(北京版)2021年中考数学模拟练习卷13（含答案）

这是一份(北京版)2021年中考数学模拟练习卷13（含答案），共26页。试卷主要包含了有下列四种说法，式子有意义的x的取值范围是，某同学将自己7次体育测试成绩，分解因式等内容，欢迎下载使用。

中考数学模拟练习卷
一．选择题（共8小题，满分16分）
1．有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；
③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．
其中，错误的说法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．
【解答】解：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；
②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；
③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．
其中错误说法的是①③两个．
故选：B．
【点评】本题考查弦与直径的区别，弧与半圆的区别，及确定圆的条件，不要将弦与直径、弧与半圆混淆．
2．式子有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C． D．x＞﹣且x≠1
【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
2x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣且x≠1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键．
3．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（　　）

A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．
【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：A．
【点评】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解．
4．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论①a＜b；②|b|=|d|；③a+c=a；④ad＞0中，正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义，可得答案．
【解答】解：由数轴，得
a=﹣3.5，b=﹣2，c=0，d=2，
①a＜b，故①正确；[来源:学§科§网Z§X§X§K]
②|b|=|d|，故②正确；
③a+c=a，故③正确；
④ad＜0，故④错误；
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义是解题关键．
5．下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
6．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　）

A．α+β+γ=180° B．α﹣β+γ=180° C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=360°
【分析】延长AE交直线CD于F，根据平行线的性质得出∠α+∠AFD=180°，根据三角形外角性质得出∠AFD=∠β﹣∠γ，代入求出即可．
【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F，

∵AB∥CD，
∴∠α+∠AFD=180°，
∵∠AFD=∠β﹣∠γ，
∴∠α+∠β﹣∠γ=180°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角性质和平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
7．在2015﹣2016CBA常规赛季中，易建联罚球投篮的命中率大约是82.3%，下列说法错误的是（　　）
A．易建联罚球投篮2次，一定全部命中
B．易建联罚球投篮2次，不一定全部命中
C．易建联罚球投篮1次，命中的可能性较大
D．易建联罚球投篮1次，不命中的可能性较小
【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、易建联罚球投篮2次，不一定全部命中，故本选项错误；
B、易建联罚球投篮2次，不一定全部命中，故本选项正确；
C、∵易建联罚球投篮的命中率大约是82.3%，
∴易建联罚球投篮1次，命中的可能性较大，故本选项正确；
D、易建联罚球投篮1次，不命中的可能性较小，故本选项正确．
故选：A．
【点评】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
8．某同学将自己7次体育测试成绩（单位：分）绘制成折线统计图，则该同学7次测试成绩的众数和中位数分别是（　　）

A．50和48 B．50和47 C．48和48 D．48和43
【分析】根据折线统计图，可得该同学7次的成绩，根据众数、中位数，可得答案．
【解答】解：由折线统计图，得：42，43，47，48，49，50，50，
7次测试成绩的众数为50，中位数为48，
故选：A．
【点评】本题考查了折线统计图，利用折线统计图获得有效信息是解题关键，又利用了众数、中位数的定义．
　
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．分解因式：a3﹣a=　a（a+1）（a﹣1）　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
=a（a2﹣1），
=a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
10．如果a2﹣a﹣1=0，那么代数式（a﹣）的值是　1　．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a2﹣a﹣1=0，即a2﹣a=1，
∴原式=•=•=a（a﹣1）=a2﹣a=1，
故答案为：1
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．用配方法将方程x2+10x﹣11=0化成（x+m）2=n的形式（m、n为常数），则m+n=　41　．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上25配方得到结果，求出m与n的值即可．
【解答】解：∵x2+10x﹣11=0，
∴x2+10x=11，
则x2+10x+25=11+25，即（x+5）2=36，
∴m=5、n=36，
∴m+n=41，
故答案为：41．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．如图，将一幅三角板的直角顶点重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°．若三角板ACB的位置保持不动，将三角板DCE绕其直角顶点C顺时针旋转一周．当△DCE一边与AB平行时，∠ECB的度数为　15°、30°、60°、120°、150°或165°　．

【分析】△CDE的每条边与AB平行都有两种情况，共有6种不同情况，然后利用平行线的性质分别计算6种情况对应的∠ECB的度数．
【解答】解：当CD与AB平行时，则∠ACD=30°或∠ACD=150°，所以∠ECB=30°或∠ECB=150°；
当DE与AB平行时，则∠ECB=165°或∠ECB=15°；
当CE与AB平行时，则∠ECB=120°或∠ECB=60°．
故答案为15°、30°、60°、120°、150°、165°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质．
13．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马、大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，依题意，可列方程组为　　．
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设小马有x匹，大马有y匹，依题意，可列方程组为．
故答案是：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
14．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成
绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是　丙　．

甲
乙
丙
丁

7
8
8
7
s2
1
1.2
0.9
1.8
【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．
【解答】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，
所以丙组的成绩比较稳定，
所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
故答案为：丙．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．
15．如图，线段AB=10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是　5　．

【分析】设MN=y，PC=x，根据正方形的性质和勾股定理列出y2关于x的二次函数关系式，求二次函数的最值即可．
【解答】解：作MG⊥DC于G，如图所示：
设MN=y，PC=x，
根据题意得：GN=5，MG=|10﹣2x|，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2=MG2+GN2，
即y2=52+（10﹣2x）2．
∵0＜x＜10，
∴当10﹣2x=0，即x=5时，y2最小值=25，
∴y最小值=5．即MN的最小值为5；
故答案为：5．

【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值．熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键．
16．下面是“利用直角三角形作矩形”尺规作图的过程．
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．
求作：矩形ABCD．
小明的作法如下：
做法：如图2，（1）分别以点A、C为圆心，大于AC同样长为半径作弧，两弧交于点E、F；
（2）作直线EF，直线EF交AC于点O；
（3）作射线BO，在BO上截取OD，使得OD=OB；
（4）连接AD，CD．
∴四边形ABCD就是所求作的矩形．
老师说，“小明的作法正确．”
请回答，小明作图的依据是：　到线段两段点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形．　．

【分析】先利用作法判定OA=OC，OD=OB，则根据平行四边形的判定方法判断四边形ABCD为平行四边形，然后根据矩形的判定方法判断四边形ABCD为矩形．
【解答】解：由作法得EF垂直平分AC，则OA=OC，
而OD=OB，
所以四边形ABCD为平行四边形，
而∠ABC=90°，
所以四边形ABCD为矩形．
故答案为：到线段两段点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
　
三．解答题（共12小题，满分60分，每小题5分）
17．（5分）计算：（）﹣2﹣+（﹣4）0﹣cos45°．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=4﹣3+1﹣×
=2﹣1
=1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（5分）解不等式组
【分析】分别解出两不等式的解集再求其公共解．
【解答】解：
由①得x≤3，
由②得x＜﹣3，
∴原不等式组的解集是x＜﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式的解集须遵循以下原则：同大取较大，同小取较小．小大大小中间找，大大小小解不了．
19．（5分）在矩形ABCD中，两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=2，求AD的长．

【分析】根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，∠BAD=90°，求出△AOB是等边三角形，求出OB=AB=2，根据矩形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∠BAD=90°，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=2，
∴BD=2BO=4，
在Rt△BAD中，AD=．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2+1=0．
（1）若m是方程的一个实数根，求m的值；
（2）若m为负数，判断方程根的情况．
【分析】（1）由方程根的定义，代入可得到关于m的方程，则可求得m的值；
（2）计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可．
【解答】解：
（1）∵m是方程的一个实数根，
∴m2﹣（2m﹣3）m+m2+1=0，
∴；
（2）△=b2﹣4ac=﹣12m+5，
∵m＜0，
∴﹣12m＞0．
∴△=﹣12m+5＞0．
∴此方程有两个不相等的实数根．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
21．（5分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．

【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
（2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；
（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵AD为BC边上的中线
∴DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF，
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=10．

【点评】本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与双曲线y2=交于A、C两点，AB⊥OA交x轴于点B，且OA=AB．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求点C的坐标，并直接写出y1＜y2时x的取值范围．

【分析】（1）作高线AD，根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得：x=2x﹣2，可得A的坐标，从而得双曲线的解析式；
（2）一次函数和反比例函数解析式列方程组，解出可得点C的坐标，根据图象可得结论．
【解答】解：（1）∵点A在直线y1=2x﹣2上，
∴设A（x，2x﹣2），
过A作AD⊥OB于D，
∵AB⊥OA，且OA=AB，
∴OD=BD，
∴AD=OB=OD，
∴x=2x﹣2，
x=2，
∴A（2，2），
∴k=2×2=4，
∴；
（2）∵，解得：，，
∴C（﹣1，﹣4），
由图象得：y1＜y2时x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．

【点评】此题考查了反比例函数和一次函数的综合；熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法；通过观察图象，从交点看起，函数图象在上方的函数值大．
23．（5分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书“，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：
本数（本）
频数（人数）
频率
5
a
0.2
6[来源:学。科。网Z。X。X。K][来源:学,科,网]
18
0.36
7
14
b
8
8
0.16
合计
50
c
我们定义频率=，比如由表中我们可以知道在这次随机调查中抽样人数为50人课外阅读量为6本的同学为18人，因此这个人数对应的频率就是=0.36．
（1）统计表中的a、b、c的值；
（2）请将频数分布表直方图补充完整；
（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；
（4）若该校八年级共有600名学生，你认为根据以上调查结果可以估算分析该校八年级学生课外阅读量为7本和8本的总人数为多少吗？请写出你的计算过程．

【分析】（1）根据频率=计算即可；
（2）求出a组人数，画出直方图即可；
（3）根据平均数的定义计算即可；
（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可；
【解答】解：（1）a=50×0.2=10、b=14÷50=0.28、c=50÷50=1；

（2）补全图形如下：


（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数==6.4（本）

（4）该校八年级共有600名学生，该校八年级学生课外阅读7本和8本的总人数有600×=264（名）．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若AC=3AE，求tanC．

【分析】（1）连接OD，求出OD∥AC，求出DF⊥OD，根据切线的判定得出即可；
（2）由AC=3AE可得AB=AC=3AE，EC=4AE；连结BE，由AB是直径可知∠AEB=90°，根据勾股定理求出BE，解直角三角形求出即可．
【解答】解：（1）连接OD，

∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，点D在⊙O上，
∴DF是⊙O的切线；

（2）连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AC=3AE，
∴AB=3AE，CE=4AE，
∴BE==2AE，
在Rt△BEC中，tanC===．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质等，是一道综合题，难度中等．
25．（5分）如图1，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒lcm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．
（1）求出a值；
（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；
（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？

【分析】（1）根据图象变化确定a秒时，P点位置，利用面积求a；
（2）P、Q两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒．
（3）以（2）为基础可知，两个点相距3cm分为相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程．
【解答】解：（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变，则a秒时，点P在AB上．

∴AP=6
则a=6
（2）由（1）6秒后点P变速，则点P已行的路程为y1=6+2（x﹣6）=2x﹣6
∵Q点路程总长为34cm，第6秒时已经走12cm，点Q还剩的路程为y2=34﹣12﹣=
（3）当P、Q两点相遇前相距3cm时，
﹣（2x﹣6）=3
解得x=10
当P、Q两点相遇后相距3cm时
（2x﹣6）﹣（）=3
解得x=
∴当t=10或时，P、Q两点相距3cm
【点评】本题是双动点问题，解答时应注意分析图象的变化与动点运动位置之间的关系．列函数关系式时，要考虑到时间x的连续性才能直接列出函数关系式．
26．（7分）已知二次函数y=a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），且过点A（﹣2，﹣）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点B（2，﹣2）在这个函数图象上吗？
（3）你能通过左，右平移函数图象，使它过点B吗？若能，请写出平移方案．
【分析】（1）根据待定系数法即可得出二次函数的解析式．
（2）代入B（2，﹣2）即可判断；
（3）根据题意设平移后的解析式为y=﹣（x+1+m）2，代入B的坐标，求得m的植即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y=a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），
∴m=1，
∴二次函数y=a（x+1）2，
把点A（﹣2，﹣）代入得a=﹣，
则抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2．
（2）把x=2代入y=﹣（x+1）2得y=﹣≠﹣2，
所以，点B（2，﹣2）不在这个函数的图象上；
（3）根据题意设平移后的解析式为y=﹣（x+1+m）2，
把B（2，﹣2）代入得﹣2=﹣（2+1+m）2，
解得m=﹣1或﹣5，
所以抛物线向左平移1个单位或平移5个单位函数，即可过点B．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及图象与几何变换．
27．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC边上的一点，且BP=2CP．
（1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图②，在（1）的条件下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并延长交AB的延长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）

【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的方法作图即可得出结论；
（2）先求出DE=CE=1，进而判断出△ADE≌△BCE，得出∠AED=∠BEC，再用锐角三角函数求出∠AED，即可得出结论；
（3）先判断出△AEP≌△FBP，即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意作出图形如图①所示，

（2）EB是平分∠AEC，理由：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD=，
∵点E是CD的中点，
∴DE=CE=CD=1，
在△ADE和△BCE中，，
∴△ADE≌△BCE，
∴∠AED=∠BEC，
在Rt△ADE中，AD=，DE=1，
∴tan∠AED==，
∴∠AED=60°，
∴∠BEC=∠AED=60°
∴∠AEB=180°﹣∠AED﹣∠BEC=60°=∠BEC，
∴BE平分∠AEC；

（3）∵BP=2CP，BC=，
∴CP=，BP=，
在Rt△CEP中，tan∠CEP==，
∴∠CEP=30°，
∴∠BEP=30°，
∴∠AEP=90°，
∵CD∥AB，
∴∠F=∠CEP=30°，
在Rt△ABP中，tan∠BAP==，
∴∠PAB=30°，
∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB，
∵CB⊥AF，
∴AP=FP，
∴△AEP≌△FBP，
∴△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，
变换的方法为：将△BPF绕点P顺时针旋转120°和△EPA重合，①沿PE折叠，②沿AE折叠．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，图形的变换，判断出△AEP≌△△FBP是解本题的关键．
28．如图1，抛物线y=ax2+bx+4过A（2，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D，连接AC、BC．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（m＞4）．
（1）求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值；
（2）如图2，若∠ACP=45°，求m的值；
（3）如图3，过点A、P的直线与y轴于点N，过点P作PM⊥CD，垂足为M，直线MN与x轴交于点Q，试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由．

【分析】（1）由点A、B坐标利用待定系数法求解可得抛物线解析式为y=x2﹣3x+4，作BG⊥CA，交CA的延长线于点G，证△GAB∽△OAC得=，据此知BG=2AG．在Rt△ABG中根据BG2+AG2=AB2，可求得AG=．继而可得BG=，CG=AC+AG=，根据正切函数定义可得答案；
（2）作BH⊥CD于点H，交CP于点K，连接AK，易得四边形OBHC是正方形，应用“全角夹半角”可得AK=OA+HK，设K（4，h），则BK=h，HK=HB﹣KB=4﹣h，AK=OA+HK=2+（4﹣h）=6﹣h．在Rt△ABK中，由勾股定理求得h=，据此求得点K（4，）．待定系数法求出直线CK的解析式为y=﹣x+4．设点P的坐标为（x，y）知x是方程x2﹣3x+4=﹣x+4的一个解．解之求得x的值即可得出答案．
（3）先求出点D坐标为（6，4），设P（m， m2﹣3m+4）知M（m，4），H（m，0）．及PH=m2﹣3m+4），OH=m，AH=m﹣2，MH=4．①当4＜m＜6时，由△OAN∽△HAP知=．据此得ON=m﹣4．再证△ONQ∽△HMQ得=．据此求得OQ=m﹣4．从而得出AQ=DM=6﹣m．结合AQ∥DM可得答案．②当m＞6时，同理可得．
【解答】解：（1）将点A（2，0）和点B（4，0）分别代入y=ax2+bx+4，得，
解得：．
∴该抛物线的解析式为y=x2﹣3x+4．
过点B作BG⊥CA，交CA的延长线于点G（如图1所示），则∠G=90°．

∵∠COA=∠G=90°，∠CAO=∠BAG，
∴△GAB∽△OAC．
∴=═=2．
∴BG=2AG．
在Rt△ABG中，∵BG2+AG2=AB2，
∴（2AG）2+AG2=22．解得： AG=．
∴BG=，CG=AC+AG=2+=．
在Rt△BCG中，tan∠ACB═=．

（2）如图2，过点B作BH⊥CD于点H，交CP于点K，连接AK．易得四边形OBHC是正方形．

应用“全角夹半角”可得AK=OA+HK．
设K（4，h），则BK=h，HK=HB﹣KB=4﹣h，AK=OA+HK=2+（4﹣h）=6﹣h．
在Rt△ABK中，由勾股定理，得AB2+BK2=AK2．
∴22+h2=（6﹣h）2．解得h=．
∴点K（4，）．
设直线CK的解析式为y=hx+4．
将点K（4，）代入上式，得=4h+4．解得h=﹣．
∴直线CK的解析式为y=﹣x+4．
设点P的坐标为（x，y），则x是方程x2﹣3x+4=﹣x+4的一个解．
将方程整理，得3x2﹣16x=0．
解得x1=，x2=0（不合题意，舍去）．
将x1=代入y=﹣x+4，得y=．
∴点P的坐标为（，）．

（3）四边形ADMQ是平行四边形．理由如下：
∵CD∥x轴，
∴yC=yD=4．
将y=4代入y=x2﹣3x+4，得4=x2﹣3x+4．
解得x1=0，x2=6．
∴点D（6，4）．
根据题意，得P（m， m2﹣3m+4），M（m，4），H（m，0）．
∴PH=m2﹣3m+4，OH=m，AH=m﹣2，MH=4．
①当4＜m＜6时，DM=6﹣m，
如图3，

∵△OAN∽△HAP，
∴=．
∴=．
∴ON===m﹣4．[来源:学&科&网Z&X&X&K]
∵△ONQ∽△HMQ，[来源:学科网]
∴=．
∴=．
∴=．
∴OQ=m﹣4．
∴AQ=OA﹣OQ=2﹣（m﹣4）=6﹣m．
∴AQ=DM=6﹣m．
又∵AQ∥DM，
∴四边形ADMQ是平行四边形．
②当m＞6时，同理可得：四边形ADMQ是平行四边形．
综上，四边形ADMQ是平行四边形．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及勾股定理、三角函数等知识点．