2020-2021学年第二章 基本初等函数（Ⅰ）综合与测试课时训练

专题强化练4　复合函数问题的解法

一、选择题

1.(★★☆)已知函数f(x+1)=()x,则f=(　　)

A. B.e C. D.e2

2.(★★☆)函数f(x)=log3(6-x-x2)的单调递增区间是(　　)

A. B.

C. D.

3.(★★☆)函数y=lo(1-3x)的值域为(　　)

A.R B.(-∞,0)

C.(0,+∞) D.(1,+∞)

4.(★★★)已知函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在[2,+∞)上单调递减,则a的取值范围为(　　)

A.(-∞,4] B.[4,+∞)

C.[-4,4] D.(-4,4]

5.(2019安徽宿州十三所重点中学高一上期中,★★★)若函数f =lg(x+),则f+f 的值为(　　)

A.2 B.lg 5 C.0 D.3

6.(2020安徽安庆高一上期末教学质量调研监测,★★★)已知函数f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1.若对任意的x1,x2∈R且x1<x2有>-3,则不等式f[log2(3x-2)]<log216-3log2(3x-2)的解集为(　　)

A. B.

C. D.

二、填空题

7.(2019吉林一中高一上期中,★★☆)函数y=4x-2x+9,x∈(-∞,2]的值域为　　　　. 

8.(★★☆)函数f(x)=log2(-x2+2x+7)的值域是　　　　　. 

9.(2019四川蓉城名校联盟高一上期中联考,★★☆)设函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间为　　　　. 

10.(★★☆)已知函数f(x)=log3(2x2-8x+m)的定义域为R,则m的取值范围是　　　　.  

11.(★★★)已知函数y=f(x)是定义在R上的单调函数,对于任意的x∈R, f[f(x)-2x]=3恒成立,则f(2)=　　　　. 

12.(2019河南郑州八校高一上期中联考,★★★)若函数y=loga(3-ax)(a>0,且a≠1)在[0,1)上是减函数,则实数a的取值范围是　　　　. 

三、解答题

13.(2019山西大学附中高一上期中,★★☆)若-1≤x≤2,求函数y=-3×2x+5的最大值和最小值,并求出取得最值时x的值.

14.(2020甘肃兰州一中高一上月考,★★★)设函数f(x)=log2(a∈R),且f-=-1.

(1)求f(x)的解析式;

(2)g(x)=lo,若当x∈,时,f(x)≤g(x)有解,求实数k的取值集合.

答案全解全析

专题强化练4　复合函数问

题的解法

一、选择题

1.A　令x+1=,则x=,因此f=(=(=,故选A.

2.C　由6-x-x2>0得x2+x-6<0,

解得-3<x<2.设u=6-x-x2,

则y=log3u.

∵y=log3u是增函数,u=6-x-x2=-x+2+在-∞,-上是增函数,

∴f(x)的单调递增区间是(-3,2)∩,即,故选C.

3.C　因为3x>0,且1-3x>0,所以0<1-3x<1.令1-3x=t(0<t<1),则y=lot是t∈(0,1)上的减函数,所以y>lo1=0,因此函数y=lo(1-3x)的值域为(0,+∞).故选C.

4.D　令t=x2-ax+3a(t>0),则y=log0.5t,因为y=log0.5t在(0,+∞)上单调递减,f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在[2,+∞)上单调递减,所以t=x2-ax+3a在[2,+∞)上单调递增,且恒大于0,所以

解得-4<a≤4,即a的取值范围为(-4,4].故选D.

5.C　依题意得f=f

=lg(-2+), f=f

=lg(2+),

∴f+f

=lg(-2+)+lg(2+)

=lg[(-2+)(2+)]=lg(5-4)=lg 1=0,故选C.

6.C　不等式>-3可化为f(x1)-f(x2)<-3(x1-x2),

即f(x1)+3x1<f(x2)+3x2,则函数F(x)=f(x)+3x是R上的增函数,又F(1)=4,于是不等式f[log2(3x-2)]<log216-3log2(3x-2)可化为F[log2(3x-2)]<F(1),所以log2(3x-2)<1,即0<3x-2<2,解得<x<,故选C.

二、填空题

7.答案　

解析　令u=2x,由x∈(-∞,2]得0<u≤4,则y=u2-u+9=+(0<u≤4).

当u=时,y有最小值,ymin=;当u=4时,y有最大值,ymax=21.

∴函数y=4x-2x+9,x∈(-∞,2]的值域为.

8.答案　(-∞,3]

解析　设t=-x2+2x+7,t>0,

∵-x2+2x+7=-(x-1)2+8≤8,

∴0<t≤8,

∴log2(-x2+2x+7)≤log28=3,

故f(x)的值域是(-∞,3].

9.答案　(-∞,1](或(-∞,1))

解析　设u=|x-1|,则y=,u≥0.

∵y=是减函数,u=|x-1|在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减,

∴y=在(-∞,1]上单调递增,

∴y=的单调递增区间为(-∞,1].

10.答案　(8,+∞)

解析　令t=2x2-8x+m,由题意知,t>0对于任意的x∈R恒成立,∴Δ=(-8)2-4×2m<0,解得m>8.

11.答案　5

解析　∵y=f(x)在R上是单调函数,

且f[f(x)-2x]=3恒成立,

∴f(x)-2x是常数.

设f(x)-2x=t,则f(x)=2x+t,且f(t)=3,

因此2t+t=3.

设g(t)=2t+t,

则g(t)在R上递增,

且g(1)=21+1=3,

因此g(t)=3有唯一解,∴t=1,

从而f(x)=2x+1,

∴f(2)=22+1=5.

12.答案　(1,3]

解析　令u=3-ax,则y=logau.

因为a>0,所以u=3-ax单调递减,

又由函数y=loga(3-ax)在[0,1)上是减函数知,y=logau在[0,1)上递增,

所以a>1.

又函数y=loga(3-ax)在[0,1)上有意义,

所以u=3-ax在x∈[0,1)上大于0恒成立,

而u=3-ax在x∈[0,1)上是减函数,

所以3-a≥0,

即a≤3.综上,1<a≤3,

故实数a的取值范围是(1,3].

三、解答题

13.解析　依题意得y=×(2x)2-3×2x+5.

令2x=t,由-1≤x≤2得≤t≤4,

又y=t2-3t+5=(t-3)2+,

所以当t=3时,y有最小值,

此时x=log23;当t=时,y有最大值,

此时x=-1.

14.解析　(1)由题知,f-=log2=-1,∴=,即=1+,解得a=1.∴f(x)=log2,其定义域为(-1,1).

(2)由题知f(x)≤g(x)有解,即log2≤lo=2log2=log2有解,即≤2有解.

由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),

∴1+x>0,1-x>0,∴≤2等价于k2≤1-x2.

令h(x)=1-x2,x∈,,则只需满足k2≤h(x)max即可.

∵h(x)=1-x2在,上单调递减,

∴h(x)max=h=,∴只需k2≤.

又由题意知k>0,∴0<k≤,

∴实数k的取值集合为k.