【压轴精讲】数学中考培优竞赛专题 第16讲 二次函数与面积（含答案）学案

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第16讲 二次函数与面积
解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化.
【例题讲解】
例题1 如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：＝ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答问题：
如图2，顶点为C（1,4）的抛物线y＝ax2＋bx＋c交轴于点A（3,0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；
②是否存在抛物线上一点P，使＝？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
图1 图2 备用图


【解析】（1）设抛物线的解析式为：＝a（x－1）²＋4
把A（3,0）代入解析式求得a＝－1，
所以＝－（x－1）²＋4＝－x²＋2x＋3，
设直线AB的解析式为：＝kx＋b
由＝－x²＋2x＋3求得B点的坐标为（0,3）
把A（3,0），B（0,3）代入＝kx＋b中
解得：k＝－1，b＝3
所以＝－x＋3；
（2）①因为C点坐标为（1,4）
所以当x＝1时，＝4，＝2
所以CD＝4－2＝2
＝×3×2＝3（平方单位）；
②假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则h＝－＝（－x²＋2x＋3）－（－x＋3）＝－x²＋3x
由＝
得：×3×（－x²＋3x）＝3
化简得：x²－3x＋2＝0，
解得：＝1，＝2，
将＝1代入＝－x²＋2x＋3中，
解得P点坐标为（1，4）．
将＝2代入＝－x²＋2x＋3中，
解得P点坐标为（2，3）．
∵点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，
综上所述，P点的坐标为（1，4），（2，3）．
模型讲解
竖切
面积公式均为

横切
面积公式均为

【总结】
这种“铅垂高×水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖”均可.而在选择时，如何选用，取决于点D的坐标哪种更易求得.
例题2 已知一次函数y＝（k＋3）x＋（k－1）的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，P（－1，－4）.
（1）若△OBP的面积为3，求k的值；
（2）若△AOB的面积为1，求k的值.
【解析】（1）∵y＝（k＋3）x＋（k－1）的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴A（，0），B（0，k－1）
∵P（－1，－4）
∴×1＝3
∴＝6
∴＝7，或＝－5.
（2）＝1
＝2
∴（k－1）²＝2
①当k＋3≥0，即k≥－3时，k²－4k－5＝0
∴＝5，或＝－1；
②当k＋3＜0，即k＜－3时，k²＝－7（舍去）；
综上所述：＝5，或＝－1.
例题3 如图，二次函数y＝ax2－ax＋c的图像的顶点为C，一次函数y＝－x＋3的图像与这个二次函数的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与它的对称轴交于点D.
（1）求点D的坐标；
（2）若点C与点D关于x轴对称，且△BCD的面积为4，求此二次函数的关系式.

【解析】（1）∵y＝ax2－ax＋c
∴x＝－＝1，
∵y＝－x＋3
∴y＝2
∴D（1，2）；
（2）设B点坐标为（m，n）.
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C（1，－2）
∴CD＝4.
∵＝4，
∴×4×（m－1）＝4
∴m＝3
∵y＝－x＋3
∴n＝－3＋3＝0
∴B（3，0）
∵y＝ax2－ax＋c
∴
∴
∴y＝x2－x.

例题4 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2.
（1）求抛物线解析式；
（2）若点E时线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围.

【解析】（1）x²－10x＋16＝0，
解得＝2，＝8．
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC），
∴点B的坐标为（2,0），点C的坐标为（0,8）．
又由抛物线的对称轴是直线x＝－2，得A点坐标为（－6,0），把A，B，C点坐标代入表达式y＝ax²＋bx＋c，得，
解得．
∴所求抛物线的表达式为y＝－x²－＋8．
（2）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8,
∴AC＝10.
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，＝，即＝，
∴EF＝．
过点F作FG⊥AB，垂足为G，
则sin∠FEG＝sin∠CAB＝，
∴＝，FG＝·＝8－m，
∴S＝－＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）＝－m²＋4m（0＜m＜8）.

【巩固练习】
1.已知直线y＝2x＋4与x轴、y轴分别交于A，D两点，抛物线y＝－x²＋bx＋c经过点A，D，点B是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）设点M是直线AD上一点，且:＝1:3，求点M的坐标；












2．如图，已知抛物线y＝－x²＋bx＋c与一直线相交于A（－1,0），C（2,3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，直接写出△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．








3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；



4. 已知：二次函数y＝ax²＋bx＋6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是方程x²－4x－12＝0的两个根．
（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）如图，连接AC、BC，点P是线段OB上一个动点（点P不与点O、B重合），过点P作PQ∥AC交BC于点Q，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标．





5．一次函数y＝－x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax²＋4ax＋c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的右侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）设二次函数图象的顶点为D．
①若点D与点C关于现在x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式．
②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．





6.已知：在直角坐标系中，点C的坐标为（0，－2），点A与点B在x轴上，且点A与点B的横坐标是方程x²－3x－4＝0的两个根，点A在点B的左侧.
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的关系式.
（2）点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＜0）连接CD、CP，设△CDP的面积为S，当S取某一个值时，有两个点P与之对应，求此时S的取值范围？






7、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y＝mx²＋nx相交于A（1，3），B（4，0）两点.
（1）求出抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积、满足＝2，求出的值，并求出此时点M的坐标.

参考答案
1.【解析】（1）令y＝0，则2x＋4＝0，
解得x＝－2，
令x＝0，则y＝4，
所以，点A（－2,0）、D（0,4）；
代入抛物线y＝x²＋bx＋c中，得：
，解得
∴抛物线的解析式：y＝x²＋x＋4；
令y＝0，得：0＝x²＋x＋4，解得＝－2、＝4．
∴点B（4,0）．
（2）∵:＝1:3，∴AM:MD＝1:3；
过点M作MN⊥x轴于N，如图；
①当点M在线段AD上时，AM:AD＝1:4；
∵MN∥OD，∴△AMN∽△ADO
∴MN＝OD＝1、AN＝OA＝、ON＝OA－AN＝2―＝；
∴M（－，1）；
②当点M在线段DA的延长线上时，AM:AD＝1:2；
∵MN∥OD，∴△AMN∽△ADO，
∴MN＝OD＝2、AN＝OA＝1、ON＝OA＋AN＝3；
∴M（－3，－2）；
综上，符合条件的点M有两个，坐标为：（－，1）、（－3，－2）．




2.【解析】（1）y＝x＋1；（2）点P的坐标为（，）.
（1）将A（－1,0），C（2,3）代入y＝－x²＋bx＋c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝－x²＋2x＋3．
设直线AC的函数关系式为y＝kx＋a（k≠0），
将A（－1,0），C（2,3）代入y＝kx＋a，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝x＋1．
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，如图所示．
设点P的坐标为（x，－x²＋2x＋3）（－1＜x＜2），则点M的坐标为（x,0）．
∵点A的坐标为（－1,0），点C的坐标为（2,3），
∴AM＝x＋1，MN＝2－x，PM＝－x²＋2x＋3，CN＝3，AN＝3，
∴＝＋－，
＝AM·PM＋（PM＋CN）·MN－AN·CN，
＝（x＋1）（－x²＋2x＋3）＋（－x²＋2x＋3＋3）（2－x）－×3×3，
＝－x²＋x＋3．
∵＝－x²＋x＋3＝－（x－）²＋，－＜0，
∴当x＝时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为（，）．



3.【解析】（1）令y＝0，则ax²－2ax－3a＝0，
解得＝－1，＝3
∵点A在点B的左侧，
∴A（－1,0）
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴ DF∥OC，
∴＝，
∵CD＝4AC，
∴＝＝4，
∵OA＝1，
∴OF＝4，
∴D点的横坐标为4，
代入y＝ax²－2ax－3a得，y＝5a，
∴D（4,5a）
把A、D坐标代入y＝kx＋b得，
解得，
∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a．
（2）如图1，过点E作EN⊥y轴于点N
设点E（m，a（m＋1）（m－3）），，
则，
解得：，
∴＝a（m－3）x＋a（m－3），M（0，a（m－3）），
∵MC＝a（m－3）－a，NE＝m，
∴＝＋＝[a（m－3）] ＋[a（m－3）－a]m＝ （m－1）[a（m－3）－a]
＝（m－）²－a，
∴有最大值－a ＝，
∴a＝－.

4.【解析】（1）由x²－4x－12＝0，
解得：＝－2，＝6，
点A、点B的横坐标是方程x²－4x－12＝0的两个根，
故A（－2,0）、B（6,0），
则，
解得．
故二次函数y＝－x²＋2x＋6，顶点坐标（2,8）；
（2）设点P的横坐标为m，则0＜m＜6，
连接AQ，
直线BC的解析式为y＝－x＋6，直线AC的解析式为y＝3x＋6，
设Q点坐标为（a，6－a），
由PQ∥AC，
可知＝3，
解得a＝，
6－a＝（6－m），
＝＝（m＋2）·（6－m）
＝－（m²－4m－12）＝－（m－2）²＋6，
当m＝2时，＝6，
所以，当△CPQ的面积最大时，点P的坐标是（2,0）．



5.【解析】（1）∵抛物线的对称轴方程为x＝－，
∴抛物线的对称轴为x＝－＝－2．
∵将x＝－2代入y＝－x得：y＝－×（－2）＝，
∴点C的坐标为（－2，）．
（2）①∵点D与点C关于x轴对称，
∴点D的坐标为（－2，）．
∴CD＝3．
设点A的横坐标为x，则点A到CD的距离＝（x＋2）．
∵△ACD的面积等于3，
∴×CD×（x＋2）＝3．
解得：x＝0．
将x＝0代入y＝－x得：y＝0．
∴点A的坐标为（0,0）．
设抛物线的解析式为y＝a（x＋2）²－，将（0,0）代入得；4a－＝0，解得：a＝．
∴抛物线的解析式为y＝（x＋2）²－．

②如图所示，过点A作AE⊥DC，垂足为E．

设点D的坐标为（－2，m），则CD＝．
∵DC＝AC，
∴AC＝，
∵EA∥x轴，
∴∠COF＝∠CAE.
∴AE＝AC＝
∵△ACD的面积为10，
∴CD·AE＝10，即×（m－）×（m－）＝10.
解得：m＝6.5或m＝－3.5．
当m＝6.5时，点D的坐标为（－2,6.5）．
AE＝×（6.5－1.5）．
∴点A的横坐标为－2＋4＝2．
将x＝2代入y＝－x得；y＝－×2＝－．
∴点A的坐标为（2，－）．
设抛物线的解析式为y＝a（x＋2）²＋6.5，将点A的坐标代入得：16a＋6.5＝－1.5．
解得：a＝－．
∴抛物线的解析式为y＝－（x＋2）²＋6.5．
当m＝－3.5时，点D的坐标为（－2，－3.5）．
AE＝×[1.5－（－3.5）]＝4．
∴点A的坐标为（2，－）．
设抛物线的解析式为y＝a（x＋2）²－3.5，将点A的坐标代入得：16a－3.5＝－1.5．
解得：a＝．
∴抛物线的解析式为y＝（x＋2）²－3.5．


6.【解析】（1）解方程x²－3x－4＝0，得：＝－1、＝4，则A（－1,0）、B（4,0）；
依题意，设抛物线的解析式：y＝a（x＋1）（x－4），代入C（0，－2），得：
a（0＋1）（0－4）＝－2，
解得：a＝
故抛物线的解析式：y＝（x＋1）（x－4）＝x²－x－2．
（2）由C（0，－2）、D（2,0）得，直线CD：y＝x－2；
作直线l∥CD，且直线l与抛物线有且只有一个交点P，设直线l：y＝x＋b，联立抛物线的解析式：
x＋b＝x²－x－2，即：x²－x－2－b＝0
△＝－4××（－2－b）＝0，解得b＝－
即，直线l：y＝x－；
联立直线l和抛物线的解析式，得：
，
解得
则P（，－）；
过P作PM⊥x轴于M，如图（2）②
△CDP的最大面积：＝；
∴当P（，）时，△CDP的面积有最大值，且最大面积为．
连接BC则
＝BD×OC
＝（4－2）×2＝2
∴S的取值范围是2≤S＜.



7.【解析】（1）∵A（1,3），B（4,0）在抛物线y＝mx²＋nx的图象上，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝－x²＋4x；
（3）如图，过P作PF⊥CM于点F，

∵PM∥OA，
∴Rt△ADC∽Rt△MFP，
∴＝＝3，
∴MF＝3PF，
在Rt△ABD中，BD＝3，AD＝3，
∴tan∠ABD＝1，
∴∠ABD＝45°，设BC＝a，则CN＝a，
在RtS△PFN中，∠PNF＝∠BNC＝45°，
∴tan∠PNF＝＝1，
∴FN＝PF，
∴MN＝MF＋FN＝4PF，
∵＝2，
∴a²＝2××4PF²，
∴a＝PF，
∴NC＝a＝PF，
∴＝＝，
∴MN＝NC＝a，
∴MC＝MN＋NC＝（＋1）a，
∴M点坐标为（4－a，（＋1）a），
又M点在抛物线上，代入可得－（4－a）²＋4（4－a）＝（＋1）a，
解得a＝3－或a＝0（舍去），
OC＝4－a＝＋1，MC＝3＋2，
∴点M的坐标为（＋1，3＋2）．