【压轴精讲】数学中考培优竞赛专题 第31讲 几何三大变换之平移（含答案）学案

第31讲 几何三大变换之平移

平移的性质

函数的平移变换

八字真言：“左加右减”，“上加下减”

【例题讲解】

例题1．如图，将沿方向平移得到，若，，，，，阴影部分的面积为　　．

【解答】解：沿方向平移得到，

，

，

，

，

四边形是梯形，

．

故答案为：10.5．

例题2． 如图，中，，，是的中点．现将沿方向平移，得到，交于，则的长等于　　．

【解答】解：中，，，是的中点，

；

又由沿方向平移得到的，

，，

，

，即，

解得，；

故答案是：3．

例题3．如图，和是两个具有公共边的全等三角形，．，将沿射线平移一定的距离得到△，连接，．如果四边形是矩形，那么平移的距离为　　．

【解答】解：作于，

，

，，

，

四边形是矩形，

，

，

，

△，

，，

，

，

；

即平移的距离为7．

故答案为7．

例题4．如图，反比例函数的图象和矩形在第一象限，轴，且，，点的坐标为．若将矩形向下平移，使矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则的值是　　．

【解答】解：设矩形平移后的坐标是，的坐标是，

、落在反比例函数的图象上，

，

解得，

即矩形平移后的坐标是，

代入反比例函数的解析式得：．

故答案为6．

例题5．已知：如图①，在矩形中，，，，垂足是．点是点关于的对称点，连接、．若将沿着射线方向平移，设平移的距离为（平移距离指点沿方向所经过的线段长度）．当点分别平移到线段、上时，直接写出相应的的值；

【解答】设平移中的三角形为△，如答图2所示：

由对称点性质可知，．

由平移性质可知，，，．

①当点落在上时，

，

，

，

，即；

②当点落在上时，

，

，

，，

，

又易知，

△为等腰三角形，

，

，即．

例题6．已知二次函数的图象如图．将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为、、三点，若，求此时抛物线的解析式．

【解答】解：由得：，

；如图，设平移后的抛物线的解析式为，

则，即，

令，即，

解得：，，

，，，，

，

，

，即，

解得：，（舍去），

抛物线的解析式为．

【巩固练习】

1．在直角坐标系中，一直线向下平移3个单位后所得直线经过点，将直线绕点顺时针旋转后所得直线经过点，，则直线的函数关系式为       .

2．若二次函数y1=2（x+1）2-1是由二次函数y2=ax2+bx+c先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的，则a=     ，b=     ，c=     .

3．已知点是二次函数图象在轴右侧部分上的一个动点，将直线沿轴向上平移，分别交轴、轴于、两点．若以为直角边的与相似，则点的坐标为　　．

4．如图，直线与双曲线交于点．将直线向右平移个单位后，与双曲线交于点，与轴交于点，若，则　　．

5．如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为，直线与轴相交于点，连结，二次函数图象从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．

（1）求线段所在直线的函数解析式；

（2）设二次函数顶点的横坐标为，当为何值时，线段最短，并求出二次函数的表达式；

（3）当线段最短时，二次函数的图象是否过点，并说理由．

6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线过、两点，与轴的另一交点为．

（1）求抛物线解析式及点坐标；

（2）向右平移抛物线，使平移后的抛物线恰好经过的中点，求抛物线的表达式；

7．如图， 已知抛物线经过点、、三点 ．

（1） 该抛物线解析式为　    　；顶点坐标为　    　；

（2） 将该抛物线向下平移 3 个单位长度， 再向右移动个单位长度使得抛物线的顶点在内部 （不包括边界） ，试求的取值范围；

8．已知：如图，在直角梯形中，，，，，．为边上一点，以为边作正方形，使正方形和梯形在的同侧．

（1）当正方形的顶点恰好落在对角线上时，求的长；

（2）将（1）问中的正方形沿向右平移，记平移中的正方形为正方形，当点与点重合时停止平移．设平移的距离为，正方形的边与交于点，连接，，，是否存在这样的，使△是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）问的平移过程中，设正方形与重叠部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式以及自变量的取值范围．

9．如图，有一张直角三角形纸片，，，，直角边在轴上，点在第二象限，，，交轴于，将纸片过点折叠使与所在的直线上，得到折痕在轴上），再展开还原沿剪开得到四边形，然后把四边形从点开始沿射线方向平行移动，至点到达点停止（记平移后的四边形为．在平移过程中，设平移的距离，四边形与重叠的面积为．

（1）求折痕的长；

（2）平移过程中是否存在点落在轴上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（3）直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围　　．

10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，且，，直线经过点，交轴于点．

（1）求，坐标；

（2）已知抛物线顶点上，且经过点，的抛物线的解析式.

（3）将（2）中抛物线沿直线平移，平移后的抛物线交轴于点，顶点为点（顶点在轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使以EF=EG的为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.【解答】解：设直线的解析式为，，，，，解得，直线的解析式为．由题意，知直线绕点逆时针旋转后得到直线，则直线经过，，，易求直线的解析式为，将直线向上平移3个单位后得直线，所以直线的解析式为，即．

2.【解答】a=   2  ，b=   12  ，c=  16   .

3.【解答】解：设，则直线解析式为，

，

，

，，

根据勾股定理可得：．

以为直角边的与相似，

①当时，若，则，

设的横坐标是，则点纵坐标是，

根据题意得：，

解得：，

则的坐标是：，，

②当时，若，同理可以求得，

③当时，若，则，，

④当时，若，则，．

故答案为：，，，，，，．

4.【解答】解：设点的坐标为，

，

取的中点，

点相当于点向右平移了个单位，

点的坐标为，，

点坐标为，，

点，都在反比例函数的图象上，

，

解得或不合题意，舍去）

点的坐标为，

．

5.【解答】解：（1）设直线的解析式为，

，

，解得，

线段所在直线的函数解析式为；

（2）顶点的横坐标为，且在上移动，

，

，

抛物线的解析式为，

当时，，

，

当时，最短，

当最短时，抛物线的解析式为；

（3）若二次函数的图象是过点

则方程有解．

即方程有解，

△．

二次函数的图象不过点．

6.【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，

令，可得，则点的坐标为，

令，可得，则点的坐标为，

将，代入，

可得

解得

抛物线的解析式为：，

令，则，

解得，

点坐标为；

（2）由（1）知，，．

设的中点为，则．

，

平移后抛物线的解析式为：；

7.【解答】解： （1） 设抛物线为，

将、、代入得，

解得：．

故抛物线解析式为：，

，

故顶点坐标为；

故答案为：，；

（2） 由 （1） 得，，

平移后的抛物线为：，

平移后的抛物线顶点为，

设直线的解析式为：，

将、代入得，

解得：，

直线的解析式为，

当时，，

，

，

8.【解答】解：（1）如图①，

设正方形的边长为，

则，

，，

，

，

，

，

即，

解得：，

即；

（2）存在满足条件的，

理由：如图②，过点作于，

则，，

由题意得：，，，

，

，

，即，

，

在△中，，

在中，，

过点作于，

则，，

，

在中，，

（Ⅰ）若，则，

即，

解得：，

（Ⅱ）若，则，

即，

解得：，（舍去），

；

（Ⅲ）若，则，

即：，

此方程无解，

综上所述，当或时，△是直角三角形；

（3）①如图③，当在上时，，

即，

，

，

，

，

当时，，

②如图④，当在上时，，

，

，

，

，

当时，；

③如图⑤，当在上时，，

即，

解得：，

，

，

，

，

当时，

，

④如图⑥，当时，

，，，，

．

综上所述：

当时，，

当时，；

当时，，

当时，．

9.【解答】解：（1），，

，

，，

，

，，

，

（2）存在，理由如下：

如图1，作，

，

，

，即，

（3）①当时，即点到时经过的面积，如图2，

，，，

，

，

，

，

②当时，为的面积，

所以，

③当时，如图3

，，，

，

，，

，

此时，即当过点时，

当时，，在中，，

的面积为：，

，

④当时，如图4，

，，，

，

，

，，

，

综上可知与的函数关系式为：，

故答案为：．

10.【解答】解：（1）令，，解得，

则，

，，，；

（2）由二次函数对称性得，顶点横坐标为，

令，则，

顶点坐标为，，

设抛物线解析式为，把点，代入得，，

解析式为，

即，

（3）设顶点在直线上运动的横坐标为，则，

可设解析式为，

若时，，则，，

代入解析式得：，解得（舍去），，

此时所求的解析式为：；