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    (上海版)2021年中考数学模拟练习卷02(含答案)

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    (上海版)2021年中考数学模拟练习卷02(含答案)

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    这是一份(上海版)2021年中考数学模拟练习卷02(含答案),共25页。试卷主要包含了选择题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    中考数学模拟练习卷
    一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)[下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
    1. 下列函数中,y 关于 x 的二次函数是( ) A.y=ax2+bx+c B.y=x(x﹣1)
    C. D.y=(x﹣1)2﹣x2
    【分析】根据二次函数的定义,逐一分析四个选项即可得出结论.
    【解答】解:A、当 a=0 时,y=bx+c 不是二次函数;
    B、y=x(x﹣1)=x2﹣x 是二次函数;
    C、y=不是二次函数;
    D、y=(x﹣1)2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数. 故选:B.
    【点评】本题考查了二次函数的定义,牢记二次函数的定义是解题的关键.
    2. 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=2,下列结论中,正确的是( ) A.AB=2sinA B.AB=2cosA C.BC=2tanA D.BC=2cotA
    【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案.
    【解答】解:∵∠C=90°,AC=2,
    ∴cosA= =, 故 AB=,
    故选项 A,B 错误;



    tanA= = ,
    则 BC=2tanA,故选项 C 正确; 则选项 D 错误.
    故选:C.

    【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系,正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键.
    3. 如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 的反向延长线上,下面比例式中,不能判断 ED∥BC 的是( )






    A.
    B. C. D.
    【分析】根据平行线分线段成比例定理,对各选项进行逐一判断即可.
    【解答】解:A.当时,能判断 ED∥BC;
    B. 当时,能判断 ED∥BC;
    C. 当时,不能判断 ED∥BC;
    D. 当时,能判断 ED∥BC; 故选:C.
    【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理,如果一条直线截三角形的两边
    (或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的



    第三边.
    4. 已知,下列说法中,不正确的是( )
    A. B.与方向相同
    C. D.
    【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案,注意掌握排除法在选择题中的应用.
    【解答】解:A、错误.应该是﹣5=;
    B、正确.因为,所以与的方向相同;
    C、正确.因为,所以∥;
    D、正确.因为,所以||=5||; 故选:A.
    【点评】本题考查了平面向量,注意,平面向量既有大小,又由方向,平行向量, 也叫共线向量,是指方向相同或相反的非零向量.零向量和任何向量平行.
    5. 如图,在平行四边形 ABCD 中,F 是边 AD 上的一点,射线 CF 和 BA 的延长线交于点 E,如果,那么的值是( )

    A. B. C. D.
    【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可.
    【解答】解:∵在平行四边形 ABCD 中,
    ∴AE∥CD,


    ∴△EAF∽△CDF,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵AF∥BC,
    ∴△EAF∽△EBC,
    ∴=, 故选:D.
    【点评】此题考查相似三角形的判定和性质,综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键.
    6. 如图,已知 AB 和 CD 是⊙O 的两条等弦.OM ⊥AB,ON⊥CD,垂足分别为点 M、N,BA、DC 的延长线交于点 P,联结 OP.下列四个说法中:
    ①;②OM=ON;③PA=PC;④∠BPO=∠DPO,正确的个数是( )



    A.1 B.2 C.3 D.4
    【分析】如图连接 OB、OD,只要证明 Rt△OMB≌Rt△OND,Rt△OPM≌
    Rt△OPN 即可解决问题.
    【解答】解:如图连接 OB、OD;





    ∵AB=CD,
    ∴=,故①正确
    ∵OM⊥AB,ON⊥CD,
    ∴AM=MB,CN=ND,
    ∴BM=DN,
    ∵OB=OD,
    ∴Rt△OMB≌Rt△OND,
    ∴OM=ON,故②正确,
    ∵OP=OP,
    ∴Rt△OPM≌Rt△OPN,
    ∴PM=PN,∠OPB=∠OPD,故④正确,
    ∵AM=CN,
    ∴PA=PC,故③正确, 故选:D.
    【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.

    二.填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)



    7. 如 果 = , 那么 = .
    【分析】利用比例的性质由 =得到 =,则可设 a=2t,b=3t,然后把 a=2t,
    b=3t 代入中进行分式的运算即可.
    【解答】解:∵=,
    ∴=,
    设 a=2t,b=3t,
    ∴==.
    故答案为.
    【点评】本题考查了比例的性质:常用的性质有:内项之积等于外项之积;合比性质;分比性质;合分比性质;等比性质.
    8.已知线段 a=4 厘米,b=9 厘米,线段 c 是 线段 a 和线段 b 的比例中项,线段 c 的长度等于 6 厘米.
    【分析】根据比例中项的定义,列出比例式即可得出中项,注意线段不能为负.
    【解答】解:根据比例中项的概念结合比例的基本性质,得:比例中项的平方等于两条线段的乘积.
    所以 c2=4×9,解得 c=±6(线段是正数,负值舍去),
    ∴c=6cm,
    故 答案为:6.
    【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识,解题的关键是熟练掌握基本概念, 属于中考常考题型.
    9.化简: = ﹣4 +7 .
    【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可

    【解答】解:: =﹣4+6=﹣4+7,故答案为;
    【点评】本题考查平面向量的加减法则,解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则,注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律,适合去括号法则.
    10. 在直角坐标系平面内,抛物线 y=3x2+2x 在对称轴的左侧部分是 下降 的
    (填“上升”或“下降”)
    【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向,再结合二次函数的增减性则可求得答案.
    【解答】解:
    ∵在 y=3x2+2x 中,a=3>0,
    ∴抛物线开口向上,
    ∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小,即图象是下降的, 故答案为:下降.
    【点评】本题主要考查二次函数的性质,利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键.
    11. 二次函数 y=(x﹣1)2﹣3 的图象 与 y 轴的交点坐标是 (0,﹣2) .

    【分析】求自变量为 0 时的函数值即可得到二次函数的图象与 y 轴的交点坐标.
    【解答】解:把 x=0 代入 y=(x﹣1)2﹣3 得 y=1﹣3=﹣2, 所以该二次函数的图象与 y 轴的交点坐标为(0,﹣2),
    故答案为(0,﹣2).
    【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,在 y 轴上的点的横坐标为 0.

    12. 将抛物线 y=2x2 平移,使顶点移动到点 P(﹣3,1)的位置,那么平移后所得新抛物线的表达式是 y=2(x+3)2+1 .
    【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变,然后根据顶点式写出新抛物线解析式.
    【解答】解:抛物线 y=2x2 平移,使顶点移到点 P(﹣3,1)的位置,所得新抛物线的表达式为 y=2(x+3)2+1.
    故答案为:y=2(x+3)2+1.
    【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变, 故 a 不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
    13. 在直角坐标平面内有一点 A(3,4),点 A 与原点 O 的连线与 x 轴的正半轴夹角为α,那么角α的余弦值是 .
    【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解.
    【解答】解:∵在直角坐标平面内有一点 A(3,4),
    ∴OA= =5,
    ∴cosα= . 故答案为:.
    【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识,此题比较简单,易于掌握.
    14. 如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D、E 分别在边BC、AB 上,且∠ADE=
    ∠B,如果 DE:AD=2:5,BD=3,那么 AC= , .





    【分析】根据∠ADE=∠B,∠EAD=∠DAB,得出△AED∽△ABD,利用相似三角形的性质解答即可.
    【解答】解:∵∠ADE=∠B,
    ∵∠EAD=∠DAB,
    ∴△AED∽△ABD,
    ∴,
    即,
    ∴AB= ,
    ∵AB=AC,
    ∴AC= ,
    故答案为:,
    【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质.关键是要懂得找相似三角形,利用相似三角形的性质求解.
    15. 如图,某水库大坝的横断面是梯形 ABCD,坝顶宽 AD=6 米,坝高是 20 米,背水坡 AB 的坡角为 30°,迎水坡 CD 的坡度为 1:2,那么坝底 BC 的长度等于 (46+20 ) 米(结果保留根号)





    【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线 AE、DF,得到两个直角三角形和一个矩形,分别解 Rt△ABE、Rt△DCF 求得线段 BE、CF 的长,然后与

    EF 相加即可求得 BC 的长.
    【解答】解:如图,作 AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点 E,F,则四边形 ADFE 是矩形.



    由题意得,EF=AD=6 米,AE=DF=20 米,∠B=30°,斜坡 CD 的坡度为 1: 2,
    在 Rt△ABE 中,∵∠B=30°,
    ∴BE=AE=20 米.
    在 Rt△CFD 中,∵=,
    ∴CF=2DF=40 米,
    ∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20(米).
    所以坝底 BC 的长度等于(46+20)米. 故答案为(46+20).
    【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,难度适中,解答本题的关键是构造直角三角形和矩形,注意理解坡度与坡角的定义.
    16. 已知 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=,CD⊥AB,垂足为点 D, 以点 D 为圆心作⊙D,使得点 A 在⊙D 外,且点 B 在⊙D 内.设⊙D 的半径为 r,那么 r 的取值范围是 .
    【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长,进而得出 CD 的长,由点与圆的位置关系即可得出结论.
    【解答】解:∵Rt△ABC 中,∠ACB=90,AC=3,BC=,

    ∴AB= =4.
    ∵CD⊥AB,
    ∴CD=.
    ∵AD•BD=CD2,
    设 AD=x,BD=4﹣x. 解得 x=
    ∴点 A 在圆外,点 B 在圆内,
    r 的范围是,
    故答案为:.
    【点评】本题考查的是点与圆的位置关系,熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键.
    17. 如图,点 D 在△ABC 的边 BC 上,已知点 E、点 F 分别为△ABD 和△ADC 的重心,如 果 BC=12,那么两个三角形重心之间的距离 EF 的长等于 4 .



    【分析】连接 AE 并延长交 BD 于 G,连接 AF 并延长交 CD 于 H,根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答.
    【解答】解:如图,连接 AE 并延长交 BD 于 G,连接 AF 并延长交 CD 于 H,
    ∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心,
    ∴DG=BD,DH=CD,AE=2GE,AF=2HF,
    ∵BC=12,

    ∴GH=DG+DH= (BD+CD)= BC= ×12=6,
    ∵AE=2GE,AF=2HF,∠EAF=∠GAH,
    ∴△EAF∽△GAH,
    ∴==,
    ∴EF=4,
    故答案为:4.

    【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质,三角形的重心是三角形中线的交点,三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍.
    18. 如图,△ABC 中,AB=5,AC=6,将△ABC 翻折,使得点 A 落到边 BC 上的点 A′处,折痕分别交边 AB、AC 于点 E,点 F,如果 A′F∥AB,那么 BE= .




    【分析】设 BE=x,则 AE=5﹣x=AF=A'F,CF=6﹣(5﹣x)=1+x,依据△A'CF
    ∽△BCA,可得=,即 =,进而得到 BE=.
    【解答】解:如图,由折叠可得,∠AFE=∠A'FE,
    ∵A'F∥AB,
    ∴∠AEF=∠A'FE,
    ∴∠AEF=∠AFE,

    ∴AE=AF,
    由折叠可得,AF=A'F,
    设 BE=x,则 AE=5﹣x=AF=A'F,CF=6﹣(5﹣x)=1+x,
    ∵A'F∥AB,
    ∴△A'CF∽△BCA,
    ∴=,即= , 解得 x=,
    ∴BE=,
    故答案为:.

    【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用,折叠是一种对称变换,它属于轴对称, 折叠前后图形的形状和大小不变,对应边和对应角相等.

    三、解答题(本大题共 7 题,满分 78 分)
    19.(10 分)计算: 45°.
    【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案 .
    【解答】解:原式=﹣ ×
    = ﹣

    = .
    【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关数据是解题关键. 20 .(10 分)已知一个二次函数的图象经过 A(0,﹣3),B(1,0),C(m,
    2m+3),D(﹣1,﹣2)四点,求这个函数解析式以及点 C 的坐标.
    【分析】设一般式 y=ax2+bx+c,把 A、B、D 点的坐标 代入得,然
    后 解法组即可得到抛物线的解析式,再把 C(m,2m+3)代入解析式得到关于 m 的方程,解关于 m 的方程可确定 C 点坐标.
    【解答】解:设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,
    把 A(0,﹣3),B(1,0),D(﹣1,﹣2)代入得,解得,
    ∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3,
    把 C(m,2m+3)代入得 2m2+m﹣3=2m+3,解得 m1=﹣,m2=2,
    ∴C 点坐标为(﹣,0)或(2,7).
    【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与 x 轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.
    21.(10 分)如图,已知⊙O 经过△ABC 的顶点 A、B,交边 BC 于点 D,点



    A 恰为的中点,且 BD=8,AC=9,sinC= ,求⊙O 的半径.

    【分析】如图,连接 OA.交 BC 于 H.首先证明 OA⊥BC,在 Rt△ACH 中, 求出 AH,设⊙O 的半径为 r,在 Rt△BOH 中,根据 BH2+OH2=OB2,构建方程即可解决问题;
    【解答】解:如图,连接 OA.交 BC 于 H.






















    ∵点 A 为的中点,
    ∴OA⊥BD,BH=DH=4,
    ∴∠AHC=∠BHO=90°,
    ∵sinC== ,AC=9,
    ∴AH=3,
    设⊙O 的半径为 r,
    在 Rt△BOH 中,∵BH2+OH2=OB2,
    ∴42+(r﹣3)2=r2,
    ∴r=,
    ∴⊙O 的半径为 .



    【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
    22.(10 分)下面是一位同学的一道作图题:
    已知线段 a、b、c(如图),求作线段 x,使 a:b=c:x

    他的作法如下:
    (1) 、以点 O 为端点画射线 OM,ON.
    (2) 、在 OM 上依次截取 OA=a,AB=b.
    (3) 、在 ON 上截取 OC=c.
    (4) 、联结 AC,过点 B 作 BD∥AC,交 ON 于点D.所以:线段 CD 就是所求的线段 x.
    ①试将结论补完整
    ②这位同学作图的依据是 平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线),所得对应线段成比例
    ③如果 OA=4,AB=5,,试用向量表示向量.
    【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得;
    ②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线),所得对应线段成比例”可得;
    ③先证△OAC∽△OBD 得 = ,即 BD= AC,从而知= =﹣ =﹣





    【解答】解:①根据作图知,线段 CD 就是所求的线段 x, 故答案为:CD;

    ②这位同学作图的依据是:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线),所得对应线段成比例;
    故答案为:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线),所得对应线段成比例;

    ③∵OA=4、AB=5,且 BD∥AC,
    ∴△OAC∽△OBD,
    ∴=,即= ,
    ∴BD=AC,
    ∴= =﹣ =﹣ .

    【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图,解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算.
    23.(12 分)已知:如图,四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相 交于点E,AD=DC,
    DC2=DE•DB,求证:
    (1) △BCE∽△ADE;
    (2) AB•BC=BD•BE.





    【分析】(1)由∠DAC=∠DCA,对顶角∠AED=∠BEC,可证△BCE∽△ADE.
    (2)根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA,进而得出△BCE∽△BDA, 利用相似三角形的性质解答即可.
    【解答】证明:(1)∵AD=DC,
    ∴∠DAC=∠DCA,
    ∵DC2=DE•DB,
    ∴=,∵∠CDE=∠BDC,
    ∴△CDE∽△BDC,
    ∴∠DCE=∠DBC,
    ∴∠DAE=∠EBC,
    ∵∠AED=∠BEC,
    ∴△BCE∽△ADE,
    (2)∵DC2=DE•DB,AD=DC
    ∴AD2=DE•DB,
    同法可得△ADE∽△BDA,
    ∴∠DAE=∠ABD=∠EBC,
    ∵△BCE∽△ADE,
    ∴∠ADE=∠BCE,
    ∴△BCE∽△BDA,



    ∴ = ,
    ∴AB•BC=BD•BE.

    【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质.关键是要懂得找相似三角形,利用相似三角形的性质求解.
    24.(12 分)如图,已知在平面直角坐标系中,已知抛物线 y=ax2+2ax+c(其中 a、c 为常数,且 a<0)与 x 轴交于点 A,它的坐标是(﹣3,0),与 y轴交于点 B,此抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4
    (1) 求抛物线的表达式;
    (2) 求∠CAB 的正切值;
    (3) 如果点 P 是抛物线上的一点,且∠ABP=∠CAO,试直接写出点 P 的坐标.

    【分析】(1)先求得抛物线的对称轴方程,然后再求得点 C 的坐标,设抛物线的解析式为 y=a(x+1)2+4,将点(﹣3,0)代入求得 a 的值即可;
    (2) 先求得 A、B、C 的坐标,然后依据两点间的距离公式可得到 BC、AB、
    AC 的长,然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°,最后,依据锐角三角函数的定义求解即可;



    (3) 记抛物线与 x 轴的另一个交点为 D.先求得 D(1,0),然后再证明∠DBO=
    ∠CAB,从而可证明∠CAO=ABD,故此当点 P 与点 D 重合时,∠ABP=∠
    CAO;当点 P 在 AB 的上时.过点 P 作 PE∥AO,过点 B 作 BF∥AO,则
    PE∥BF.先证明∠EPB=∠CAB,则 tan∠EPB=,设 BE=t,则 PE=3t,
    P(﹣3t,3+t),将 P(﹣3t,3+t)代入抛物线的解析式可求得 t 的值,从而可得到点 P 的坐标.
    【解答】解:(1)抛物线的对称轴为 x=﹣=﹣1.
    ∵a<0,
    ∴抛物线开口向下.
    又∵抛物线与 x 轴有交点,
    ∴C 在 x 轴的上方,
    ∴抛物线的顶点坐标为(﹣1,4).
    设抛物线的解析式为 y=a(x+1)2+4,将点(﹣3,0)代入得:4a+4=0,解得:a=﹣1,
    ∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3.
    (2) 将 x=0 代入抛物线的解析式得:y=3,
    ∴B(0,3).
    ∵C(﹣1,4)、B(0,3)、A(﹣3,0),
    ∴BC=,AB=3 ,AC=2 ,
    ∴BC2+AB2=AC2,
    ∴∠ABC=90°.
    ∴tan∠CAB= = .



    (3) 如图 1 所示:记抛物线与 x 轴的另一个交点为 D.

    ∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称,
    ∴D(1,0).
    ∴tan∠DBO= .
    又∵由(2)可知:tan∠CAB=.
    ∴∠DBO=∠CAB. 又∵OB=OA=3,
    ∴∠BAO=∠ABO.
    ∴∠CAO=∠ABD.
    ∴当点 P 与点 D 重合时,∠ABP=∠CAO,
    ∴P (1,0).
    如图 2 所示:当点 P 在 AB 的上时.过点P 作 PE∥AO,过点 B 作 BF∥AO, 则 PE∥BF.





    ∵BF∥AO,



    ∴∠BAO=∠FBA. 又∵∠CAO=∠ABP,
    ∴∠PBF=∠ CAB. 又∵PE∥BF,
    ∴∠EPB=∠PBF,
    ∴∠EPB=∠CAB.
    ∴tan∠EPB= .
    设 BE=t,则 PE=3t,P(﹣3t,3+t).
    将 P(﹣3t,3+t)代入抛物线的解析式得:y=﹣x2﹣2x+3 得:﹣9t2+6t+3=3+t,解得 t=0(舍去)或 t=.
    ∴P(﹣,).
    综上所述,点 P 的坐标为 P(1,0)或 P(﹣,).
    【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应 用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义,用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键.
    25.(14 分)如图 1,∠BAC 的余切值为 2,AB=2,点 D 是线段 AB 上的一动点(点 D 不与点 A、B 重合),以点 D 为顶点的正方形 DEFG 的另两个顶点 E、F 都在射线 AC 上,且点 F 在点 E 的右侧,联结 BG,并延长 BG, 交射线 EC 于点 P.
    (1) 点 D 在运动时, 下列的线段和角中, ④⑤ 是始终保持不变的量(填序号);
    ①AF;②FP;③BP;④∠BDG;⑤∠GAC;⑥∠BPA;

    (2) 设正方形的边长为 x,线段 AP 的长为 y,求 y 与 x 之间的函数关系式, 并写出定义域;
    (3) 如果△PFG 与△AFG 相似,但面积不相等,求此时正方形的边长.
    【分析】(1)作 BM⊥AC 于 M,交 DG 于 N,如图,利用三角函数的定义得到
    =2,设 BM=t,则 AM=2t,利用勾股定理得(2t)2+t2=(2)2,解得
    t=2,即 BM=2,AM=4,设正方形的边长为 x,则 AE=2x,AF=3x,由于
    tan∠GAF= =,则可判断∠GAF 为定值;再利用 DG∥AP 得到∠BDG=
    ∠BAC,则可判断∠BDG 为定值;在 Rt△BMP 中,利用勾股定理和三角函数可判断 PB 在变化,∠BPM 在变化,PF 在变化;
    (2) 易得四边形DEMN 为矩形,则 NM=DE=x,证明△BDG∽△BAP,利用相似比可得到 y 与 x 的关系式;
    (3) 由于∠AFG=∠PFG=90°,△PFG 与△AFG 相似,且面积不相等,利用
    相似比得到 PF=x,讨论:当点 P 在点 F 点右侧时,则 AP=x,所以
    = x,当点 P 在点 F 点左侧时,则 AP= x,所以 = x,然后分别解方程即可得到正方形的边长.
    【解答】解:(1)作 BM⊥AC 于 M,交 DG 于 N,如图 ,在 Rt△ABM 中,∵cot∠BAC==2,
    设 BM=t,则 AM=2t,
    ∵AM2+BM2=AB2,
    ∴(2t)2+t2=(2 )2,解得 t=2,

    ∴BM=2,AM=4,
    设正方形的边长为 x,
    在 Rt△ADE 中,∵cot∠DAE==2,
    ∴AE=2x,
    ∴AF=3x,
    在 Rt△GAF 中,tan∠GAF=== ,
    ∴∠GAF 为 定值;
    ∵DG∥AP,
    ∴∠BDG=∠BAC,
    ∴∠BDG 为定值;
    在 Rt△BMP 中,PB=, 而 PM 在变化,
    ∴PB 在变化,∠BPM 在变化,
    ∴PF 在变化,
    所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量; 故答案为④⑤;
    (2) 易得四边形 DEMN 为矩形,则 NM=DE=x,
    ∵DG∥AP,
    ∴△BDG∽△BAP,
    ∴=,
    即=,
    ∴y= (1≤x<2)

    (3) ∵∠AFG=∠PFG=90°,△PFG 与△AFG 相似,且面积不相等,
    ∴=,即= ,
    ∴PF=x,
    当点 P 在点 F 点右侧时,AP=x,
    ∴=x, 解得 x=,
    当点 P 在点 F 点左侧时,AP=AF﹣PF=3x﹣x= x,
    ∴=x, 解得 x=,
    综上所 述,正方形的边长为或.

    【点评】本题考查了相似形综合题:熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质.

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