全国卷新高考地区2021~2022学年高二上 期中测试数学卷（解析版）

全国卷新高考地区2021~2022学年高二上

期中测试数学卷

测试时间：120分钟  满分：150分

一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）

1．已知椭圆的焦距为8，且，则该椭圆的标准方程是（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】B

【解析】根据题意，，，即，，则．

若椭圆的焦点在轴上，则其标准方程为；

若椭圆的焦点在轴上，则其标准方程为．

故椭圆的标准方程为或．故选B．

2．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）．

A． B． C． D．与相交

【答案】B

【解析】，，由已知可得，则，因此，.故选B.

3．直线截圆所得的弦长是（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】C

【解析】圆心（0,0）到直线的距离，因为圆的半径为1，则弦长为.

故选C.

4．已知空间四点，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意得，，所以，

，所以，故选A.

5．已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设圆心关于直线直线的对称点的坐标为，则线段C1C2的中点为，且.于是，易知圆的半径长度不变，所以圆的方程为.故选D.

6．如图所示，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，交其准线于点，若，且，则的值为（    ）

A．1 B．2 C． D．3

【答案】B

【解析】过作准线的垂线，垂足为，则，

由，得直线的倾斜角为45°．设，由，得，

．又，，．故选B.

7．在如图所示的四棱锥中，，，，，，且，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】取的中点．则．因为且．所以四边形是矩形，所以．因为且，所以平面．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，．

设平面的法向量为，则取，得.

设直线与平面所成角为，则．故选A.

8．过双曲线的焦点作以焦点为圆心的圆的一条切线，切点为，的面积为，其中为半焦距，线段恰好被双曲线 的一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，可得图像如图：

∵O为F1F2的中点，N为F1M的中点，∴，∴，

∵焦点到渐近线的距离,∴，

又∵|OF1|=c, ，∴，∴，，∴，

∴，∴，∴或，

又∵，.

二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）

9．已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（    ）

A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4

C．离心率为 D．渐近线方程为

【答案】BD

【解析】∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确.

故选BD.

10．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，不能作为平面的法向量的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】设正方体的棱长为2，则，，∴，

设向量是平面的法向量，则取，得，

则是平面的一个法向量，

结合其他选项，检验可知只有B选项是平面的法向量，故选ACD．

11．对于直线，下列说法正确的是（    ）

A．直线恒过定点 B．直线斜率必定存在

C．时直线的倾斜角为 D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为

【答案】AD

【解析】A：由直线方程知：恒过定点，正确；

B：当时，直线斜率不存在，错误；

C：时有，即则倾斜角为，错误；

D：时，直线，则x、y轴交点分别为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，正确；

故选AD.

12．将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①；② 是等边三角形；③与平面所成的角为；④与所成的角为.其中正确的结论有（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】ABD

【解析】取中点，由正方形的性质得：，所以为二面角的平面角，因为二面角是直二面角，所以如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，

设正方形的边长为，则

所以，，，，，

因为=0，故，①正确.

又，，，所以为等边三角形，②正确.

对于③，为平面的一个法向量，，.

因为直线与平面所成的角的取值范围是，所以与平面所成的角为，故③错误.

又，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以与所成的角为，故④正确.

故选ABD.

三、填空题（每小题5分，共计20分）

13．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=_____.

【答案】

【解析】=(+)= +)= +=．故答案为：.

14．过点且与直线平行的直线方程为_______.

【答案】

【解析】设与直线平行的直线为，

因为点在直线上,所以，可得：，

所以该直线方程为：，故答案为：.

15．已知长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离为________．

【答案】

【解析】以为坐标原点，射线、、依次为、、轴，建立空间直角坐标系，

则点，2，，，0，，，0，，，4，，

从而，0，，，2，，，4，，

设平面的法向量为，，，由可得，

令，所以点到平面的距离为：．

故答案为：．

16．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.

【答案】

【解析】抛物线： ()的焦点,∵P为上一点，与轴垂直，

所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,

不妨设,因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，

又，

因为，所以,

，所以的准线方程为，故答案为：.

四、解答题：共70分，解答题需写出必要的解题过程或文字说明.

17．（10分）已知直线；.

（1）若，求的值；

（2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值．

【解析】（1）设直线的斜率分别为，则．

若，则，，

（2）若，则，

∴可以化简为，

又直线与直线的距离，

或，

综上：.

18．（12分）已知动点到点的距离，与点到直线的距离相等.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）若过点且斜率为的直线与动点的轨迹交于，两点，求线段的长度.

【解析】（1）由题意点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，，，

所以轨迹方程是；

（2）由已知直线方程是，设，

由得，所以，

．

19．（12分）如图，在四棱锥中中，底面，，，，，点为棱的中点.

（1）证明：；

（2）若为棱上一点，满足，求线段的长.

【解析】（1）底面ABCD，，

∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

由题意，，，，，

，，

，

.

（2），

，

由点F在棱PC上，设，，

，

，，解得，

即线段的长为.

20．（12分）已知圆，点．

（1）若点在圆外部，求实数的取值范围；

（2）当时，过点的直线交圆于，两点，求面积的最大值及此时直线l的斜率．

【解析】（1）根据题意，圆，即，

若在圆外，则有，

解得：，

即的取值范围为；

（2）当时，圆的方程为，圆心为，半径，

设，则，

当时，面积取得最大值，且其最大值为2，此时为等腰直角三角形，圆心到直线的距离，

设直线的方程为，即，

则有，解得，

即直线的斜率．

21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．

（1）若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；

（2）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；

（3）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．

【解析】（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，

PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，

∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，

建立空间直角坐标系，

∵点M是棱PD上一点，PM：MD＝1：2，

AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．

∴P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），

C（2，2，0），M（0，，），

＝（2，0，﹣4），＝（2，2，0），＝（0，，），

设平面ACM的法向量，

则，取x＝2，得（2，﹣2，1），

∵4﹣4＝0，PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM．

（2）D（0，4，0），＝（2，2，﹣4），＝（0，4，﹣4），

设平面CDP的法向量（a，b，c），

则，取b＝1，得（1，1，1），

平面ACD的法向量（0，0，1），

设二面角A﹣CD﹣P的平面角为θ，

则|cosθ|＝＝，

∴二面角A﹣CD﹣P的正弦值为＝．

（3）设，（0≤λ≤1），

则，

∴，

，平面CDP的法向量，

∵直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，

∴| |＝＝＝，

解得λ＝，

∴．

22．（12分）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．

【解析】（1）易知点、，故，

因为椭圆的离心率为，故，，

因此，椭圆的方程为；

（2）设点为椭圆上一点，

先证明直线的方程为，

联立，消去并整理得，，

因此，椭圆在点处的切线方程为.

在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，

直线的斜率为，所以，直线的方程为，

在直线的方程中，令，可得，即点，

因为，则，即，整理可得，

所以，，因为，，故，，

所以，直线的方程为，即.