黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题 含答案

哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期第一次月考

数学试卷

一、单选题(每道题5分，共60分）

3．命题“存在R，0”的否定是（    ）

A．不存在R，  B．存在R， 0

C．对任意的R， 0 D．对任意的R，

4．给出下列四个条件：①；②；③；④.其中能成为的充分条件的是（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

5．已知，，，，则M与N的大小关系是（    ）

A． B． C． D．不能确定

6．已知正实数a，b满足，则的最小值是（    ）

A．8 B．16 C．32 D．36

7．某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（    ）

A． B． C． D．

8．糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（    ）

A． B． C． D．

9．下列运用等式的性质，变形不正确的是（    ）

A．若x=y，则x+5=y+5

B．若a=b，则ac=bc

C．若，则a=b

D．若x=y，则

10．设正实数，满足，则（    ）

A．的最大值是 B．的最小值是8

C．的最小值为 D．的最大值为2

11．下列命题中，正确的是（    ）

A．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 B．若ab＜0，则

C．若b＜a＜0，c＜0，则 D．若a，b∈R，则a4＋b4≥2a2b2

12．设集合X是实数集R的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合X的聚点．则在下列集合中，以0为聚点的集合是

A． B．

 D．整数集Z

二、填空题（每道题5分，共20分）

13．设，，，若，则实数m的范围是______．

14．若实数满足，，则的取值范围为________．

15．不等式的解集是____________.

16．对于任意实数，等式恒成立，则___________

三、解答题

17．（本小题10分）已知集合，集合.

（1）若，求实数的取值范围.

18．（本小题12分）已知不等式

（1）若不等式的解集为或，求实数的值；

（2）若，解该不等式.

19. （本小题12分）已知，试比较与的大小.

20.（本小题12分）解答下列各题.

（1）设，，，求.

（2）设且恒成立，求实数的取值范围.

21．（本小题12分）已知命题p：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A．

（1）求集合A；

（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

22．（本小题12分）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.

（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；

（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.

2021高一上学期第一次月考数学试卷

一、单选题(每道题5分，共60分）

3．命题“存在R，0”的否定是（    ）

A．不存在R，  B．存在R， 0

C．对任意的R， 0 D．对任意的R，

4．给出下列四个条件：①；②；③；④.其中能成为的充分条件的是（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

5．已知，，，，则M与N的大小关系是（    ）

A． B． C． D．不能确定

6．已知正实数a，b满足，则的最小值是（    ）

A．8 B．16 C．32 D．36

7．某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（    ）

A． B． C． D．

8．糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（    ）

A． B． C． D．

9．下列运用等式的性质，变形不正确的是（    ）

A．若x=y，则x+5=y+5

B．若a=b，则ac=bc

C．若，则a=b

D．若x=y，则

10．设正实数，满足，则（    ）

A．的最大值是 B．的最小值是8

C．的最小值为 D．的最大值为2

11．下列命题中，正确的是（    ）

A．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 B．若ab＜0，则

C．若b＜a＜0，c＜0，则 D．若a，b∈R，则a4＋b4≥2a2b2

12．设集合X是实数集R的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合X的聚点．则在下列集合中，以0为聚点的集合是

A． B．

 D．整数集Z

二、填空题（每道题5分，共20分）

13．设，，，若，则实数m的范围是______．

14．若实数满足，，则的取值范围为________．

15．不等式的解集是____________.

16．对于任意实数，等式恒成立，则___________

三、解答题

17．（本小题10分）已知集合，集合.

（1）若，求实数的取值范围.

18．（本小题12分）已知不等式

（1）若不等式的解集为或，求实数的值；

（2）若，解该不等式.

19.（本小题12分）已知，试比较与的大小.

20.（本小题12分）解答下列各题.

（1）设，，，求.

（2）设且恒成立，求实数的取值范围.

21．（本小题12分）已知命题p：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A．

（1）求集合A；

（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

22．（本小题12分）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.

（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；

（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.

参考答案

1．C

2．B

3．D

【分析】

利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】

命题“存在R，0”是存在量词命题，

所以其否定是全称量词命题，即对任意的R， ，

故选：D

4．D

【分析】

由不等式的性质和充分条件的定义逐一判断①②③④，可得正确选项.

【详解】

对于①：由可知，所以，故由可得出，故①正确；

对于②： 当时，；当时，，所以由不能推出，故②不正确；

对于③： 由，可得或，所以不能推出，故③不正确；

对于④：由可得，，，因为，所以，所以由可得出，故④正确；

故选：D．

5．A

【分析】

采用作差法计算与的大小关系，由此判断出的大小关系.

【详解】

因为，且，，

所以，所以，

故选：A.

6．B

【分析】

对利用基本不等式求出且，把展开得到，即可求出最小值.

【详解】

因为正实数a，b满足，

所以，即，当且仅当时，即时取等号.

因为，所以，

所以.

故的最小值是16.

故选：B

7．B

【分析】

根据题设条件可得关于的不等式，求解后可得正确的选项.

【详解】

由，得，即，

故选：B．

8．B

【分析】

依题意得到不等关系，即可得解.

【详解】

解：依题意，向糖水（不饱和）中再加入克糖，此时糖水的浓度为，根据糖水更甜，可得

故选：

【点睛】

本题考查利用不等式表示不等关系，属于基础题.

9．D

【分析】

利用等式的性质分别对各选项逐一分析判断并作答.

【详解】

对于选项A，由等式的性质知，若x=y，则x+5=y+5，A正确；

对于选项B，由等式的性质知，若a=b，则ac=bc，B正确；

对于选项C，由等式的性质知，若，则a=b，C正确；

对于选项D，由等式的性质知，若x=y，则的前提条件为a≠0，D错误．

故选：D

10．C

【分析】

利用基本不等式求的最大值可判断A；将展开，再利用基本不等式求最值可判断B；由结合的的最大值可判断C；由结合的最大值可求出的最大值可判断D，进而可得正确选项.

【详解】

对于A：因为，所以，当且仅当即，

时等号成立，故选项A错误；

对于B：，当且仅当即

对于C：由选项A证明过程可得，又，，当且仅当，时等号成立，故选项C正确；

对于D：，所以，当且仅当，时等号成立，故选项D错误；

故选：C.

11．D

【分析】

利用不等式的性质即可判断AC；

利用基本不等式即可判断B，

利用作差法即可判断D.

【详解】

解：对于A，，则，故A错误；

对于B，即异号，当且仅当时等号

对于C，由得，又，则，故C错误；

对于D，由，得，故D正确.

故选：D.

12．B

【分析】

根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案．

【详解】

解：A中，集合中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大，

在的时候，不存在满足得的x，  不是集合的聚点；

B，集合，对任意的a，都存在实际上任意比a小的数都可以，使得，

是集合的聚点；

D，对于某个，比如，此时对任意的，都有或者，也就是说不可能，从而0不是整数集Z的聚点．

综上得以0为聚点的集合是BC，

故选：B．

13．

【分析】

先求出，根据包含关系即可求解参数．

【详解】

因为，，，

又

则

故答案为：．

14．

【分析】

设，解得，，再由不等式的性质即可求解.

【详解】

设，解得，

所以．

又，，，

所以.

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用不等式的性质求取值范围，变形是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题.

15．

【分析】

分式不等式转化为一元二次不等式后再求解即可.

【详解】

原不等式等价于，解得：或，

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：本题考查分式不等式，一般地，等价于，而则等价于，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.

16．1

【分析】

根据等式恒成立，可求得a，b，c的值，即可得答案.

【详解】

因为等式恒成立，

所以，

所以.

故答案为：1

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）分两种情况，当和时，根据题意列不等式，解不等式即可求解；

（2）根据题意可得，列不等式组，解不等式组即可求解.

【详解】

（1）①当时，，可得，满足，符合题意.

②当时，若，则 或

解得：或无解

综上所述：

所以若，实数的取值范围为：.

（2）命题：，命题：，若是的充分条件，则，

所以，解得，

所以实数的取值范围为.

18．（1）；（2）答案见解析.

【分析】

（1）由题意可得和是方程的两个根，根据韦达定理列方程即可求解；

（2）若，不等式为，分别讨论、、、、解不等式即可求解.

【详解】

（1）因为不等式的解集为或，

所以和是方程的两个根，

由根与系数关系得，解得；

（2）当时，不等式为，

当时，不等式为，可得：；

当时，不等式可化为，

方程的两根为，，

当时，可得：；

当时，

①当时，即时，可得：或；

②当即时，可得：；

③当，即时，可得或；

综上：

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为或；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为或.

19．

【分析】

利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可.

【详解】

，

，.

两数作商

，

.

20．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）结合基本不等式证得不等式成立.

（2）首先分离常数，然后结合基本不等式求得的取值范围.

【详解】

（1）∵，，，

∴

，

，

当且仅当时取等号.

（2）∵，

∴，

由恒成立，得

，

又，

∴，，

则.

当且仅当，即时上式等号成立.

∴.

∴的取值范围是：.

21．（1）；（2）.

【分析】

（1）由一元二次方程有实数解即判别式不小于0可得；

（2）由可得不等关系，得范围．

【详解】

解：命题为具命鿒，则，

得

∴.

（2）∵是的必要不充分条件，∴.

∴（等号不能同时成立），

得

22．（1）最大值为16米；（2）最小值为平方米.

【分析】

（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；

（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.

【详解】

（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得.

因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，所以，解得.

又，所以.

所以宽的最大值为16米.

（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得

（平方米）

当且仅当米时，等号成立.

所以整个绿化面积的最小值为平方米.