高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式当堂达标检测题

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新20版练B1数学人教A版5.3诱导公式
第五章　　三角函数
5.3 诱导公式
第1课时　诱导公式(1)
考点1　诱导公式的理解
1.已知角α和β的终边关于x轴对称,则下列各式中正确的是(　　)。
A.sin α=sin β
B.sin(α-2π)=sin β
C.cos α=cos β
D.cos(2π-α)=-cos β
答案:C
解析: 由角α和β的终边关于x轴对称,可知β=-α+2kπ(k∈Z),故cos α=cos β。
2.已知f(x)=sin x,下列式子中成立的是(　　)。
A.f(x+π)=sin x B.f(2π-x)=sin x
C.fx-π2=-cos x D.f(π-x)=-f(x)
答案:C
解析: f(x+π)=sin(x+π)=-sin x,f(2π-x)=sin(2π-x)=-sin x,fx-π2=sinx-π2=-sinπ2-x=-cos x,f(π-x)=sin(π-x)=sin x=f(x)。故选C。
3.若角A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式中一定成立的是(　　)。
A.cos(A+B)=cos C B.sin(A+B)=-sin C
C.cosA2+C =sin B D.sin B+C2=cos A2
答案:D
解析: ∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,∴cos(A+B)=-cos C,sin(A+B)=sin C,∴A,B都不正确。同理,B+C=π-A,∴sin B+C2=sinπ2-A2=cos A2。故选D。
4.已知函数f(x)=cos x2,则下列等式中成立的是(　　)。
A.f(2π-x)=f(x) B.f(2π+x)=f(x)
C.f(-x)=-f(x) D.f(-x)=f(x)
答案:D
解析: 对于A,f(2π-x)=cos 2π-x2=cosπ-x2=-cos x2≠f(x),A不成立;对于B,f(2π+x)=cos 2π+x2=cosπ+x2=-cos x2≠f(x),B不成立;对于C,f(-x)=cos -x2=cos x2=f(x)≠-f(x),C不成立,D成立。故选D。
考点2　诱导公式二~四的应用
5.(2019·天津一中高一上期末考试)化简sin2(π+α)-cos(π+α)·cos(-α)+1的结果为(　　)。
A.1 B.2sin2α
C.0 D.2
答案:D
解析: 原式=(-sin α)2-(-cos α)·cos α+1=sin2α+cos2α+1=2。
6.(2018·河北保定一中高一期中考试)已知A=sin(kπ+α)sinα+cos(kπ+α)cosα(k∈Z),则A构成的集合是(　　)。
A.{-1,1,-2,2} B.{1,-1}
C.{2,-2} D.{-2,-1,0,1,2}
答案:C
解析: 当k为偶数时,A=2;当k为奇数时,A=-2。故A构成的集合为{-2,2}。
7.(2018·银川调考)sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是(　　)。
A.14 B.34 C.114 D.94
答案:A
解析: 原式=sin230°+sin245°+2sin(180°+30°)+cos2(180°+45°)=122+222+(-2sin 30°)+-222=14+24-1+24=14。
8.(2018·成都七中月考)下列三角函数:
①sinnπ+43π;②cos2nπ+π6;
③sin2nπ+π3;④cos(2n+1)π-π6;
⑤sin(2n+1)π-π3(n∈Z)。
其中函数值与sin π3的值相同的是(　　)。
A.①② B.①③④ C.②③⑤ D.①③⑤
答案:C
解析: ①sinnπ+43π=(-1)nsin 43π=(-1)n+1sin π3;②cos2nπ+π6=cos π6=sin π3;③sin2nπ+π3=sin π3;④cos(2n+1)π-π6=cosπ-π6=-cos π6=-sin π3;⑤sin(2n+1)π-π3=sinπ-π3=sin π3,故②③⑤正确。
9.(2018·郑州调考)已知sinα-π4=32,则sin5π4-α的值为(　　)。
A.12 B.-12 C.32 D.-32
答案:C
解析: sin5π4-α=sinπ-α-π4=sinα-π4=32。
10.(2018·成都诊断)若cos(-100°)=a,则tan 80°等于(　　)。
A.-1-a2a B.1-a2a
C.-1+a2a D.1+a2a
答案:A
解析: cos(-100°)=cos 100°=cos(180°-80°)=-cos 80°=a,∴cos 80°=-a。又sin280°+cos280°=1,sin80°>0,∴sin 80°=1-cos280°=1-(-a)2=1-a2,故tan 80°=sin80°cos80°=-1-a2a。
11.(2018·重庆调考)已知cos(508°-α)=1213,则cos(212°+α)=　　　。 
答案: 1213
解析: 由于cos(508°-α)=cos(360°+148°-α)=cos(148°-α)=1213,
所以cos(212°+α)=cos(360°+α-148°)=cos(α-148°)=cos(148°-α)=1213。
12.(2018·武汉四月调考)设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,且满足f(2 018)=-1,则f(2 019)的值为　　　。 
答案:1
解析: ∵f(2 018)=asin(2 018π+α)+bcos(2 018π+β)=-1,∴f(2 019)=asin(2 019π+α)+bcos(2 019π+β)=asin[π+(2 018π+α)]+bcos[π+(2 018π+β)]=-[asin(2 018π+α)+bcos(2 018π+β)]=1。
13.(2018·天津一中期中)化简1-2sin10°cos10°cos10°-1-cos2170°等于　　　。 
答案:1
解析: 原式=(sin10°-cos10°)2cos10°-1-cos2(180°-10°)=cos10°-sin10°cos10°-sin10°=1。
14.(2018·东北育才中学检测)化简下列各式:
(1)cos(π-α)·sin(2π+α)sin(-π+α)·cos(-π-α);
答案: 原式=-cosα·sinα-sin(π-α)·cos(π+α)
=-cosα·sinαsinα·cosα=-1。
(2)cos190°·sin(-210°)cos(-350°)·tan(-585°)。
答案: 原式=cos(180+10°)·[-sin(180°+30°)]cos(360°-10°)·[-tan(360°+225°)]
=-cos10°·sin30°cos10°·[-tan(180°+45°)]
=-12-tan45°=12。
考点3　诱导公式五、六的应用
15.已知cosπ2+φ=32,且|φ|<π2,则tan φ等于(　　)。
A.-33 B.33 C.-3 D.3
答案:C
解析: 由cosπ2+φ=-sin φ=32,得sin φ=-32。又|φ|<π2,∴φ=-π3,∴tan φ=-3。
16.(2018·浙江温州高一下期末考试)若cosπ12-θ=13,则sin5π12+θ=(　　)。
A.13 B.223 C.-13 D.-223
答案:A
解析: ∵cosπ12-θ=13,∴sin5π12+θ=sinπ2-π12-θ=cosπ12-θ=13,故选A。
17.(2019·石家庄模拟)已知sin 10°=k,则cos 620°的值等于(　　)。
A.k B.-k C.±k D.不能确定
答案:B
18(2018·济南调考)已知cos5π12+α=13,且-π<α<-π2,则cosπ12-α的值为(　　)。
A.233 B.13 C.-13 D.-223
答案:D
解析: cosπ12-α=cosπ2-5π12+α=sin5π12+α。又-π<α<-π2,∴-7π12<5π12+α<-π12,∴sin5π12+α=-1-cos25π12+α=-223。
考点4　诱导公式二~六的综合应用
19.(2018·西安月考)如果sin(π+α)=12,那么cos32π-α的值是(　　)。
A.12 B.-12 C.32 D.-32
答案:A
解析: ∵sin(π+α)=-sin α=12,∴sin α=-12,∴cos32π-α=-sin α=12。
20.(2018·宁波调考)若sin(π+α)+cosπ2+α=-m,则cosπ2-α+2sin(3π-α)的值为(　　)。
A.-23 m B.23m C.-32m D.32m
答案:D
21(2018·西安调考)已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为(　　)。
A.-223 B.223 C.-23 D.23
答案:A
解析: 由-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°。又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-1-cos2(60°+α)=-1-132=-223。
22.(2019·北京东城区期末测试)若tan(π-α)=2,则2sin(3π+α)·cos5π2+α+sin32π-α·sin(π-α)的值为　　　。 
答案:2
23(2018·南京质检)已知sin α是方程5x2-7x-6=0的实根,α是第三象限角,则sin-α-3π2sin3π2-αtan3αcosπ2-αcosπ2+α的值为　　　。 
答案: 34
解析: 5x2-7x-6=0的两实根x1=-35,x2=2,故sin α=-35又α为第三象限角,故cos α=-45,所以原式=cosα(-cosα)·sin3αcos3αsinα·(-sinα)=sinαcosα=34。
第2课时　诱导公式(2)
考点1　给角求值问题
1.(2019·浙江杭州高一上期末)sin 315°+sin(-480°)+cos(-330°)的值为(　　)。
A.12 B.-12 C.-22 D.22
答案:C
解析: 原式=sin(360°-45°)+sin(-360°-120°)+cos(-360°+30°)=-sin 45°-sin 60°+cos 30°=-22-32+32=-22。故选C。
2.(2019·宁波一中月考)计算sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=(　　)。
A.89 B.90 C.892 D.45
答案:C
解析: ∵sin21°+sin289°=sin21°+cos21°=1,sin22°+sin288°=sin22°+cos22°=1,…,∴sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin244°+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos23°+cos22°+cos21°=44+12=892。
【归纳总结】给角求值的运算规则:负化正,大化小,化到锐角再查表。
3.(2019·江苏启东中学月考)计算:cos(-585°)sin495°-sin570°=　　　。 
答案: 2-2　
解析: 原式=cos585°sin(360°+135°)-sin(360°+210°)=cos225°sin135°-sin210°=-cos45°sin(90°+45°)-sin(180°+30°)=-2222+12=2-2。
4.(2019·合肥二中月考)若k为整数,则sinkπ-23π·coskπ+π6=　　　。 
答案: -34　
解析: 分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论。
(1)当k=2n(n∈Z)时,原式=sin2nπ-23π·cos2nπ+π6=-sin 23πcos π6=-sin π3cos π6=-32×32=-34。
(2)当k=2n+1(n∈Z)时,原式=sin2nπ+π-2π3·cos2nπ+π+π6=sin π3cosπ+π6=sin π3-cos π6=32×-32=-34。
所以sinkπ-23πcoskπ+π6=-34(k∈Z)。
考点2　给值求值问题
5.(2019·成都七中月考)已知sinα-π4=13,则cosπ4+α的值为(　　)。
A.223 B.-232 C.13 D.-13
答案:D
解析: ∵π4+α-α-π4=π2,∴cosπ4+α=sinπ2-π4+α=sinπ4-α=-sinα-π4=-13。
6.(2019·江西赣州十三县十四校高一上联考)设tan α=3,则sin(α-π)+cos(π-α)sinπ2-α+cosπ2+α=(　　)。
A.3 B.2 C.1 D.-1
答案:B
解析: sin(α-π)+cos(π-α)sinπ2-α+cosπ2+α=-sinα-cosαcosα-sinα=-tanα-11-tanα=-3-11-3=2。
7.(2019·安徽江南六校高一联考)已知函数f(x)满足f(cos x)=1-cos 2x,则f(sin 15°)=　　　。 
答案: 1+32
解析: ∵f(cos x)=1-cos 2x,∴f(sin 15°)=f(cos 75°)=1-cos 150°=1-cos(180°-30°)=1+cos 30°=1+32。
8.(2019·黑龙江鹤岗一中高一上期末考试)已知f(α)=sin(π-α)cos(2π-α)sin-α+3π2sinπ2+αsin(-π-α)。
(1)化简f(α);
答案: f(α)=sinα·cosα·(-cosα)cosα·sinα=-cos α。
(2)若α是第三象限角,且cosα-3π2=15,求f(α)的值。
答案: 因为α是第三象限角,且cosα-3π2=15,
所以sin α=-15,cos α=-265,所以f(α)=-cos α=265。
考点3　利用诱导公式化简求值问题
9.(2019·南宁一中月考)cos(α+π)·sin2(α+3π)tan(α+4π)·tan(α-π)·sin3π2+α的值为(　　)。
A.1 B.-1 C.sin α D.tan α
答案:B
解析: 原式=-cosα·sin2αtanα·tanα·cos3α=-sin2αtan2α·cos2α=-tan2αtan2α=-1。
10.化简sin400°sin(-230°)cos850°tan(-50°)的结果为　　　。 
答案: cos 50°
解析: sin400°sin(-230°)cos850°tan(-50°)=sin(360°+40°)[-sin(180°+50°)]cos(720°+90°+40°)(-tan50°)=sin40°sin50°sin40°tan50°=cos 50°。
11.(2019·陕西西安铁一中单元测评)化简cosα-π2sin52π+α·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为　　　。 
答案: -sin2α
解析: 原式=cosπ2-αsin2π+π2+α·(-sin α)·cos(-α)=sinαsinπ2+α·(-sin α)·cos α=sinαcosα·(-sin α)·cos α=-sin2α。
考点4　利用诱导公式证明三角恒等式问题
12.(2019·武汉二中月考)求证:tan(2π-α)cos3π2-αcos(6π-α)tan(π-α)sinα+3π2cosα+3π2=1。
答案:
证明:左边=tan(-α)-cosπ2-αcos(-α)(-tanα)-sinπ2+α-cosπ2+α=(-tanα)(-sinα)cosα(-tanα)(-cosα)sinα=1=右边。
所以原式成立。
考点5　诱导公式的综合问题
13.(2019·河北武邑中学高一周考)若sin(π-θ)<0,tan(π+θ)>0,则θ的终边在(　　)。
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:C
解析: 因为sin(π-θ)=sin θ<0,且tan(π+θ)=tan θ>0,所以θ的终边在第三象限,故选C。
14.(2019·青岛调考)已知a=tan-7π6,b=cos 23π4,c=sin-33π4,则a,b,c的大小关系是(　　)。
A.b>a>c B.a>b>c
C.b>c>a D.a>c>b
答案:A
解析: ∵a=tan-7π6=-tanπ+π6=-tan π6=-33,b=cos 23π4=cos6π-π4=cos π4=22,c=sin-33π4=-sin8π+π4=-sin π4=-22,∴b>a>c。
15.(2019·西安调考)如果f(sin x)=cos 2x,那么f(cos x)=(　　)。
A.-sin 2x B.sin 2x
C.-cos 2x D.cos 2x
答案:C
解析: f(cos x)=fsinπ2-x=cos2π2-x=cos(π-2x)=-cos 2x。
16.(2019·江西南昌莲塘一中月考)已知sinx+π6=14,则sin5π6-x+cos2π3-x=　　　。 
答案: 516
解析: ∵sin5π6-x=sinπ-x+π6=sinx+π6,
cos2π3-x=1-sin2π3-x=1-sin2π2-π6+x=1-cos2π6+x=sin2π6+x,
又sinx+π6=14,∴sin5π6-x+cos2π3-x=sinx+π6+sin2x+π6=14+142=516。
17.(2019·吉林四平高一上期末联考)已知函数f(x)=-cos πx,x>0,f(x+1)+1,x≤0,则f43+f-43的值为　　　。 
答案:3
解析: f43=-cos 4π3=cos π3=12,f-43=f-43+1+1=f-13+1=f-13+1+1+1=f23+2=-cos 2π3+2=cos π3+2=12+2=52,所以f43+f-43=12+52=3。
18.(2019·哈尔滨测评)化简:sin4k-14π-α+cos4k+14π-α(k∈Z)的结果为　　　。 
答案:0
解析: 原式=sinkπ-π4+α+coskπ+π4-α。
当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),则
原式=sin(2n+1)π-π4+α+cos(2n+1)π+π4-α
=sinπ-π4+α+cosπ+π4-α
=sinπ4+α+-cosπ4-α
=sinπ4+α-cosπ2-π4+α
=sinπ4+α-sinπ4+α=0;
当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),则
原式=sin2nπ-π4+α+cos2nπ+π4-α
=-sinπ4+α+cosπ4-α
=-sinπ4+α+cosπ2-π4+α
=-sinπ4+α+sinπ4+α=0。
综上,原式=0。
19.(2019·上海建平中学测试)已知sin(3π-α)=2cos3π2+β和3cos(-α)=-2cos(π+β),且0<α<π,0<β<π,求α和β的值。
答案:解:已知条件可化为sinα=2sinβ,　①3cosα=2cosβ,　②
两式平方相加可得sin2α+3cos2α=2,即sin2α=12。
∵0<α<π,∴sin α=22,∴α=π4或α=3π4。
当α=π4时,代入②可求得cos β=32,
又因为0<β<π,所以β=π6。
当α=3π4时,代入②可求得cos β=-32,
又因为0<β<π,所以β=5π6。
综上,α=π4,β=π6或α=3π4,β=5π6。