示，

因为是等腰直角三角形，根据斜二测画法可得为直角三角形，

，，，

所以原平面图形的面积是.

故选：B.

3．B

4．A

由题意，设直线的方程为．圆心到直线的距离为，得或（舍去），故直线的方程为．

5．A

如图所示，由题意知：平面，平面，

∴平面平面，又面面，∴过点作，则平面，即为点到平面的距离，

在△中，，故，

故选：A

6．C

抛物线的焦点坐标为，

所以椭圆中，，．

7．D

对A，如图所示，连接，

因为点为中点，

所以，在正方体中易得，

所以，故A正确；

对B，如图所示，连接交于点，

连接，与交于点，连接，

在正方体中，易得，，

所以四边形为平行四边形，

则，又为中点，

点在上，则易知点为的中心点，

因为点为中点，所以，

又平面，平面，

所以平面，故B正确；

对C，如图所示，连接，

在正方体中，易知，

所以平面，又平面，

所以，

又为，中点，则，又，所以，

所以平面，故C正确；对D，如图所示，连接，

易知：又，则，所以与共面，故D错误.

8．C

对于方程（m﹣1）x2+my2＝m（m﹣1），

①当m＝1时，方程即y2＝0，即 y＝0，表示x轴；

②当m＝0时，方程即x2＝0，即 x＝0，表示y轴；

③当m≠1，且 m≠0时，方程即，

若m＝m﹣1，即m∈∅时，方程不可能是圆；

若m（m﹣1）＜0，方程表示双曲线；

若m（m﹣1）＞0且m≠m﹣1，方程表示椭圆．

综合可得：方程不可能是抛物线与圆．

9．D

由平面，可得，则

由，可得平面

又平面，则，所以A项命题正确；

由于M，N分别为中点，可得∥

因为点P在上，所以点P到平面的距离为定值，

则三棱锥的体积

由于和h都为定值所以三棱锥的体积为定值，所以B项命题正确；设，由对称性可得，则

当P与C重合时，，此时，达到最小为，当交于P时，由等面积法可得，此时，达到最大为，所以C项命题正确；

将平面与平面沿展成平面图，当交于P时，可得，此时为最小值，

所以D项命题错误；故选D。

【点睛】

本题考查命题真假判断，空间几何体中直线与平面垂直，几何体的体积，以及余弦定理求夹角，以及夹角最值问题，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属于中档题。

10．D

设双曲线的方程为，则，因为AB＝BC＝CD，

所以，所以，因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以在双曲线上，代入可得，解得，所以双曲线的离心率为.

11．D

由题意，知抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，点在抛物线上，点为直线上的动点，

设关于直线的对称点，作图如下，利用对称性质知：，则即点在位置时，的值最小，等于，

利用两点之间距离知，则的最小值为

12．B

设正方体边长为，建立如图所示空间直角.则，设，则，由于使，，所以是平面的法向量，所以，由于，所以，，，所以，，由于，所以

13．

14．

15．．

由题意，如图，将半圆沿直径折成直二面角，设半圆的圆心为，

可得半圆面，设外接球的球心为，则面，

取的中点，则垂直平分，即为外接球的半径，

且四边形为长方形，

是直角三角形，所以半径，

三棱锥的高不变，

三棱锥外接球的半径，

从而可得该三棱锥外接球的表面积．

故答案为：．

16．

（法一）设，则直线的方程为，直线方程为，联立方程组，解得，

联立方程组，解得，

则，

又点P在椭圆上，则有，因为为定值，

则．

法二：设，由和中点相同，则，所以

平行四边形性质边长平方和等于为定值，又点P在椭圆上，则有，因为为定值，则．

17．（1）；（2）或.

18．（1）；（2）．

19．（1）证明见解析；（2）.

（1）因为且，

所以，所以，

又因为，所以，所以，

所以，所以，

又因为平面，平面，所以，

又，所以平面；

（2）据题意，建立空间直角坐标系如下图所示：

因为，所以，所以，

所以，所以，

所以，所以，

设平面的一个法向量为，，

由可得，取，所以，

设直线与平面所成角大小为，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．（1）；（2）证明见解析.

（1）设，因为B在x轴上且BC中点在y轴上，所以，
由，得，
化简得，所以C点的轨迹的方程为．

（2）证明：设直线MN的方程为，，，
由得，
所以，，，同理，
所以，所以，所以

所以，所以，即，
所以直线MN过定点．

21．（1）证明见解析；（2）存在，.

（1）平面平面，平面平面，，平面，平面，

则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，

，，

设平面的法向量为，

则，令，解得：，，，

又，，即，

又平面，平面.

（2）假设在线段上存在点，使二面角的大小为.

设，则，.

设平面的一个法向量为，

则，令，解得：，，，又平面的一个法向量为，

，即，解得：或(舍去)，此时，在线段上存在点，使二面角的平面角的大小为，此时.

22．（1）；（2）最小值为.

（1）由题知，，解得.由椭圆的对称性，不妨取椭圆的右焦点，将代入椭圆，得，

所以过椭圆的焦点且与轴垂直的弦的长为，

所以，又，所以，解得(负值舍去)，所以.

所以椭圆的方程为.

（2）由题知，直线的斜率不为0.

设直线的方程为，代入椭圆的方程，消去得.设，，

则，，，

所以，

则线段的中点坐标为，

.

因为是的外心，所以是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点.

线段的垂直平分线的方程为，

令，得，即.

又，所以，

所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.