人教A版 (2019)5.5 三角恒等变换第4课时导学案及答案

第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

必备知识·探新知

基础知识

知识点1　二倍角的正弦、余弦及正切公式

(1)sin2α＝2sinαcosα(S2α)．

(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)．

(3)tan2α＝(T2α)．

思考1：(1)所谓的“二倍角”公式，就是角α与2α之间的转化关系，对吗？

(2)公式中的角α是任意角吗？

提示：(1)不对．对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α是4α的二倍角，3α是α的二倍角，α是的二倍角，是的二倍角，…这里蕴含着换元思想．这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关系的．

(2)对于公式S2α，C2α中的角α是任意角，但是T2α中的角α要保证tanα有意义且分母1－tan2α≠0.

知识点2　二倍角公式的转换

(1)因式分解变换．

cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．

(2)配方变换：

1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.

(3)升幂缩角变换．

1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.

(4)降幂扩角变换．

cos2α＝(1＋cos2α)，sin2α＝(1－cos2α)，

sinαcosα＝sin2α.

思考2：如何证明“缩角升幂公式”？

提示：因为sin2α＋cos2α＝1，

所以cos2α＝cos2α－sin2α

＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；

cos2α＝cos2α－sin2α

＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.

基础自测

1．下列说法正确的个数是(　A　)

①对任意的角总有sin2θ＝2sinθ.

②不存在角α，使得cos2θ＝2cosθ.

③公式tan2α＝成立的条件是α≠kπ＋，k∈Z.

④对于任意角α，都有sin＝2sincos.

A．1　　 B．2　　

C．3　　 D．4

[解析]　①②③错误，④正确，故选A．

2．已知sinα＝，cosα＝，则sin2α等于(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　sin2α＝2sinαcosα＝.

3．已知cosα＝，则cos2α等于(　C　)

A． B．

C．－ D．

[解析]　cos2α＝2cos2α－1＝－1＝－.

4．(cos－sin)(cos＋sin)的值为(　D　)

A．－ B．－

C． D．

[解析]　原式＝cos2－sin2＝cos＝.

5．设sinα＝2cosα，则tan2α的值为__－__.

[解析]　tanα＝＝2，

所以tan2α＝＝－.

关键能力·攻重难

题型探究

题型一　利用二倍角公式给角求值问题

例1 求下列各式的值：

(1)sincos；(2)1－2sin2750°；(3)；

(4)－；(5)cos20°cos40°cos80°.

[分析]　→→→

[解析]　(1)原式＝＝＝.

(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°

＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝.

(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)

＝－tan60°＝－.

(4)原式＝＝

＝＝＝4.

(5)原式＝

＝＝

＝＝.

[归纳提升]　对于给角求值问题，一般有两类：

(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．

(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．

【对点练习】❶ 求下列各三角函数式的值：

(1)cos72°cos36°；

(2)＋.

[解析]　(1)原式＝cos36°·cos72°

＝＝＝.

(2)原式＝＝＝＝4.

题型二　利用二倍角公式给值求值问题

例2 (1)若cos(－α)＝，则sin2α＝____.

(2)已知α是第二象限角，tan(π＋2α)＝－，则tanα＝__－__.

[解析]　(1)方法一：由cos(－α)＝，得(sinα＋cosα)＝.两边同时平方，得(sinα＋cosα)2＝.故1＋sin2α＝.所以sin2α＝.

方法二：由二倍角公式，得cos2(－α)＝＝＝，所以sin2α＝.

方法三：因为cos(－α)＝，所以sin2α＝cos(－2α)＝cos2(－α)＝2cos2(－α)－1＝2×－1＝.

(2)由题设得tan(π＋2α)＝tan2α＝－.由二倍角公式，得tan2α＝＝－，整理得2tan2α－3tanα－2＝0，解得tanα＝2或tanα＝－.因为α是第二象限的角，所以tanα＝－.

[归纳提升]　解决给值求值问题的方法比较多，(1)可以利用倍角公式将二倍角(单角)化为单角(二倍角)，再通过三角基本公式得到所求值；(2)利用倍角公式的推论直接进行结构式的联系：如cos2α与sin2α及cos2α之间的关系，cosα±sinα与sin2α的关系等．

【对点练习】❷ 若sinα＋3sin(＋α)＝0，则cos2α的值为(　C　)

A．－　　　　　 B．

C．－ D．

[解析]　由sinα＋3sin(＋α)＝0，得sinα＋3cosα＝0，所以tanα＝＝－3，则cos2α＝＝＝＝－，故选C．

题型三　利用二倍角公式给值求角

例3 已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．

[分析]　本题根据tanβ＝－<0且β∈(0，π)，确定<β<π，可求得tanα＝且α∈(0，π)，确定0<α<，这是求角的范围的关键．

[解析]　因为2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝，

而tan2(α－β)＝＝.

从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]

＝＝＝1.

又因为tanα＝tan[(α－β)＋β]

＝＝<1，

且α∈(0，π)，所以0<α<.所以0<2α<.

又因为tanβ＝－<0，且β∈(0，π)，

所以<β<π，－π<－β<－，所以－π<2α－β<0.

所以2α－β＝－.

[归纳提升]　本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确的角．

【对点练习】❸ 已知tanα＝，tanβ＝，并且α，β均为锐角，求α＋2β的值．

[解析]　因为tanβ＝，

所以tan2β＝＝＝.

所以tan(α＋2β)＝＝＝1.

0<tanα＝<1,0<tanβ＝<1，α、β均为锐角，所以0<α<，0<β<，0<2β<.所以0<α＋2β<，又tan(α＋2β)＝1.所以α＋2β＝.

题型四　三角函数式化简

例4 (1)化简：2＋；

(2)设α∈(，2π)，化简：.

[分析]　(1)1＋sin8＝sin24＋2sin4cos4＋cos24＝(sin4＋cos4)2,2(1＋cos8)＝4cos24.

(2)连续运用公式：1＋cos2α＝2cos2α.

[解析]　(1)原式＝2＋

＝2|sin4＋cos4|＋2|cos4|.

因为4∈(π，)，

所以sin4<0，cos4<0.

故原式＝－2(sin4＋cos4)－2cos4＝－2sin4－4cos4＝－2(sin4＋2cos4)．

(2)因为α∈(，2π)，所以cosα>0，cos<0.

故原式＝＝＝＝|cos|＝－cos.

[归纳提升]　化简三角函数式的基本思路

解决三角函数的化简问题就是根据题目特点，利用相应的公式，对所给三角函数式进行适当变形．可从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决．一般采用化弦法、切弦法、异角化同角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形，同时注意公式的逆用以及“1”的恒等代换，达到化简的目的，在化简时，要注意角的取值范围．

【对点练习】❹ 化简cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋180°)·cos(θ－180°)．

[解析]　原式＝＋＋sin2θ＝1＋[cos(2θ＋30°)－cos(2θ－30°)]＋sin2θ＝1＋(cos2θcos30°－sin2θsin30°－cos2θcos30°－sin2θsin30°)＋sin2θ＝1＋(－sin2θsin30°)＋sin2θ＝1.

误区警示

利用二倍角公式化简时忽略原函数的定义域

例5 已知函数f(x)＝，求该函数的值域．

[错解]　∵f(x)＝＝＝＝cosx，∴f(x)∈[－1,1]．

[错因分析]　没有注意函数本身的定义域，即分母要求sin2x≠0，∴sinx≠0且cosx≠0，由此可知x≠，k∈Z，故函数的值域出现了错误．

[正解]　f(x)＝＝

＝＝cosx.

∵sin2x≠0，∴sinx≠0且cosx≠0，

由此可知x≠，k∈Z，

∴f(x)∈(－1,1)且f(x)≠0.

∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．

[方法点拨]　运用公式化简函数解析式的过程中，忽略定义域是解决与三角函数有关问题常见的易错点．要想正确求解，需要掌握倍角、分角的终边所在象限的确定方法．

学科素养

二倍角公式在三角形问题中的应用

三角形中最多只有一个钝角或直角，且其内角的正弦值均为正，但余弦值和正切值则不一定为正，解题时这些都要注意．

例6 已知△ABC的三个内角为A，B，C，f(B)＝4cosB·sin2(＋)＋cos2B－2cosB．

(1)若f(B)＝2，求B的大小；

(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围．

[分析]　(1)f(B)的式子过于烦琐，需将其化简，在求B的大小时应考虑其在三角形中，所以角B的范围为(0，π)．

(2)将化简得到的f(B)代入不等式中，即可求得实数m的取值范围．

[解析]　(1)f(B)＝4cosB·＋cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋cos2B－2cosB＝2cosBsinB＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝2sin(2B＋)．

∵f(B)＝2，∴2sin(2B＋)＝2，即sin(2B＋)＝1.

∴2B＋＝＋2kπ，k∈Z.又∵0<B<π，∴B＝.

(2)f(B)－m>2恒成立，即2sin(2B＋)>2＋m恒成立．

∵0<B<π，∴<2B＋<，

∴2sin(2B＋)∈[－2,2]，

∴2＋m<－2，解得m<－4.

课堂检测·固双基

1．已知α为第三象限角，且cosα＝－，则tan2α的值为(　A　)

A．－ B．

C．－ D．－2

[解析]　由题意可得tanα＝2，所以tan2α＝＝－.

2．下列各式中，值为的是(　D　)

A．sin15°cos15° B．2cos2－1

C． D．

[解析]　sin15°cos15°＝sin30°＝；

2cos2－1＝cos＝，

＝cos15°≠，

＝tan45°＝，∴选D．

3．化简·cos28°的结果为(　A　)

A． B．sin28°

C．2sin28° D．sin14°cos28°

[解析]　·cos28°＝×·cos28°＝tan28°·cos28°＝，故选A．

4．化简－的结果为(　D　)

A．－2sin40° B．2cos40°

C．－2sin40° D．2sin40°

[解析]　原式＝－＝(sin40°＋cos40°)－(cos40°－sin40°)＝2sin40°.

5．已知sin2α＝，α∈，则cosα－sinα的值是(　A　)

A．－ B．

C． D．－

[解析]　∵α∈，∴sinα>cosα.

又∵(cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－＝，

∴cosα－sinα＝－.