高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数学案及答案

4.1.2　无理数指数幂及其运算性质

必备知识·探新知

基础知识

知识点1　无理数指数幂

无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是__一个确定的实数__.

思考1：2一定是实数吗？

提示：根据无理指数幂的定理2是实数．

知识点2　实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)

(1)aras＝__ar＋s__.(2)(ar)s＝__ars__.(3)(ab)r＝__arbr__.

思考2：指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？

提示：

基础自测

1．下列说法正确的个数是(　B　)

(1)无理数指数幂有的不是实数．

(2)指数幂ax(a>0)中的x只能是有理数．

(3)(3)＝9.

A．0　　 B．1　　

C．2　　 D．3

[解析]　(1)无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确；

(2)指数幂ax(a>0)中的x是任意实数，不正确；

(3)(3)＝3×＝32＝9，正确，故选B．

2．aa＝__a__.

3．()＝__nm－__.

关键能力·攻重难

题型探究

题型一　无理数指数幂的运算

例1 计算下列各式：

(1)(3)3；

(2).

[解析]　(1)原式＝(3×2)3＝36×22＝2 916.

(2)原式＝a＋－π＝a－.

[归纳提升]　关于无理数指数幂的运算

(1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算．

(2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留．

【对点练习】❶ 计算下列各式：

(1)2；

(2)(mm－)12.

[解析]　(1)原式＝(π－)2＝(π)2＝π3.

(2)原式＝(m－)12＝(m)12＝m2π.

题型二　指数幂运算的综合应用

例2 已知a＋a－＝3，求下列各式的值．

(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3).

[分析]　利用完全平方差公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)．

[解析]　(1)将a＋a－＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.

(2)将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.

(3)由于a－a－＝(a)3－(a－)3，所以有

＝＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.

[归纳提升]　(1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过a＋a－＝3解出a的值代入求值，则非常复杂．

(2)解决此类问题的一般步骤是

【对点练习】❷ 已知x－y＝6，xy＝16，求的值．

[解析]　∵＝

＝，

又x－y＝6，xy＝16，

∴(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy＝62＋4×16＝100.

∴x＋y＝10或x＋y＝－10.

当x＋y＝10时，原式值为＝3，

当x＋y＝－10时，原式值为＝－.

误区警示

因忽略幂底数的范围而导致错误

例3 化简(1－a)[(a－1)－2(－a)]＝__(－a)__.

[错解]　(1－a)[(a－1)－2·(－a)]

＝(1－a)(a－1)－1·(－a)＝－(－a).

[错因分析]　忽略了题中有(－a)，即相当于告知－a≥0，故a≤0，这样，[(a－1)－2]≠(a－1)－1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．

[正解]　由(－a)知－a≥0，故a－1<0.

∴(1－a)[(a－1)－2(－a)]＝(1－a)(1－a)－1·(－a)＝(－a).

[方法点拨]　在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求．

学科素养

用换元法处理指数幂中的化简与证明问题

例4 已知pa3＝qb3＝rc3，且＋＋＝1.求证：(pa2＋qb2＋rc2)＝p＋q＋r.

[分析]　看见三个式子连等，立刻想到赋中间变量，通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子．

[证明]　令pa3＝qb3＝rc3＝k，

则pa2＝，qb2＝，rc2＝；p＝，q＝，r＝.

∴所证等式左边＝(＋＋)

＝[k(＋＋)]＝k，

所证等式右边＝()＋()＋()

＝k(＋＋)＝k.

∴(pa2＋qb2＋rc2)＝p＋q＋r.

[归纳提升]　1.对于“连等式”，常用换元法处理．如本例，我们可令它等于一个常数k，然后以k为媒介化简，这样使问题容易解决．

2．换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一致，关键时候还要检验．

课堂检测·固双基

1．下列能正确反映指数幂的推广过程的是(　A　)

A．整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂

B．有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂

C．整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂

D．无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂

2．计算(2)－的结果是(　D　)

A．　　　　　 B．－

C．2 D．

[解析]　(2)－＝2－1＝，故选D．

3.·＝(　A　)

A．a B．a

C．a D．a

[解析]　原式＝a·a＝a＋＝a，故选A．

4．设x∈R且x≠0，若x＋x－1＝3，则x8＋x－8的个位数字是(　D　)

A．2 B．5

C．6 D．7

[解析]　x＋x－1＝3⇒x2＋x－2＝7⇒x4＋x－4＝47⇒x8＋x－8＝472－2，故选D．