数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试巩固练习

第四章测评

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.计算:log225·log52=(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

解析log225·log52=3,故选A.

2.满足“对定义域内任意实数x,y,都有f(x·y)=f(x)+f(y)”的函数可以是(　　)

A.f(x)=x2 

B.f(x)=2x

C.f(x)=log2x 

D.f(x)=eln x

解析f(xy)=log2xy=log2x+log2y=f(x)+f(y).

3.函数f(x)=的定义域为(　　)

A.[-2,2] 

B.(-1,2]

C.[-2,0)∪(0,2] 

D.(-1,0)∪(0,2]

解析要使函数有意义,x应满足解得-1<x<0或0<x≤2,所以该函数的定义域为(-1,0)∪(0,2].故选D.

4.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(　　)

A.a<b<c B.a<c<b

C.c<a<b D.b<c<a

解析因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,

又0<0.20.3<0.20<1,即c∈(0,1),

所以a<c<b.故选B.

5.如果一种放射性元素每年的衰减率是8%,那么a kg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于(　　)

A.lg B.lg 

C. D.

解析设t年后剩余量为y kg,则y=(1-8%)ta=0.92ta.当y=a时,a=0.92ta,

所以0.92t=0.5,则t=log0.920.5=.

6.函数y=log0.4(-x2+3x+4)的值域是(　　)

A.(0,2] 

B.[-2,+∞)

C.(-∞,-2] 

D.[2,+∞)

解析-x2+3x+4=-,又-x2+3x+4>0,则0<-x2+3x+4≤,函数y=log0.4X在(0,+∞)内为减函数,则y=log0.4(-x2+3x+4)≥log0.4=-2,故函数的值域为[-2,+∞),选B.

7.函数y=在[-6,6]的图象大致为(　　)

解析设y=f(x)=,

则f(-x)==-=-f(x),

故f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除选项C.

f(4)=>0,排除选项D.

f(6)=≈7,排除选项A.

故选B.

8.已知函数f(x)=4x-2x+1-3,则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)

A.(-1,0) B.(0,1) 

C.(1,2) D.(2,3)

解析因为f(x)=4x-2x+1-3为连续函数,f(1)=4-4-3=-3<0且f(2)=16-8-3=5>0.因为f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)的零点所在的区间为(1,2).

9.国家相继出台多项政策控制房地产行业,现在规定房地产行业收入税如下:年收入在280万元及以下的税率为p%;超过280万元的部分按(p+2)%征税.现有一家公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是(　　)

A.560万元 B.420万元

C.350万元 D.320万元

解析设该公司的年收入为a万元,

则280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%.

解得a==320.

10.若函数f(x)=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则f(x)的定义域为(　　)

A.(-1,1)∪[2,4] 

B.(0,1)∪[2,4]

C.[2,4] 

D.(-∞,0]∪[1,2]

解析设t=2x,则t>0,且y=t2-3t+3=.∵函数f(x)=4x-3·2x+3的值域为[1,7],

∴函数y=t2-3t+3的值域为[1,7].

由y=1得t=1或t=2,由y=7得t=4或t=-1(舍去),则0<t≤1或2≤t≤4,即0<2x≤1或2≤2x≤4,解得x≤0或1≤x≤2.

∴f(x)的定义域是(-∞,0]∪[1,2],故选D.

11.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在两个零点,则a的取值范围是(　　)

A.[-1,0) B.[0,+∞)

C.[-1,+∞) D.[1,+∞)

解析要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选C.

12.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则(　　)

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0

C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0

解析设y1=2x,y2=,在同一平面直角坐标系中作出它们图象.

如图,在区间(1,x0)内,y2=的图象在y1=2x图象的上方,即,

所以<0,即f(x1)<0,同理f(x2)>0.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.如果幂函数f(x)的图象过点,则f(64)=　　　　　. 

解析 设幂函数f(x)=xα(α为常数),将代入,求得α=-,则f(x)=,所以f(64)=6.

14.函数f(x)=的零点是　　　　　. 

解析 由f(x)=0,即=0,得x=1,

即函数f(x)的零点为1.

15.设函数f(x)=则f(3)+f(4)=　　　　　. 

解析 ∵f(x)=

∴f(3)=f(9)=1+log69,f(4)=1+log64,

∴f(3)+f(4)=2+log69+log64=2+log636=2+2=4.

16.里氏震级M的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为　　　级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的　　　倍(假设二者相应的标准地震的振幅相同). 

解析 第一空,lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6.

第二空,设9级地震时最大振幅为A1,5级地震时最大振幅为A2,则9=lg A1-lg A0,5=lg A2-lg A0,

所以A1=109A0,A2=105A0,=10 000.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)计算:

(1)+0.2-2-π0+;

(2)log3(9×272)+log26-log23+log43×log316.

解析 (1)+0.2-2-π0+

=-1+(3-3

=+25-1+3=.

(2)log3(9×272)+log26-log23+log43×log316

=log3[32×(33)2]+(log23+log22)-log23+log43×log342=log3[32×36]+log22+(log43)×2(log34)

=log338+1+2=8+1+2=11.

18.(12分)画出函数f(x)=|log3x|的图象,并求出其值域、单调区间以及在区间上的最大值.

解析 因为f(x)=|log3x|=

所以在[1,+∞)上f(x)的图象与y=log3x的图象相同,在(0,1)上的图象与y=log3x的图象关于x轴对称,据此可画出其图象,如图所示.

由图象可知,函数f(x)的值域为[0,+∞),单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1).

当x∈时,f(x)在上是单调递减的,在(1,6]上是单调递增的.

又f=2,f(6)=log36<2,

故f(x)在上的最大值为2.

19.(12分)已知f(x)=其中a>0,a≠1.

(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,求实数a,b的取值范围;

(2)当a=2时,函数f(x)在(-∞,+∞)上只有一个零点,求实数b的取值范围.

解析 (1)由题易知f(x)在(-∞,0)上单调递增,

∴f(x)在(-∞,+∞)上应是单调递增的,

∴a>1,且f(0)=1+b≥-1,得b≥-2.

综上,a,b的取值范围分别是a>1,b≥-2.

(2)∵x<0时,f(x)<-1,

∴f(x)在(-∞,0)上无零点,

∴x≥0时,f(x)=2x+b只有一个零点,

∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(x)∈[1+b,+∞),

∴f(0)=1+b≤0,

∴b≤-1.

∴实数b的取值范围是b∈(-∞,-1].

20.(12分)已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0且a≠1.

(1)求函数f(x)的定义域;

(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;

(3)若f=2,求使f(x)>0成立的x的集合.

解析 (1)要使函数有意义,则解得-1<x<1,即函数f(x)的定义域为(-1,1).

(2)f(x)是奇函数.理由如下:

∵f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),∴f(x)是奇函数.

(3)若f=2,

∴loga-loga=loga4=2,

解得a=2,

∴f(x)=log2(1+x)-log2(1-x).

若f(x)>0,则log2(x+1)>log2(1-x),

∴x+1>1-x>0,

解得0<x<1,

故所求x的集合为(0,1).

21.(12分)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.

(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;

(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)

解析 (1)两个函数y=kax(k>0,a>1),y=p+q(p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加的越来越快,而函数y=p+q(p>0)的值增加的越来越慢.

由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,

所以函数模型y=kax(k>0,a>1)适合要求.

由题意可知,x=2时,y=24;x=3时,y=36,

所以解得

所以该函数模型的解析式是y=×x(x∈N*).

(2)x=0时,y=×0=,

所以元旦放入凤眼莲的面积是 m2.

由×x>10×,得x>10,

所以x>lo10=.

因为≈5.7,

所以x≥6,

所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.

22.(12分)已知函数f(x)=-.

(1)用定义证明函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数;

(2)若x∈[1,2],求函数f(x)的值域;

(3)若g(x)=+f(x),且当x∈[1,2]时,g(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.

解析 (1)函数f(x)的定义域为R,设x1,x2∈R且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=.

∵x1<x2,∴>0.

又+1>0,+1>0,

∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).

∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.

(2)∵f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,∴当x∈[1,2]时,f(x)min=f(2)=-,f(x)max=f(1)=-.

∴当x∈[1,2]时,f(x)的值域为.

(3)由(2)得,当x∈[1,2]时,f(x)∈,

∵g(x)=+f(x),

∴当x∈[1,2]时,

g(x)∈.

∵g(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立,

∴≥0,∴a≥.