(北京版)2021年中考数学模拟练习卷07（含答案）

中考数学模拟练习卷

一．选择题（共8小题，满分16分）

1．如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（　　）

A．12cm B．12cm C．24cm D．24cm

2．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

3．下列运算正确的是（　　）

A．2a﹣a=1 B．2a+b=2ab 

C．（a4）3=a7 D．（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5

4．估计+1的值在（　　）

A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间[来源:学&科&网]

5．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（　　）

A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠1+∠3=180° D．∠3+∠4=180°

6．如图，左、右并排的两棵树AB和CD，小树的高AB=6m，大树的高CD=9m，小明估计自己眼睛距地面EF=1.5m，当他站在F点时恰好看到大树顶端C点．已知此时他与小树的距离BF=2m，则两棵树之间的距离BD是（　　）

A．1m B． m C．3m D． m

7．某学校举行一场知识竞赛活动，竞赛共有4小题，每小题5分，答对给5分，答错或不答给0分，在该学校随机抽取若干同学参加比赛，成绩被制成不完整的统计表如下．

根据表中已有的信息，下列结论正确的是（　　）

A．共有40名同学参加知识竞赛 

B．抽到的同学参加知识竞赛的平均成绩为10分 

C．已知该校共有800名学生，若都参加竞赛，得0分的估计有100人 

D．抽到同学参加知识竞赛成绩的中位数为15分

8．甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．若x，y为实数，y=，则4y﹣3x的平方根是　   　．

10．袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有　   　个．

11．如图，边长为6cm的正三角形内接于⊙O，则阴影部分的面积为（结果保留π）　   　．

12．5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为　   　．

13．若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是　   　．

14．抛物线y=2x2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为　   　．

15．如图，△ABC内接于⊙O，DA、DC分别切⊙O于A、C两点，∠ABC=114°，则∠ADC的度数为　   　．

16．我们知道，四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为　   　．

三．解答题（共12小题，满分68分）

17．（5分）计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣|

18．（5分）解方程： +﹣=1．

19．（5分）如图，已知点D、E为△ABC的边BC上两点．AD=AE，BD=CE，为了判断∠B与∠C的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据．

解：过点A作AH⊥BC，垂足为H．

∵在△ADE中，AD=AE（已知）

AH⊥BC（所作）

∴DH=EH（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）

又∵BD=CE（已知）

∴BD+DH=CE+EH（等式的性质）

即：BH=　   　

又∵　   　（所作）

∴AH为线段　   　的垂直平分线

∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）

∴　   　（等边对等角）

20．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣2x﹣2=0．

21．（5分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求tan∠BAF的值．

22．（6分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

根据以上统计图，解答下列问题：

（1）本次接受调查的市民共有　   　人；

（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是　   　；

（3）请补全条形统计图；

（4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数．

23．（6分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′．

（1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．

①分别求函数y1、y2的表达式；

②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；

（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；

（3）设m=，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．

24．（5分）如图，⊙O中，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交⊙O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，使得FC=BC，连接BC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）⊙O的半径为5，tanA=，求FD的长．

25．（6分）【操作与发现】如图1，△MNQ中，MQ≠NQ．请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；

【借鉴与应用】参考你画图构造全等三角形的方法解决下面问题：

如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，求证：CD=AB．

26．（6分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣），顶点为P．

（1）求抛物线解析式；

（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．

27．（7分）阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则BD=CE．

（1）在图1中证明小胖的发现；

借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：

（2）如图2，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求证：AD+CD=BD；

（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC=∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．

28．（7分）【定义】如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．

【运用】如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）两点．

（1）C（4，），D（4，），E（4，）三点中，点　   　是点A，B关于直线x=4的等角点；

（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB=α，求证：tan=；

（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b（a≠0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．

参考答案与试题解析

一．选择题

1．【解答】解：如图，过A作AD⊥BF于D，

∵∠ABD=45°，AD=12，

∴AB===12，

又∵Rt△ABC中，∠C=30°，

∴AC=2AB=24，

故选：D．

2．【解答】解：不等式组的解集为x＜﹣1．

故选：C．

3．【解答】解：A、2a﹣a=a，故本选项错误；

B、2a与b不是同类项，不能合并，故本选项错误；

C、（a4）3=a12，故本选项错误；

D、（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5，故本选项正确．

故选：D．

4．【解答】解：∵2＜＜3，

∴3＜+1＜4，

故选：B．

5．【解答】解：如图，∵AB∥CD，

∴∠3+∠5=180°，

又∵∠5=∠4，

∴∠3+∠4=180°，

故选：D．

6．【解答】解：由题意得：FB=EG=2m，AG=AB﹣BG=6﹣1.5=4.5m，CH=CD﹣DH=9﹣1.5=7.5m，

∵AG⊥EH，CH⊥EH，

∴∠AGE=∠CHE=90°，

∵∠AEG=∠CEH，

∴△AEG∽△CEH，

∴==，即=，[来源:学.科.网Z.X.X.K]

解得：GH=，

则BD=GH=m，

故选：B．

7．【解答】解：∵5÷0.1=50（名），有50名同学参加知识竞赛，故选项A错误；

∵成绩5分、15分、0分的同学分别有：50×0.2=10（名），50×0.4=20（名），50﹣10﹣5﹣20﹣5=10（名）

∴抽到的同学参加知识竞赛的平均成绩为： =10，故选项B正确；

∵0分同学10人，其频率为0.2，∴800名学生，得0分的估计有800×0.2=160（人），故选项C错误；

∵第25、26名同学的成绩为10分、15分，∴抽到同学参加知识竞赛成绩的中位数为12.5分，故选项D错误．

故选：B．

8．【解答】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；

由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；

当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；

乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④错误．

故选：B．

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．【解答】解：∵与同时成立，

∴故只有x2﹣4=0，即x=±2，

又∵x﹣2≠0，

∴x=﹣2，y==﹣，

4y﹣3x=﹣1﹣（﹣6）=5，

故4y﹣3x的平方根是±．

故答案：±．

10．【解答】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，

∴袋中一共有球（6+n）个，

∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，

∴=，

解得：n=2．

故答案为：2．

11．【解答】解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H，

则BH=HC=BC=3，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=60°，

由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=120°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=30°，

∴OB==2，OH=，

∴阴影部分的面积=﹣×6×=4π﹣3，

故答案为：（4π﹣3）cm2．

12．【解答】解：设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，

根据题意得：．

故答案为：．

13．【解答】解：如图所示：点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点；

∵在△DAC中，根据三角形中位线定理知，HG∥AC且HG=AC，

同理，在△ABC中，EF∥AC且EF=AC，

∴HG∥EF∥AC，且HG=EF，

∴四边形EFGH是平行四边形；

同理，HE∥DB；

当AC⊥BD时，HE⊥HG，

∴▱EFGH是矩形；

故答案为：AC⊥BD．

14．【解答】解：∵y=2x2+4=2（x+0）2+4，

∴抛物线y=2x2+4的顶点坐标是（0，4），

∴将抛物线y=2x2+4向左平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，4），

则平移后新抛物线的解析式为：y=2（x+2）2+4．

故答案是：y=2（x+2）2+4

15．【解答】解：如图，在⊙O上取一点K，连接AK、KC、OA、OC．

∵∠AKC+∠ABC=180°，∵∠ABC=114°，

∴∠AKC=66°，

∴∠AOC=2∠AKC=132°，

∵DA、DC分别切⊙O于A、C两点，

∴∠OAD=∠OCB=90°，

∴∠ADC+∠AOC=180°，

∴∠ADC=48°

故答案为48°．

16．【解答】解：∵AD′=AD=2，

AO=AB=1，

∴OD′==，

∵C′D′=2，C′D′∥AB，

∴C′（2，），

故答案为（2，）．

三．解答题（共12小题，满分68分）

17．【解答】解：原式=1﹣2×+1+

=1﹣+1+

=2．

18．【解答】解：方程两边同乘（x+2）（x﹣2）得 x﹣2+4x﹣2（x+2）=x2﹣4，

整理，得x2﹣3x+2=0，

解这个方程得x1=1，x2=2，

经检验，x2=2是增根，舍去，

所以，原方程的根是x=1．

19．【解答】解：过点A作AH⊥BC，垂足为H．

∵在△ADE中，AD=AE（已知），

AH⊥BC（所作），[来源:学&科&网]

∴DH=EH（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）．

又∵BD=CE（已知），

∴BD+DH=CE+EH（等式的性质），

即：BH=CH．

又∵AH⊥BC（所作），

∴AH为线段BC的垂直平分线．

∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）．

∴∠B=∠C（等边对等角）．

20．【解答】解：原式=[﹣]÷

=•

=，

∵x2﹣2x﹣2=0，

∴x2=2x+2=2（x+1），

则原式==．

21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD．AB=CD，

∵AE=CF，

∴BE=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴四边形BFDE是矩形；

（2）解：在Rt△BCF中，由勾股定理，得

AD==5，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，

∴∠DFA=∠FAB，

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF=∠FAB，

∴∠DAF=∠DFA，

∴DF=AD=5，

∴AB=8，

∴tan∠BAF===．

22．【解答】解：（1）本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人，

故答案为：2000；

（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是360°×=28.8°，

故答案为：28.8°；

（3）D选项的人数为2000×25%=500，

补全条形图如下：

（4）估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为90×40%=36（万人）．

23．【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上

∴k=8

∴y1=

∵a=2

∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）

把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2=mx+n

解得

∴y2=x﹣2

②当y1＞y2＞0时，y1=图象在y2=x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方

∴由图象得：2＜x＜4

（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO

∵O为AA′中点

S△AOB=S△ABA′=8

∵点A、B在双曲线上

∴S△AOC=S△BOD

∴S△AOB=S四边形ACDB=8

由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）

∴

解得k=6

（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）

把A′代入到y=

﹣

∴n=

∴A′D解析式为y=

当x=a时，点D纵坐标为

∴AD=

∵AD=AF，

∴点F和点P横坐标为

∴点P纵坐标为

∴点P在y1═（x＞0）的图象上

24．【解答】解：（1）∵点G是AE的中点，

∴OD⊥AE，

∵FC=BC，

∴∠CBF=∠CFB，

∵∠CFB=∠DFG，

∴∠CBF=∠DFG

∵OB=OD，

∴∠D=∠OBD，

∵∠D+∠DFG=90°，

∴∠OBD+∠CBF=90°

即∠ABC=90°

∵OB是⊙O的半径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）连接AD，

∵OA=5，tanA=，

∴OG=3，AG=4，

∴DG=OD﹣OG=2，[来源:学§科§网]

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADF=90°，

∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠FDG=90°

∴∠DAG=∠FDG，

∴△DAG∽△FDG

∴，

∴DG2=AG•FG，

∴4=4FG，

∴FG=1

∴由勾股定理可知：FD=

25．【解答】【操作与发现】如图1，作MNP=∠NMQ，截取NP=MN，连接PM，则△PMN为所作．

【借鉴与应用】证明：构建△EAC≌△DCA，如图2，

∴∠ECA=∠DAC，AE=CD，∠E=∠D，

∵∠ACB+∠CAD=180°，

∴∠ACB+∠ECA=180°，

∴E点在BC的延长线上，

∵∠B=∠D，

∴∠E=∠B，

∴AE=AB，

∴AB=CD．

26．【解答】解：（1）将（﹣3，0），（1，0），（0，﹣）代入抛物线解析式得

∴

解得：a=，b=1，c=﹣

∴抛物线解析式：y=x2+x﹣

（2）存在．

∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2

∴P点坐标为（﹣1，﹣2）

∵△ABP的面积等于△ABE的面积，

∴点E到AB的距离等于2，

设E（a，2），

∴a2+a﹣=2

解得a1=﹣1﹣2，a2=﹣1+2

∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）

（3）∵点A（﹣3，0），点B（1，0），

∴AB=4

若AB为边，且以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形

∴AB∥PF，AB=PF=4

∵点P坐标（﹣1，﹣2）

∴点F坐标为（3，﹣2），（﹣5，﹣2）

∴平行四边形的面积=4×2=8

若AB为对角线，以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形

∴AB与PF互相平分

设点F（x，y）且点A（﹣3，0），点B（1，0），点P（﹣1，﹣2）

∴

∴x=﹣1，y=2

∴点F（﹣1，2）

∴平行四边形的面积=×4×4=8

综上所述：点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为 8．[来源:学+科+网]

27．【解答】（1）证明：如图1中，

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC，

∴BD=EC．

（2）证明：如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．

∵DB=DE，∠BDC=60°，

∴△BDE是等边三角形，

∴∠BD=BE，∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠ABD=∠CBE，

∵AB=BC，

∴△ABD≌△CBE，

∴AD=EC，

∴BD=DE=DC+CE=DC+AD．

∴AD+CD=BD．

（3）解：如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．

由（1）可知△EAB≌△GAC，

∴∠1=∠2，BE=CG，

∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，

∴△EDB≌△MDC，

∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，

∵∠EBC=∠ACF，

∴∠MCD=∠ACF，

∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，

∴∠1=3=∠2，

∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，

∵CF=CF，CG=CM，

∴△CFG≌△CFM，

∴FG=FM，

∵ED=DM，DF⊥EM，

∴FE=FM=FG，

∵AE=AG，AF=AF，

∴△AFE≌△AFG，

∴∠EAF=∠FAG=m°．

28．【解答】解：（1）点B关于直线x=4的对称点为B′（10，﹣）

∴直线AB′解析式为：y=﹣

当x=4时，y=

故答案为：C

（2）如图，过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P

作BH⊥l于点H

∵点A和A′关于直线l对称

∴∠APG=∠A′PG

∵∠BPH=∠A′PG

∴∠AGP=∠BPH

∵∠AGP=∠BHP=90°

∴△AGP∽△BHP

∴，即

∴mn=2，即m=

∵∠APB=α，AP=AP′

∴∠A=∠A′=

在Rt△AGP中，tan

（3）如图，当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，

点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方

若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q

由对称性可知：∠APQ=∠A′PQ，

又∠APB=60°

∴∠APQ=∠A′PQ=60°

∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°

∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ

∴△ABQ是等边三角形

∵线段AB为定线段

∴点Q为定点

若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合

∴直线y=ax+b（a≠0）过定点Q

连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N

∵A（2，），B（﹣2，﹣）

∴OA=OB=

∵△ABQ是等边三角形

∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=

∴∠AOM+∠NOD=90°

又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO

∵∠AMO=∠ONQ=90°

∴△AMO∽△ONQ

∴

∴

∴ON=2，NQ=3，∴Q点坐标为（3，﹣2）

设直线BQ解析式为y=kx+b

将B、Q坐标代入得

解得

∴直线BQ的解析式为：y=﹣

设直线AQ的解析式为：y=mx+n

将A、Q两点代入

解得

∴直线AQ的解析式为：y=﹣3

若点P与B点重合，则直线PQ与直线BQ重合，此时，b=﹣

若点P与点A重合，则直线PQ与直线AQ重合，此时，b=7

又∵y=ax+b（a≠0），且点P位于AB右下方

∴b＜﹣且b≠﹣2或b＞