高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）练习

函数的最大值、最小值

1.函数y＝x－在[1，2]上的最大值为(　　)

A.0　　　　　　　　　　　　 B.

C.2   D.3

解析：选B.函数y＝x在[1，2]上是增函数，函数y＝－在[1，2]上是增函数，

所以函数y＝x－在[1，2]上是增函数.

当x＝2时，

ymax＝2－＝.

2.已知函数f(x)＝，其定义域是[－8，－4)，则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)有最大值，无最小值

B.f(x)有最大值，最小值

C.f(x)有最大值，无最小值

D.f(x)有最大值2，最小值

解析：选A.因为函数f(x)＝＝＝2＋，由函数的图象可知f(x)在[－8，－4)上单调递减，则f(x)在x＝－8处取得最大值，最大值为，x＝－4取不到函数值，即最小值取不到.故选A.

3.函数f(x)＝的最大值为(　　)

A.1   B.2

C.   D.

解析：选B.当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2，故选B.

4.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　)

A.2   B.－2

C.2或－2   D.0

解析：选C.当a＞0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a＜0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2.综上a＝±2.

5.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)

A.－1   B.0

C.1   D.2

解析：选C.因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，

所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2.

所以f(x)在[0，1]上单调递增.

又因为f(x)min＝－2，

所以f(0)＝－2，

即a＝－2.

6.函数f(x)＝2－在区间[1，3]上的最大值是　　　　.

解析：因为f(x)＝2－在[1，3]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(3)＝2－1＝1.

答案：1

7.若函数f(x)＝x2－6x＋m在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m的值为　　　　.

解析：函数f(x)＝x2－6x＋m的对称轴是直线x＝3，开口向上，所以函数f(x)在[2，3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x＝3处取得最小值，

由f(3)＝32－6×3＋m＝－3，

解得m＝6.

答案：6

8．函数y=+的最大值为__________.

【答案】

【解析】由，解得，

即函数的定义域为，

，

当时，取得最大值，

即.
故答案为：

9.求函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值和最小值.

解：∀x1，x2，且1≤x1<x2≤2，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝

＝，

因为1≤x1<x2≤2，

所以2<x1＋x2<4，

即6<3(x1＋x2)<12，

又1<x1x2<4，x2－x1>0，x1－3<0，x2－3<0，

故f(x1)－f(x2)>0.

所以函数f(x)＝在区间[1，2]上为减函数，

f(x)max＝f(1)＝－，f(x)min＝f(2)＝－4.

10.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)若y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，求实数a的取值范围.

解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.

因为x∈[－5，5]，故当x＝1时，f(x)取得最小值为1，

当x＝－5时，f(x)取得最大值为37.

(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图象的对称轴为直线x＝－a.

因为f(x)在[－5，5]上是单调的，

故－a≤－5或－a≥5.

即实数a的取值范围是a≤－5或a≥5.

11．已知函数

（1）证明函数在区间上的单调性；

（2）若函数在区间上的最大值为，最小值为，求的值.

解析（1）函数在区间上单调递增；

设任意的，且，

则

，

因为，，所以，，

所以，即，

所以函数在区间上的单调递增；

（2）函数对称轴为，开口向上，

所以函数在区间上单调递减，在上单调递增；

所以，，，

所以函数在区间上的最大值为，最小值为，

所以.