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(广东版)2021年中考数学模拟练习卷01（含答案）
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这是一份(广东版)2021年中考数学模拟练习卷01（含答案），共31页。试卷主要包含了﹣3的绝对值是，在下列几何体中，主视图是圆的是，下列运算正确的是，一次函数的图象过定点A等内容，欢迎下载使用。
中考数学模拟练习卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分）
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．在下列几何体中，主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．x8÷x2＝x6 B．（x3y）2＝x5y2
C．﹣2（a﹣1）＝﹣2a+1 D．（x+3）2＝x2+9
5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
6．一次函数的图象过定点A（0，2），且函数值y随自变量x的增大而减小，则函数图象经过的象限为（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
7．一元二次方程kx2+4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4 B．k≥4 C．k≤4 D．k≤4且k≠0
8．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+2
C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2﹣3
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠OCB等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＝0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，S甲2＞S乙2，那么两人成绩比较稳定的是 ．
12．每天供给地球光和热的太阳与我们距离非常遥远，它距地球15000000千米，将15000000千米用科学记数法表示为 千米．
13．在⊙O中，半径为5，AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，则AB、CD之间的距离为 ．
14．已知反比例函数的图象如图，则m的取值范围是 ．
15．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ．
16．如图，AB是半圆O的直径，AD、BC、CD分别切⊙O与点A、B、E，连结OD．OC，则下列结论中，①∠DOC＝90°，②AD+BC＝CD，③OC：OD＝EC：DE，④OC2＝DC•CE，正确的是
三、列答题（本大题共9小题，共102分）
17．（9分）解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
18．（9分）（1）化简（﹣1），
（2）当a＝﹣1，b＝时，求代数式的值．
19．（10分）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线．
（1）作AC的垂直平分线EF，分别交AB、DC于点E、F，垂足为O；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求证：OE＝OF
20．（10分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球 B．乒乓球C．羽毛球 D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
21．（12分）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度（≈1.732，结果保留一位小数）．
22．（12分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（2，3）和点B，与x轴相交于点C（8，0）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）当x取何值时，y1＞y2．
23．（12分）如图AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，CA交⊙O于点D，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线
（2）若∠C＝60°，BC＝2，求图中阴影部分面积．
24．（14分）如图，在矩形ABCD中，∠CAB＝30°，BC＝4cm，将△ABC沿AC边翻折，使点B到点B′，AB′与DC相交于点O．
（1）求证：△ADO∽△ABC；
（2）点P（不与点A重合）是线段AB′上一动点，沿射线AB′的方向以2cm/s的速度匀速运动，请你求出△APC的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）中，以AP、B′P、BC的长为边能否构成直角三角形？若能，求出点P的位置；若不能，请说明理由．
25．（14分）抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式
（2）在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长
（3）若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线与点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：|﹣3|＝3．
故﹣3的绝对值是3．
故选：B．
【点评】考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．在下列几何体中，主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形比较即可．
【解答】解：A、主视图是三角形，错误；
B、主视图是矩形，错误；
C、主视图是等腰梯形，错误；
D、主视图是圆，正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．如图所示的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．下列运算正确的是（ ）
A．x8÷x2＝x6 B．（x3y）2＝x5y2
C．﹣2（a﹣1）＝﹣2a+1 D．（x+3）2＝x2+9
【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、多项式的乘法和完全平方公式进行计算后判断即可．
【解答】解：A、x8÷x2＝x6，正确；
B、（x3y）2＝x6y2，错误；
C、﹣2（a﹣1）＝﹣2a+2，错误；
D、（x+3）2＝x2+6x+9，错误；
故选：A．
【点评】此题考查同底数幂的除法、积的乘方、多项式的乘法和完全平方公式，关键是根据法则进行计算．
5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：代数式有意义，
故x+2＞0，
解得：x＞﹣2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
6．一次函数的图象过定点A（0，2），且函数值y随自变量x的增大而减小，则函数图象经过的象限为（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【分析】根据一次函数的图象过定点A（0，2），可知此函数图象经过第一象限；根据函数值y随自变量x的增大而减小，可知此函数图象经过第二、四象限．
【解答】解：∵一次函数的图象过定点A（0，2），
∴此函数图象与y轴正半轴相交，图象经过第一象限；
又函数值y随自变量x的增大而减小，
∴此函数图象从左到右逐渐下降，图象经过第二、四象限；
∴此函数图象经过的象限为第一、二、四象限．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键．
7．一元二次方程kx2+4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4 B．k≥4 C．k≤4 D．k≤4且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且△＝42﹣4k≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且△＝42﹣4k≥0，
解得k≤4且k≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
8．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+2
C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2﹣3
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），
∴得到的抛物线的解析式为y＝3（x+2）2+3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠OCB等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】首先根据圆周角定理可得∠BOC＝2∠A＝100°，再利用三角形内角和定理可得∠OCB的度数．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝100°，
∵BO＝CO，
∴∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＝0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可．
②根据二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得△＝0，即b2﹣4a（c+2）＝0，b2﹣4ac＝8a＞0，据此解答即可．
③首先根据对称轴x＝﹣＝﹣1，可得b＝2a，然后根据b2﹣4ac＝8a，确定出a的取值范围即可．
④根据对称轴是x＝﹣1，而且x＝0时，y＞2，可得x＝﹣2时，y＞2，据此判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴左边，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c+2＞2，
∴c＞0，
∴abc＞0，
∴结论①不正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，
∴△＝0，
即b2﹣4a（c+2）＝0，
∴b2﹣4ac＝8a＞0，
∴结论②不正确；
∵对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵b2﹣4ac＝8a，
∴4a2﹣4ac＝8a，
∴a＝c+2，
∵c＞0，
∴a＞2，
∴结论③正确；
∵对称轴是x＝﹣1，而且x＝0时，y＞2，
∴x＝﹣2时，y＞2，
∴4a﹣2b+c+2＞2，
∴4a﹣2b+c＞0．
∴结论④正确．
综上，可得
正确结论的个数是2个：③④．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，S甲2＞S乙2，那么两人成绩比较稳定的是 乙 ．
【分析】方差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定．根据方差的意义判断即可．
【解答】解：根据方差的意义知，射击成绩比较稳定，则方差较小，
∵S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定，
故答案为：乙．
【点评】本题考查了方差的意义，方差反映的是数据的稳定情况，方差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定；反之，表示数据越不稳定．
12．每天供给地球光和热的太阳与我们距离非常遥远，它距地球15000000千米，将15000000千米用科学记数法表示为 1.5×107 千米．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：15000000＝1.5×107．
故答案为1.5×107．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．在⊙O中，半径为5，AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，则AB、CD之间的距离为 1或7 ．
【分析】过O作OE⊥CD于E，OE交AB于F，连接OD、OA、根据垂径定理求出AF、DE，根据勾股定理求出OE、OF，分两种情形分别求解即可．
【解答】解：过O作OE⊥CD于E，OE交AB于F，连接OD、OA、
∵AB∥AC，
∴OE⊥AB，
∵OE⊥CD，OE过O，
∴DE＝CE＝CD＝4，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE＝＝3，
同理OF＝4，
分为两种情况：
①如图1，EF＝OE+OF＝3+4＝7；
②如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1．
故答案为：1或7．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，用了分类讨论思想．
14．已知反比例函数的图象如图，则m的取值范围是 m＜1 ．
【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而减小作答．
【解答】解：由图象可得：k＞0，即1﹣m＞0，
解得：m＜1．
故答案为：m＜1．
【点评】对于反比例函数y＝，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
15．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 x＜﹣1或x＞5 ．
【分析】根据二次函数的对称性求出函数图象与x轴的另一交点，再写出x轴下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴函数图象与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），
∴ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5．
故答案为：x＜﹣1或x＞5．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便，求出函数图象与x轴的另一交点坐标是解题的关键．
16．如图，AB是半圆O的直径，AD、BC、CD分别切⊙O与点A、B、E，连结OD．OC，则下列结论中，①∠DOC＝90°，②AD+BC＝CD，③OC：OD＝EC：DE，④OC2＝DC•CE，正确的是 ①②④
【分析】由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE＝DA，CE＝CB，由CD＝DE+EC，等量代换可得出CD＝AD+BC，选项②正确；由AD＝ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD＝∠EOD，同理得到∠EOC＝∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项①正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2＝DE•CD，选项④正确；由△ODE∽△OEC，可得OC：OD＝EO：DE，选项③错误．
【解答】解：如图所示：
∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，
∴∠DAO＝∠DEO＝∠OBC＝90°，
∴DA＝DE，CE＝CB，AD∥BC，
∴CD＝DE+EC＝AD+BC，选项②正确；
在Rt△ADO和Rt△EDO中，，
∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），
∴∠AOD＝∠EOD，
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC＝∠BOC，
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB＝180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）＝180°，即∠DOC＝90°，选项①正确；
∴∠DOC＝∠DEO＝90°，又∠EDO＝∠ODC，
∴△EDO∽△ODC，
∴，即OD2＝DC•DE，选项④正确；
同理△ODE∽△OEC，
∴，选项③错误；
故答案为：①②④．
【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
三、列答题（本大题共9小题，共102分）
17．（9分）解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得x≥2，
解②得：x＜3．
不等式组的解集是：2≤x＜3．
【点评】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
18．（9分）（1）化简（﹣1），
（2）当a＝﹣1，b＝时，求代数式的值．
【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案．
（2）将a与b的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝•
＝；
（2）当a＝﹣1，b＝+1时，
原式＝
＝2﹣．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
19．（10分）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线．
（1）作AC的垂直平分线EF，分别交AB、DC于点E、F，垂足为O；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求证：OE＝OF
【分析】（1）作AC的垂直平分线即可；
（2）利用矩形的性质得到点O为对角线的交点，然后证明△BOE≌△DOF得到OE＝OF．
【解答】（1）解：如图，EF为所作；
（2）证明：∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OB＝OD，AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
在△BOE和△DOF中
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴OE＝OF．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了矩形的性质．
20．（10分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球 B．乒乓球C．羽毛球 D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 200 人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
【分析】（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数；
（2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可；
（3）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：20÷＝200（人），
则这次被调查的学生共有200人；
（2）补全图形，如图所示：
（3）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
﹣﹣﹣
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
﹣﹣﹣
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
﹣﹣﹣
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
﹣﹣﹣
所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，
则P＝＝．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．
21．（12分）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度（≈1.732，结果保留一位小数）．
【分析】先根据题意得出：∠BAD、∠BCD的度数及AC的长，再在Rt△ABD中可得出AB＝BD，利用锐角三角函数的定义可得出BD的长．
【解答】解：根据题意可知：∠BAD＝45°，∠BCD＝30°，AC＝20m，
在Rt△ABD中，由∠BAD＝∠BDA＝45°，得AB＝BD，
在Rt△BDC中，由tan∠BCD＝得，BC＝＝BD，
又∵BC﹣AB＝AC，
∴BD﹣BD＝20，
∴BD＝≈27.3（m），
答：该古塔的高度约为27.3m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，涉及到等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．
22．（12分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（2，3）和点B，与x轴相交于点C（8，0）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）当x取何值时，y1＞y2．
【分析】（1）将A、B中的一点代入y2＝，即可求出m的值，从而得到反比例函数解析式，把 A（2，3）、C（8，0）代入y1＝kx+b，可得到k、b的值；
（2）根据图象可直接得到y1＞y2时x的取值范围．
【解答】解：（1）把 A（2，3）代入y2＝，得m＝6．
∴y2＝，
把 A（2，3）、C（8，0）代入y1＝kx+b，
得，
∴这两个函数的解析式为y1＝﹣x+4，y2＝；
（2）由题意得，
解得，，
当x＜0 或 2＜x＜6 时，y1＞y2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟悉待定系数法以及理解函数图象与不等式的关系是解题的关键．
23．（12分）如图AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，CA交⊙O于点D，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线
（2）若∠C＝60°，BC＝2，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ABC＝90°，求得∠CDB＝90°，根据直角三角形的性质得到DE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠EDB＝∠EBD，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接OE，根据三角形的内角和得到∠A＝30°，根据圆周角定理得到∠DOB＝60°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵E是BC的中点，
∴DE＝BE，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，
∵∠ABC＝90°，∠C＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵BC＝2，E是BC的中点，
∴DE＝BE＝，AB＝BC＝6，
∴OB＝OD＝3，
∴阴影部分面积＝S△ODE+S△OBE﹣S扇形BOD＝×3×+×3×﹣＝9﹣．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，扇形的面积，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（14分）如图，在矩形ABCD中，∠CAB＝30°，BC＝4cm，将△ABC沿AC边翻折，使点B到点B′，AB′与DC相交于点O．
（1）求证：△ADO∽△ABC；
（2）点P（不与点A重合）是线段AB′上一动点，沿射线AB′的方向以2cm/s的速度匀速运动，请你求出△APC的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）中，以AP、B′P、BC的长为边能否构成直角三角形？若能，求出点P的位置；若不能，请说明理由．
【分析】（1）先判断出∠DAO＝∠BAC即可得出结论；
（2）先表示出AP，用三角形的面积公式直接得出结论；
（3）先表示出AP，B'P，分三种情况用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠CAD＝60°，
由折叠得，∠B'AC＝∠CAB＝30°，
∴∠DAO＝∠CAD﹣∠B'AC＝30°＝∠BAC，
∵∠ADO＝∠ABC＝90°，
∴△ADO∽△ABC；
（2）如图，连接PC，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝4，
∴AB＝BC＝12，
由折叠知AB'＝AB＝12，
由运动知，AP＝2t，
由折叠得，B'C＝BC＝4cm，
∴S＝S△APC＝AP•B'C＝×2t×4＝4t（0＜t≤6）；
（3）能构成直角三角形，
由运动知，AP＝2t，B'P＝AB'﹣AP＝12﹣2t，
∵以AP、B′P、BC的长为边构成直角三角形，
∴①AP2+B'P2＝BC2，
∴（2t）2+（12﹣2t）2＝48，
∴此方程无解；
②AP2+BC2＝B'P2，
∴（2t）2+48＝（12﹣2t）2，
∴t＝2，
∴AP＝2t＝4cm，此时，点P在AB'上距点A4cm处
③B'P2+BC2＝AP2，（12﹣2t）2+48＝（2t）2，
∴t＝4，
∴AP＝2t＝8cm，此时，点P在AB'上，距点A8cm处．
即：点p距点A是4cm和8cm处时，以AP、B′P、BC的长为边构成直角三角形．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积公式，解（1）的关键是判断出∠DAO＝∠BAC，解（3）的关键是关键勾股定理建立方程．
25．（14分）抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式
（2）在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长
（3）若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线与点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线x＝﹣1，连接AC，交抛物线对称轴于点M，此时△MBC的周长取最小值，由点A，B，C的坐标可得出BC，AC的长度及直线AC的解析式，再结合二次函数图象上点的坐标特征可得出点M的坐标和△MBC的周长；
（3）由点B，C，P的纵坐标可得出点Q的纵坐标为2或﹣2，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点Q的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．
（2）当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
连接AC，交抛物线对称轴于点M，如图1所示．
∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，
∴MA＝MB，
∴MB+MC＝MA+MC＝AC，
∴此时△MBC的周长取最小值．
∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2），
∴AC＝，BC＝，直线AC的解析式为y＝x+2（可用待定系数法求出来）．
当x＝﹣1时，y＝x+2＝，
∴当△MBC的周长最小时，点M的坐标为（﹣1，），△MBC的周长为+．
（3）∵以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点B，P的纵坐标为0，点C的纵坐标为2，
∴点Q的纵坐标为2或﹣2，如图2所示．
当y＝2时，﹣x2﹣x+2＝2，
解得：x1＝﹣2，x2＝0（舍去），
∴点Q的坐标为（﹣2，2）；
当y＝﹣2时，﹣x2﹣x+2＝﹣2，
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴点Q的坐标为（﹣4，﹣2）或（2，﹣2）．
∴在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣4，﹣2）或（2，﹣2）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）利用两点之间线段最短，找出点M的位置；（3）根据平行四边形的性质，找出点Q的纵坐标为2或﹣2．
中考数学模拟练习卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分）
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．在下列几何体中，主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．x8÷x2＝x6 B．（x3y）2＝x5y2
C．﹣2（a﹣1）＝﹣2a+1 D．（x+3）2＝x2+9
5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
6．一次函数的图象过定点A（0，2），且函数值y随自变量x的增大而减小，则函数图象经过的象限为（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
7．一元二次方程kx2+4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4 B．k≥4 C．k≤4 D．k≤4且k≠0
8．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+2
C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2﹣3
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠OCB等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＝0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，S甲2＞S乙2，那么两人成绩比较稳定的是 ．
12．每天供给地球光和热的太阳与我们距离非常遥远，它距地球15000000千米，将15000000千米用科学记数法表示为 千米．
13．在⊙O中，半径为5，AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，则AB、CD之间的距离为 ．
14．已知反比例函数的图象如图，则m的取值范围是 ．
15．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ．
16．如图，AB是半圆O的直径，AD、BC、CD分别切⊙O与点A、B、E，连结OD．OC，则下列结论中，①∠DOC＝90°，②AD+BC＝CD，③OC：OD＝EC：DE，④OC2＝DC•CE，正确的是
三、列答题（本大题共9小题，共102分）
17．（9分）解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
18．（9分）（1）化简（﹣1），
（2）当a＝﹣1，b＝时，求代数式的值．
19．（10分）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线．
（1）作AC的垂直平分线EF，分别交AB、DC于点E、F，垂足为O；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求证：OE＝OF
20．（10分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球 B．乒乓球C．羽毛球 D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
21．（12分）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度（≈1.732，结果保留一位小数）．
22．（12分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（2，3）和点B，与x轴相交于点C（8，0）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）当x取何值时，y1＞y2．
23．（12分）如图AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，CA交⊙O于点D，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线
（2）若∠C＝60°，BC＝2，求图中阴影部分面积．
24．（14分）如图，在矩形ABCD中，∠CAB＝30°，BC＝4cm，将△ABC沿AC边翻折，使点B到点B′，AB′与DC相交于点O．
（1）求证：△ADO∽△ABC；
（2）点P（不与点A重合）是线段AB′上一动点，沿射线AB′的方向以2cm/s的速度匀速运动，请你求出△APC的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）中，以AP、B′P、BC的长为边能否构成直角三角形？若能，求出点P的位置；若不能，请说明理由．
25．（14分）抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式
（2）在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长
（3）若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线与点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：|﹣3|＝3．
故﹣3的绝对值是3．
故选：B．
【点评】考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．在下列几何体中，主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形比较即可．
【解答】解：A、主视图是三角形，错误；
B、主视图是矩形，错误；
C、主视图是等腰梯形，错误；
D、主视图是圆，正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．如图所示的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．下列运算正确的是（ ）
A．x8÷x2＝x6 B．（x3y）2＝x5y2
C．﹣2（a﹣1）＝﹣2a+1 D．（x+3）2＝x2+9
【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、多项式的乘法和完全平方公式进行计算后判断即可．
【解答】解：A、x8÷x2＝x6，正确；
B、（x3y）2＝x6y2，错误；
C、﹣2（a﹣1）＝﹣2a+2，错误；
D、（x+3）2＝x2+6x+9，错误；
故选：A．
【点评】此题考查同底数幂的除法、积的乘方、多项式的乘法和完全平方公式，关键是根据法则进行计算．
5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：代数式有意义，
故x+2＞0，
解得：x＞﹣2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
6．一次函数的图象过定点A（0，2），且函数值y随自变量x的增大而减小，则函数图象经过的象限为（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【分析】根据一次函数的图象过定点A（0，2），可知此函数图象经过第一象限；根据函数值y随自变量x的增大而减小，可知此函数图象经过第二、四象限．
【解答】解：∵一次函数的图象过定点A（0，2），
∴此函数图象与y轴正半轴相交，图象经过第一象限；
又函数值y随自变量x的增大而减小，
∴此函数图象从左到右逐渐下降，图象经过第二、四象限；
∴此函数图象经过的象限为第一、二、四象限．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键．
7．一元二次方程kx2+4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4 B．k≥4 C．k≤4 D．k≤4且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且△＝42﹣4k≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且△＝42﹣4k≥0，
解得k≤4且k≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
8．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+2
C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2﹣3
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），
∴得到的抛物线的解析式为y＝3（x+2）2+3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠OCB等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】首先根据圆周角定理可得∠BOC＝2∠A＝100°，再利用三角形内角和定理可得∠OCB的度数．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝100°，
∵BO＝CO，
∴∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＝0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可．
②根据二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得△＝0，即b2﹣4a（c+2）＝0，b2﹣4ac＝8a＞0，据此解答即可．
③首先根据对称轴x＝﹣＝﹣1，可得b＝2a，然后根据b2﹣4ac＝8a，确定出a的取值范围即可．
④根据对称轴是x＝﹣1，而且x＝0时，y＞2，可得x＝﹣2时，y＞2，据此判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴左边，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c+2＞2，
∴c＞0，
∴abc＞0，
∴结论①不正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，
∴△＝0，
即b2﹣4a（c+2）＝0，
∴b2﹣4ac＝8a＞0，
∴结论②不正确；
∵对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵b2﹣4ac＝8a，
∴4a2﹣4ac＝8a，
∴a＝c+2，
∵c＞0，
∴a＞2，
∴结论③正确；
∵对称轴是x＝﹣1，而且x＝0时，y＞2，
∴x＝﹣2时，y＞2，
∴4a﹣2b+c+2＞2，
∴4a﹣2b+c＞0．
∴结论④正确．
综上，可得
正确结论的个数是2个：③④．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，S甲2＞S乙2，那么两人成绩比较稳定的是 乙 ．
【分析】方差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定．根据方差的意义判断即可．
【解答】解：根据方差的意义知，射击成绩比较稳定，则方差较小，
∵S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定，
故答案为：乙．
【点评】本题考查了方差的意义，方差反映的是数据的稳定情况，方差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定；反之，表示数据越不稳定．
12．每天供给地球光和热的太阳与我们距离非常遥远，它距地球15000000千米，将15000000千米用科学记数法表示为 1.5×107 千米．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：15000000＝1.5×107．
故答案为1.5×107．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．在⊙O中，半径为5，AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，则AB、CD之间的距离为 1或7 ．
【分析】过O作OE⊥CD于E，OE交AB于F，连接OD、OA、根据垂径定理求出AF、DE，根据勾股定理求出OE、OF，分两种情形分别求解即可．
【解答】解：过O作OE⊥CD于E，OE交AB于F，连接OD、OA、
∵AB∥AC，
∴OE⊥AB，
∵OE⊥CD，OE过O，
∴DE＝CE＝CD＝4，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE＝＝3，
同理OF＝4，
分为两种情况：
①如图1，EF＝OE+OF＝3+4＝7；
②如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1．
故答案为：1或7．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，用了分类讨论思想．
14．已知反比例函数的图象如图，则m的取值范围是 m＜1 ．
【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而减小作答．
【解答】解：由图象可得：k＞0，即1﹣m＞0，
解得：m＜1．
故答案为：m＜1．
【点评】对于反比例函数y＝，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
15．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 x＜﹣1或x＞5 ．
【分析】根据二次函数的对称性求出函数图象与x轴的另一交点，再写出x轴下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴函数图象与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），
∴ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5．
故答案为：x＜﹣1或x＞5．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便，求出函数图象与x轴的另一交点坐标是解题的关键．
16．如图，AB是半圆O的直径，AD、BC、CD分别切⊙O与点A、B、E，连结OD．OC，则下列结论中，①∠DOC＝90°，②AD+BC＝CD，③OC：OD＝EC：DE，④OC2＝DC•CE，正确的是 ①②④
【分析】由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE＝DA，CE＝CB，由CD＝DE+EC，等量代换可得出CD＝AD+BC，选项②正确；由AD＝ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD＝∠EOD，同理得到∠EOC＝∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项①正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2＝DE•CD，选项④正确；由△ODE∽△OEC，可得OC：OD＝EO：DE，选项③错误．
【解答】解：如图所示：
∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，
∴∠DAO＝∠DEO＝∠OBC＝90°，
∴DA＝DE，CE＝CB，AD∥BC，
∴CD＝DE+EC＝AD+BC，选项②正确；
在Rt△ADO和Rt△EDO中，，
∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），
∴∠AOD＝∠EOD，
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC＝∠BOC，
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB＝180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）＝180°，即∠DOC＝90°，选项①正确；
∴∠DOC＝∠DEO＝90°，又∠EDO＝∠ODC，
∴△EDO∽△ODC，
∴，即OD2＝DC•DE，选项④正确；
同理△ODE∽△OEC，
∴，选项③错误；
故答案为：①②④．
【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
三、列答题（本大题共9小题，共102分）
17．（9分）解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得x≥2，
解②得：x＜3．
不等式组的解集是：2≤x＜3．
【点评】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
18．（9分）（1）化简（﹣1），
（2）当a＝﹣1，b＝时，求代数式的值．
【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案．
（2）将a与b的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝•
＝；
（2）当a＝﹣1，b＝+1时，
原式＝
＝2﹣．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
19．（10分）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线．
（1）作AC的垂直平分线EF，分别交AB、DC于点E、F，垂足为O；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求证：OE＝OF
【分析】（1）作AC的垂直平分线即可；
（2）利用矩形的性质得到点O为对角线的交点，然后证明△BOE≌△DOF得到OE＝OF．
【解答】（1）解：如图，EF为所作；
（2）证明：∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OB＝OD，AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
在△BOE和△DOF中
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴OE＝OF．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了矩形的性质．
20．（10分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球 B．乒乓球C．羽毛球 D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 200 人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
【分析】（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数；
（2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可；
（3）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：20÷＝200（人），
则这次被调查的学生共有200人；
（2）补全图形，如图所示：
（3）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
﹣﹣﹣
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
﹣﹣﹣
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
﹣﹣﹣
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
﹣﹣﹣
所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，
则P＝＝．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．
21．（12分）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度（≈1.732，结果保留一位小数）．
【分析】先根据题意得出：∠BAD、∠BCD的度数及AC的长，再在Rt△ABD中可得出AB＝BD，利用锐角三角函数的定义可得出BD的长．
【解答】解：根据题意可知：∠BAD＝45°，∠BCD＝30°，AC＝20m，
在Rt△ABD中，由∠BAD＝∠BDA＝45°，得AB＝BD，
在Rt△BDC中，由tan∠BCD＝得，BC＝＝BD，
又∵BC﹣AB＝AC，
∴BD﹣BD＝20，
∴BD＝≈27.3（m），
答：该古塔的高度约为27.3m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，涉及到等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．
22．（12分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（2，3）和点B，与x轴相交于点C（8，0）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）当x取何值时，y1＞y2．
【分析】（1）将A、B中的一点代入y2＝，即可求出m的值，从而得到反比例函数解析式，把 A（2，3）、C（8，0）代入y1＝kx+b，可得到k、b的值；
（2）根据图象可直接得到y1＞y2时x的取值范围．
【解答】解：（1）把 A（2，3）代入y2＝，得m＝6．
∴y2＝，
把 A（2，3）、C（8，0）代入y1＝kx+b，
得，
∴这两个函数的解析式为y1＝﹣x+4，y2＝；
（2）由题意得，
解得，，
当x＜0 或 2＜x＜6 时，y1＞y2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟悉待定系数法以及理解函数图象与不等式的关系是解题的关键．
23．（12分）如图AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，CA交⊙O于点D，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线
（2）若∠C＝60°，BC＝2，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ABC＝90°，求得∠CDB＝90°，根据直角三角形的性质得到DE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠EDB＝∠EBD，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接OE，根据三角形的内角和得到∠A＝30°，根据圆周角定理得到∠DOB＝60°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵E是BC的中点，
∴DE＝BE，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，
∵∠ABC＝90°，∠C＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵BC＝2，E是BC的中点，
∴DE＝BE＝，AB＝BC＝6，
∴OB＝OD＝3，
∴阴影部分面积＝S△ODE+S△OBE﹣S扇形BOD＝×3×+×3×﹣＝9﹣．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，扇形的面积，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（14分）如图，在矩形ABCD中，∠CAB＝30°，BC＝4cm，将△ABC沿AC边翻折，使点B到点B′，AB′与DC相交于点O．
（1）求证：△ADO∽△ABC；
（2）点P（不与点A重合）是线段AB′上一动点，沿射线AB′的方向以2cm/s的速度匀速运动，请你求出△APC的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）中，以AP、B′P、BC的长为边能否构成直角三角形？若能，求出点P的位置；若不能，请说明理由．
【分析】（1）先判断出∠DAO＝∠BAC即可得出结论；
（2）先表示出AP，用三角形的面积公式直接得出结论；
（3）先表示出AP，B'P，分三种情况用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠CAD＝60°，
由折叠得，∠B'AC＝∠CAB＝30°，
∴∠DAO＝∠CAD﹣∠B'AC＝30°＝∠BAC，
∵∠ADO＝∠ABC＝90°，
∴△ADO∽△ABC；
（2）如图，连接PC，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝4，
∴AB＝BC＝12，
由折叠知AB'＝AB＝12，
由运动知，AP＝2t，
由折叠得，B'C＝BC＝4cm，
∴S＝S△APC＝AP•B'C＝×2t×4＝4t（0＜t≤6）；
（3）能构成直角三角形，
由运动知，AP＝2t，B'P＝AB'﹣AP＝12﹣2t，
∵以AP、B′P、BC的长为边构成直角三角形，
∴①AP2+B'P2＝BC2，
∴（2t）2+（12﹣2t）2＝48，
∴此方程无解；
②AP2+BC2＝B'P2，
∴（2t）2+48＝（12﹣2t）2，
∴t＝2，
∴AP＝2t＝4cm，此时，点P在AB'上距点A4cm处
③B'P2+BC2＝AP2，（12﹣2t）2+48＝（2t）2，
∴t＝4，
∴AP＝2t＝8cm，此时，点P在AB'上，距点A8cm处．
即：点p距点A是4cm和8cm处时，以AP、B′P、BC的长为边构成直角三角形．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积公式，解（1）的关键是判断出∠DAO＝∠BAC，解（3）的关键是关键勾股定理建立方程．
25．（14分）抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式
（2）在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长
（3）若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线与点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线x＝﹣1，连接AC，交抛物线对称轴于点M，此时△MBC的周长取最小值，由点A，B，C的坐标可得出BC，AC的长度及直线AC的解析式，再结合二次函数图象上点的坐标特征可得出点M的坐标和△MBC的周长；
（3）由点B，C，P的纵坐标可得出点Q的纵坐标为2或﹣2，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点Q的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．
（2）当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
连接AC，交抛物线对称轴于点M，如图1所示．
∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，
∴MA＝MB，
∴MB+MC＝MA+MC＝AC，
∴此时△MBC的周长取最小值．
∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2），
∴AC＝，BC＝，直线AC的解析式为y＝x+2（可用待定系数法求出来）．
当x＝﹣1时，y＝x+2＝，
∴当△MBC的周长最小时，点M的坐标为（﹣1，），△MBC的周长为+．
（3）∵以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点B，P的纵坐标为0，点C的纵坐标为2，
∴点Q的纵坐标为2或﹣2，如图2所示．
当y＝2时，﹣x2﹣x+2＝2，
解得：x1＝﹣2，x2＝0（舍去），
∴点Q的坐标为（﹣2，2）；
当y＝﹣2时，﹣x2﹣x+2＝﹣2，
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴点Q的坐标为（﹣4，﹣2）或（2，﹣2）．
∴在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣4，﹣2）或（2，﹣2）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）利用两点之间线段最短，找出点M的位置；（3）根据平行四边形的性质，找出点Q的纵坐标为2或﹣2．
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