初中中考专区练习题
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这是一份初中中考专区练习题,共36页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.(3分)下列各数中是负数的是( )
A.|﹣3|B.(﹣3)0C.(﹣3)﹣1D.﹣(﹣3)
2.(3分)下列四个几何体中,左视图与其它三个不同的是( )
A.B.C.D.
3.(3分)20亿次的视频播放量,4.9亿次微博主话题阅读量,上千万条弹幕,5次上热搜﹣﹣5分钟的古典舞《唐宫夜宴》亮相河南春晚后,打开了一条时光隧道,带观众穿越千年,回到那个开放、包容、自信的大唐.《唐宫夜宴》是“从传统画卷中奏出的文化强音”,“不迎合、不媚俗,当潮不让你最中!”将数据“4.9亿”用科学记数法表示为( )
A.49×107B.4.9×108C.4.9×109D.0.49×109
4.(3分)在三角板拼角活动中,小明将一副三角板按如图方式叠放,则拼出的∠α度数为( )
A.65°B.75°C.105°D.115°
5.(3分)将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖线,记成,并规定=ad﹣bc,例如:=8×5﹣9×3=13,则方程=﹣10的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.只有一个实数根
6.(3分)数学课上,李老师出示了明代数学家程大位的《算法统宗》中的一个问题(如图),其大意为:有一群人分银子,如果每人分七两,则剩余四两;如果每人分九两,则还差八两(注:明代时1斤=16两,故有“半斤八两”这个成语).给出四种设未知数及列方程(组)的思路,①设有x人分银子,根据题意得7x+4=9x﹣8;②设所分银子有y两,根据题意得;③设所分银子有t两,根据题意得;④设有m人分银子,所分银子有n两,根据题意得.其中正确的是( )
A.①和②B.①和③C.②和④D.③和④
7.(3分)在复习分式的化简运算时,老师把两位同学的解答过程分别展示如图.你对两位同学解答过程的评价为( )
A.甲对乙错B.乙对甲错C.两人都对D.两人都错
8.(3分)某地区经过三年的乡村振兴建设,农村的经济收入是振兴前的2倍.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例,绘制了扇形统计图.
则下列说法错误的是( )
A.乡村振兴建设后,养殖收入是振兴前的2倍
B.乡村振兴建设后,种植收入减少
C.乡村振兴建设后,其他收入是振兴前的2倍以上
D.乡村振兴建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
9.(3分)如图,D是等边三角形ABC的边AC上一点,四边形CDEF是平行四边形,点F在BC的延长线上,G为BE的中点.连接DG,若AB=10,AD=DE=4,则DG的长为( )
A.2B.3C.4D.5
10.(3分)如图,直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B,过点B作BC⊥AB,使BC=2BA.将△ABC绕点O顺时针旋转,每次旋转90°.则第2021次旋转结束时,点C的对应点C′落在反比例函数y=的图象上,则k的值为( )
A.﹣4B.4C.﹣6D.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(3分)27的立方根等于 .
12.(3分)若一个关于x的一元一次不等式组的解集,在数轴上的表示如图所示,则该不等式组的解集为 .
13.(3分)将4张印有“梅”“兰”“竹”“菊”字样的卡片(形状、大小、质地都相同)放在一个不透明的盒子中搅匀.从中任意取出1张,记录后放回搅匀,再从中任意取出1张,则取出的两张卡片中,至少有1张印有“兰”字的概率是 .
14.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以A为圆心、适当长为半径画弧,分别交AC、AB于点M、N,再分别以M、N为圆心,大于MN长为半径画弧,两弧交于点D,作射线AD,交BC于点E.已知BC=8,CE=3,若P为AB上一点,当PE=4时,线段AP的长为 .
15.(3分)如图所示,在扇形OAB中,∠AOB=90°,OA=2,长为2的线段CD的两个端点分别在线段OA、OB上滑动,E为CD的中点,点F在上,连接EF、BE.若的长是,则线段EF的最小值是 ,此时图中阴影部分的面积是 .
三、解答题(共8个小题,满分75分)
16.(8分)先化简,再求值:(3x+2y)(3x﹣2y)﹣8x(x+y)﹣(x+y)2,其中x、y分别是无理数的整数部分和小数部分.
17.(9分)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为C,过B作BE⊥CD,垂足为点E,直线BE交⊙O于点F.
(1)判断∠ABC与∠EBC的数量关系,并说明理由.
(2)若点C在直径AB上方半圆弧上运动,⊙O的半径为4,则:
①当CB的长为 时,以B、O、E、C为顶点的四边形是正方形;
②当BE的长为 时,以B、O、F、C为顶点的四边形是菱形.
18.(9分)民族要复兴,乡村必振兴.2月21日发布的2021年中央一号文件,主题是全面推进乡村振兴,加快农业农村现代化.乡村振兴战略的实施效果要用农民生活富裕水平来评价,某合作社为尽快打开市场,对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式,具体费用标准如下:
线下销售模式:标价5元/千克,八折出售;
线上销售模式:标价5元/千克,九折出售,超过6千克时,超出部分每千克再让利1.5元.
购买这种新产品x千克,所需费用为y元,y与x之间的函数关系如图所示.
根据以上信息回答下列问题:
(1)请求出两种销售模式对应的函数解析式;
(2)说明图中点C坐标的实际意义;
(3)若想购买这种产品10千克,请问选择哪种模式购买最省钱?
19.(9分)某学校八、九年级各有学生200人,为了提高学生的身体素质,学校开展了主题为“快乐运动,健康成长”的系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况,从八、九年级各随机抽取40名学生进行了体能测试,获得了他们的成绩(百分制),并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.(说明:成绩80分及以上为优秀,70~79分为良好,60~69分为合格,60分以下为不合格)
a.八年级学生成绩的频数分布直方图如图(数据分为五组:50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)
b.八年级学生成绩在70≤x<80这一组的是:
70 71 73 73 73 74 76 77 78 79
c.九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下:
根据以上信息,回答下列问题:
(1)在此次测试中,小腾的成绩是74分,在年级排名是第17名,由此可知他是 年级的学生(填“八”,或“九”);
(2)根据上述信息,推断 年级学生运动状况更好,理由为 ;(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
(3)假设八、九年级全体学生都参加了此次测试,
①预估九年级学生达到优秀的约有 人;
②如果年级排名在前70名的学生可以被评选为“运动达人”,预估八年级学生至少要达到 分才可以入选.
20.(9分)九年级数学兴趣小组的实践课题是“测量物体高度”.小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底座为正方体的旗杆的高度.以下是他们研究报告的部分记录内容:
(1)写出小红研究报告中“计算旗杆高度”的解答过程(结果精确到0.1m);
(2)数学老师说小明的测量结果与旗杆实际高度偏差较大,超出了误差允许范围,请你针对小明的测量方案分析测量偏差较大的原因.
21.(10分)已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣2+3a2.
(1)求该抛物线的对称轴;
(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其解析式;
(3)当a>0时,若A(m﹣1,y1)、B(1,y2)、C(m+2,y3)为该抛物线上三点,且总有y1>y3>y2,请结合图象直接写出m的取值范围.
22.(10分)如图,半圆O中,AB=8cm,点M为AB上一点,AM=6cm,点P为半圆上一个动点,连接PM、AP,过点A作AN⊥PM,垂足为N.小明根据学习函数的经验,对线段AP、AN、NM的长度之间的关系进行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)设AP的长度为xcm,AN的长度为y1cm,NM的长度为y2cm,对于点P在半圆O上的不同位置,画图、测量,得到了线段AP、AN、NM的长度的几组值,如表:
请计算,当PM⊥AB时,AP= cm;
(2)利用表格中的数据,在如下平面直角坐标系xOy中,画出(1)中所确定的函数y2关于x的函数图象;
(3)结合函数图象,解决问题:当△ANM是等腰三角形时,直接写出AP长度的近似值.(保留一位小数)
23.(11分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,过A作AD⊥BC于点D,点E为直线AD上一动点,把线段CE绕点E顺时针旋转α,得到线段EF,连接FC、FB,直线AD与BF相交于点G.
(1)[发现]如图1,当α=60°时,填空:
①的值为 ;
②∠AGB的度数为 ;
(2)[探究]如图2,当α=120°时,请写出的值及∠AGB的度数,并就图2的情形给出证明;
(3)[应用]如图3,当α=90°时,若AB=2,∠ACE=15°,请直接写出△DFG的面积.
2021年河南省南阳市宛城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:(每小题3分,共30分。)(下列各小题只有一个答案是正确的)
1.(3分)下列各数中是负数的是( )
A.|﹣3|B.(﹣3)0C.(﹣3)﹣1D.﹣(﹣3)
【分析】根据有理数的绝对值、零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、相反数的意义,逐个判断即可得出答案.
【解答】解:A.|﹣3|=3,不合题意;
B.(﹣3)0=1,不合题意;,
C.(﹣3)﹣1=﹣,符合题意;
D.﹣(﹣3)=3,故此选项不合题意.
故选:C.
2.(3分)下列四个几何体中,左视图与其它三个不同的是( )
A.B.C.D.
【分析】左视图是从物体左面看,所得到的图形.
【解答】解:三棱柱的左视图是矩形;三棱锥的左视图是三角形;长方体的左视图是矩形,圆柱的左视图是矩形,
故选:B.
3.(3分)20亿次的视频播放量,4.9亿次微博主话题阅读量,上千万条弹幕,5次上热搜﹣﹣5分钟的古典舞《唐宫夜宴》亮相河南春晚后,打开了一条时光隧道,带观众穿越千年,回到那个开放、包容、自信的大唐.《唐宫夜宴》是“从传统画卷中奏出的文化强音”,“不迎合、不媚俗,当潮不让你最中!”将数据“4.9亿”用科学记数法表示为( )
A.49×107B.4.9×108C.4.9×109D.0.49×109
【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,且n比原来的整数位数少1,据此判断即可.
【解答】解:4.9亿=4.9×108.
故选:B.
4.(3分)在三角板拼角活动中,小明将一副三角板按如图方式叠放,则拼出的∠α度数为( )
A.65°B.75°C.105°D.115°
【分析】根据三角形的外角性质计算即可.
【解答】解:∠DBA=∠ABC﹣∠DBC=45°﹣30°=15°,
∴∠α=∠A+∠DBA=90°+15°=105°,
故选:C.
5.(3分)将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖线,记成,并规定=ad﹣bc,例如:=8×5﹣9×3=13,则方程=﹣10的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.只有一个实数根
【分析】根据题意,可以将方程=﹣10转化为一元二次方程,然后根据△的值,即可判断根的情况.
【解答】解:∵方程=﹣10,
∴3x2﹣6x=﹣10,
∴3x2﹣6x+10=0,
∴Δ=(﹣6)2﹣4×3×10<0,
∴方程=﹣10没有实数根,
故选:C.
6.(3分)数学课上,李老师出示了明代数学家程大位的《算法统宗》中的一个问题(如图),其大意为:有一群人分银子,如果每人分七两,则剩余四两;如果每人分九两,则还差八两(注:明代时1斤=16两,故有“半斤八两”这个成语).给出四种设未知数及列方程(组)的思路,①设有x人分银子,根据题意得7x+4=9x﹣8;②设所分银子有y两,根据题意得;③设所分银子有t两,根据题意得;④设有m人分银子,所分银子有n两,根据题意得.其中正确的是( )
A.①和②B.①和③C.②和④D.③和④
【分析】根据题意列出方程求出答案.
【解答】解:设这群人人数为x,根据题意得:7x+4=9x﹣8,故①正确;
设所分银子的数量为x两,根据题意得得,故②正确,③不正确;
设有m人分银子,所分银子有n两,根据题意得,故④不正确,
故选:A.
7.(3分)在复习分式的化简运算时,老师把两位同学的解答过程分别展示如图.你对两位同学解答过程的评价为( )
A.甲对乙错B.乙对甲错C.两人都对D.两人都错
【分析】根据异分母分式的加减法运算法则进行计算,从左作出判断.
【解答】解:甲同学的计算错误,
错误原因:第二步计算中,同分母分式的减法,分母不变,分子相减,其中分子部分应该是2﹣(x+1)=2﹣x﹣1,
乙同学的计算错误,
错误原因:第三步计算中,同分母分式的减法,分母应该保持不变,并且分子相减,其中分子部分应该是2﹣(x+1)=2﹣x﹣1,
正确的解答如下:
原式=
=
=
=﹣,
∴甲乙都不对,
故选:D.
8.(3分)某地区经过三年的乡村振兴建设,农村的经济收入是振兴前的2倍.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例,绘制了扇形统计图.
则下列说法错误的是( )
A.乡村振兴建设后,养殖收入是振兴前的2倍
B.乡村振兴建设后,种植收入减少
C.乡村振兴建设后,其他收入是振兴前的2倍以上
D.乡村振兴建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【分析】根据某地区经过三年的乡村振兴建设,农村的经济收入是振兴前的2倍和扇形统计图,可以判断各个选项中的说法是否正确,从而可以解答本题.
【解答】解:由题意可得,
乡村振兴建设后,农村的经济收入是振兴前的2倍,故选项A不合题意;
乡村振兴建设后,种植收入相当于振兴前的37%×2=74%,相对于振兴前收入增加了,故选项B符合题意;
乡村振兴建设后,其他收入是振兴前的2倍以上,故选项C不合题意;
乡村振兴建设后,养殖收入与第三产业收入的总和占总收入的30%+28%=58%,故选项D不合题意;
故选:B.
9.(3分)如图,D是等边三角形ABC的边AC上一点,四边形CDEF是平行四边形,点F在BC的延长线上,G为BE的中点.连接DG,若AB=10,AD=DE=4,则DG的长为( )
A.2B.3C.4D.5
【分析】延长ED交AB于M点,易得△AED是等边三角形,从而可求BM=6,D为ME的中点由中位线定理可得DG=MB=3.
【解答】解:延长ED交AB于M点,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ACB=60°,
∵四边形CDEF是平行四边形,
∴ED∥CF,
∴∠ADM=∠ACB=60°,
∴△ADM是等边三角形,
∴MD=AM=AD=DE=4,
∴MB=AB﹣AM=10﹣4=6,
∵G为BE的中点,
∴DG是△BME的中位线,
∴DG=MB=3,
故选:B.
10.(3分)如图,直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B,过点B作BC⊥AB,使BC=2BA.将△ABC绕点O顺时针旋转,每次旋转90°.则第2021次旋转结束时,点C的对应点C′落在反比例函数y=的图象上,则k的值为( )
A.﹣4B.4C.﹣6D.6
【分析】先分别令x=0和y=0求得点A与点B的坐标,然后过点C作CD⊥y轴于点D,构造相似三角形求得点C的坐标,再利用旋转的特征求得点C'的坐标,最后求出k的值.
【解答】解:对直线y=x+1,当x=0时,y=1,则B(0,1),
当y=0时,x+1=0,
∴x=﹣1,则A(﹣1,0),
∴OA=OB=1,
过点C作CD⊥y轴于点D,则∠CDB=∠BOA=90°,
∵BC⊥AB,
∴∠CBD+∠ABO=90°,∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠CBD=∠BAO,
∴△CDB∽△BOA,
∴=2,
∴CD=BD=2,
∴OD=BD+OB=2+1=3,
∴C(﹣2,3),
∵△ABC绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,
∴经过旋转2021次后点C'落在第一象限,
连接OC、OC',过点C'作C'H⊥x轴于点C',则
∠COD+∠DOC'=90°,∠DOC'+∠C'OH=90°,∠CDO=∠C'HO=90°,OC=OC',
∴∠COD=∠C'OH,
∴△COD≌△C'OH(AAS),
∴OH=OD=3,C'H=CD=2,
∴C'(3,2),
∵点C'在反比例函数y=的图象上,
∴k=3×2=6,
故选:D.
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(3分)27的立方根等于 3 .
【分析】根据立方根的定义:一个实数a,a3=x,则a叫做x的立方根,即可得出结果.
【解答】解:∵33=27,
∴27的立方根为3.
故答案为:3.
12.(3分)若一个关于x的一元一次不等式组的解集,在数轴上的表示如图所示,则该不等式组的解集为 x≥2 .
【分析】根据数轴得到两个不等式解集的公共部分即可.
【解答】解:由数轴知该不等式组的解集为x≥2,
故答案为:x≥2.
13.(3分)将4张印有“梅”“兰”“竹”“菊”字样的卡片(形状、大小、质地都相同)放在一个不透明的盒子中搅匀.从中任意取出1张,记录后放回搅匀,再从中任意取出1张,则取出的两张卡片中,至少有1张印有“兰”字的概率是 .
【分析】画树状图列出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再利用概率公式求解可得.
【解答】解:画树状图如下:
由树状图知,共有16种等可能结果,其中至少有1张印有“兰”字的有7种结果,
∴至少有1张印有“兰”字的概率为.
故答案为:.
14.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以A为圆心、适当长为半径画弧,分别交AC、AB于点M、N,再分别以M、N为圆心,大于MN长为半径画弧,两弧交于点D,作射线AD,交BC于点E.已知BC=8,CE=3,若P为AB上一点,当PE=4时,线段AP的长为 6+或6﹣ .
【分析】如图,过点E作EF⊥AB于F.由作图可知,AE平分∠CAB,根据角平分线的性质得到EF=EC=3,由勾股定理得到BF===4,根据相似三角形的性质得到AC=6,AB=10,由全等三角形的性质得到AF=AC=6,当点P在点F的右侧时,得到AP=6+,当点P在点F的右侧时,得到AP=6﹣,于是得到答案.
【解答】解:如图,过点E作EF⊥AB于F.
∵BC=8,CE=3,
∴BE=BC﹣CE=5,
由作图可知,AE平分∠CAB,
∵EC⊥AC,EF⊥AB,
∴EF=EC=3,
∴BF===4,
∵∠EFB=∠C=90°,∠B=∠B,
∴△BFE∽△BCA,
∴,
∴=,
∴AC=6,AB=10,
在Rt△ACE与Rt△AFE中,
,
∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL),
∴AF=AC=6,
当点P在点F的右侧时,
∵PE=4,
∴PF===,
∴AP=6+,
当点P在点F的右侧时,AP=6﹣,
综上所述,线段AP的长为6+或6﹣,
故答案为:6+或6﹣.
15.(3分)如图所示,在扇形OAB中,∠AOB=90°,OA=2,长为2的线段CD的两个端点分别在线段OA、OB上滑动,E为CD的中点,点F在上,连接EF、BE.若的长是,则线段EF的最小值是 1 ,此时图中阴影部分的面积是 π﹣ .
【分析】如图,连接OF,OE,BF,取OF的中点T,连接BT.根据弧长求得∠AOF=30°,jk 证明△OBF是等边三角形,利用直角三角形斜边中线的性质求出OE,EF≥OF﹣OE=1,推出当O,E,F共线时,EF的值最小,此时点E与点T重合,求出BT,然后根据S阴影=S扇形BOF﹣S△BOT求得阴影的面积.
【解答】解:如图,连接OF,OE,BF,取OF的中点T,连接BT.
∵的长是,OA=2,
∴=,
∴n=30,
∴∠AOF=30°,
∵∠AOB=90°,
∴∠BOF=60°,
∵CE=DE,
∴OE=CD==1,
∵OF=2,
∴EF≥OF﹣OE=1,
∴当O,E,F共线时,EF的值最小,此时点E与点T重合,
∴此时EF=1,
∵OF=OB,∠BOF=60°,
∴△BOF是等边三角形,
∵OT=TF,
∴BT⊥OF,
∴BE=BT=OB=,
∴此时S阴影=S扇形BOF﹣S△BOT=﹣=π﹣.
故答案为:1,π﹣.
三、解答题(共8个小题,满分75分)
16.(8分)先化简,再求值:(3x+2y)(3x﹣2y)﹣8x(x+y)﹣(x+y)2,其中x、y分别是无理数的整数部分和小数部分.
【分析】先根据完全平方公式,平方差公式和单项式乘多项式进行计算,再合并同类项,求出x、y的值,最后代入求出答案即可.
【解答】解:(3x+2y)(3x﹣2y)﹣8x(x+y)﹣(x+y)2
=9x2﹣4y2﹣8x2﹣8xy﹣x2﹣2xy﹣y2
=﹣5y2﹣10xy,
∵x、y分别是无理数的整数部分和小数部分(3<4),
∴x=3,y=﹣3,
当x=3,y=﹣3时,原式=﹣5×(﹣3)2﹣10×3×(﹣3)
=﹣5×(20﹣6)﹣30+90
=﹣100+30﹣30+90
=﹣10.
17.(9分)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为C,过B作BE⊥CD,垂足为点E,直线BE交⊙O于点F.
(1)判断∠ABC与∠EBC的数量关系,并说明理由.
(2)若点C在直径AB上方半圆弧上运动,⊙O的半径为4,则:
①当CB的长为 4 时,以B、O、E、C为顶点的四边形是正方形;
②当BE的长为 2或6 时,以B、O、F、C为顶点的四边形是菱形.
【分析】(1)根据平行线的判定与性质和等腰三角形的性质可证∠EBC=∠OCB,∠ABC=∠OCB,等量代换即可;
(2)①由B、O、E、C为顶点的四边形是正方形,得∠COB=90°,利用勾股定理即可求出BC;
②分点F在AB直径上方或点F在AB直径下方,两种情形,分别画出图形,利用等边三角形的判定与性质进行计算可解决问题.
【解答】解:(1)∠ABC=∠EBC,理由如下:
如图1,连接OC,OF,CF,
∵CD是⊙O的切线,
∴OC⊥CD,
又∵BE⊥CD,
∴∠CEB=∠OCE=90°,
∴BE∥OC,
∴∠EBC=∠OCB,
∵OC=OB,
∴∠ABC=∠OCB,
∴∠ABC=∠EBC;
(2)①∵以B、O、E、C为顶点的四边形是正方形,
∴∠COB=90°,
∵OC=OB=4,
∴BC=4,
故答案为:4;
②如图,当点F在AB直径上方时,
∵以B、O、E、C为顶点的四边形是菱形,
∴OC=CF=BF=OB=4,
∴OC=CF=OF=4,
∴△OCF是等边三角形,
∴∠OCF=60°,
由(1)可知∠CEB=∠OCE=90°,
∴∠ECF=30°,
在Rt△ECF中,EF=CF=2,
∴BE=BF+EF=4+2=6;
当点F在AB直径下方时,如图2所示,
同理可得:△OCB是等边三角形,
∴OC=OB=BC=4,∠OCB=60°,
∴∠BCF=30°,
在Rt△CBE中,BE=CB=2,
故答案为:2或6.
18.(9分)民族要复兴,乡村必振兴.2月21日发布的2021年中央一号文件,主题是全面推进乡村振兴,加快农业农村现代化.乡村振兴战略的实施效果要用农民生活富裕水平来评价,某合作社为尽快打开市场,对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式,具体费用标准如下:
线下销售模式:标价5元/千克,八折出售;
线上销售模式:标价5元/千克,九折出售,超过6千克时,超出部分每千克再让利1.5元.
购买这种新产品x千克,所需费用为y元,y与x之间的函数关系如图所示.
根据以上信息回答下列问题:
(1)请求出两种销售模式对应的函数解析式;
(2)说明图中点C坐标的实际意义;
(3)若想购买这种产品10千克,请问选择哪种模式购买最省钱?
【分析】(1)由题意,用待定系数法求函数解析式即可;
(2)由图象知,点C是射线OA和折线OBD的交点,说明x取同一个值时,函数值y相等,从而说明点C坐标的实际意义;
(3)把x=10分别代入y=4x和y=3x+9求值即可.
【解答】解:(1)由题意知,图中射线OA为线下销售,折线OBD为线上销售,
线下销售:y=5×0.8x=4x;
线上销售:当0≤x≤6时,y=5×0.9x=4.5x,
当x>6时,y=5×0.9×6+(x﹣6)×(5×0.9﹣1.5)=27+3(x﹣6)=3x+9,
∴y=,
∴线下销售y与x之间的函数关系为y=4x,线上销售y与x之间的函数关系为y=;
(2)图象得:4x=3x+9,
解得:x=9,
y=4×9=36,
∴C(9,36),
∴图中点C坐标的实际意义为当购买9千克产品时,线上线下都花费36元;
(3)购买10千克产品线下需花费:4×10=40(元),
线上需花费:3×10+9=39(元),
∴购买这种产品10千克,线上购买最省钱.
或:根据图象,当x>9时,线上购买比线下购买省钱.
19.(9分)某学校八、九年级各有学生200人,为了提高学生的身体素质,学校开展了主题为“快乐运动,健康成长”的系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况,从八、九年级各随机抽取40名学生进行了体能测试,获得了他们的成绩(百分制),并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.(说明:成绩80分及以上为优秀,70~79分为良好,60~69分为合格,60分以下为不合格)
a.八年级学生成绩的频数分布直方图如图(数据分为五组:50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)
b.八年级学生成绩在70≤x<80这一组的是:
70 71 73 73 73 74 76 77 78 79
c.九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下:
根据以上信息,回答下列问题:
(1)在此次测试中,小腾的成绩是74分,在年级排名是第17名,由此可知他是 八 年级的学生(填“八”,或“九”);
(2)根据上述信息,推断 九 年级学生运动状况更好,理由为 ①九年级优秀率40%,八年级优秀率30%,说明九年级体能测试优秀人数更多;
②九年级中位数为76,八年级为72,说明九年级一半的同学测试成绩高于76,而八年级一半同学的测试成绩仅高于72 ;(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
(3)假设八、九年级全体学生都参加了此次测试,
①预估九年级学生达到优秀的约有 80 人;
②如果年级排名在前70名的学生可以被评选为“运动达人”,预估八年级学生至少要达到 78 分才可以入选.
【分析】(1)求出八年级学生成绩的中位数,根据小腾的成绩和在年级的名次,确定是哪个年级的;
(2)从优秀率、中位数上分析可以得出九年级成绩较好,理由为;①九年级的优秀率为40%,可以求出九年级的优秀人数,
②九年级中位数为76,八年级为72,说明九年级一半的同学测试成绩高于76,而八年级一半同学的测试成绩仅高于72.
(3)年级排名在前70名的学生可以被评选为“运动达人”,因此“运动达人”占=35%,进而得出抽样中获“运动达人”的有40×35%=14人,根据直方图和70≤x<80中学生的成绩,得出最少为78分.
【解答】解:(1)八年级学生成绩的中位数为=72分;
小腾的成绩是74分,在年级排名是第17名,可知其中位数应该不大于74,因此他应该在八年级,
故答案为:八;
(2)九;理由:①九年级优秀率40%,八年级优秀率30%,说明九年级体能测试优秀人数更多;
②九年级中位数为76,八年级为72,说明九年级一半的同学测试成绩高于76,而八年级一半同学的测试成绩仅高于72.
(3)①200×40%=80;
②总体中“运动达人”占=35%,可得样本中“运动达人”有40×35%=14人,
80≤x<90的有9人,而90≤x≤100的有3人,因此再从70≤x<80成绩中,从大到小找出第2个即可.
故答案为:78.
20.(9分)九年级数学兴趣小组的实践课题是“测量物体高度”.小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底座为正方体的旗杆的高度.以下是他们研究报告的部分记录内容:
(1)写出小红研究报告中“计算旗杆高度”的解答过程(结果精确到0.1m);
(2)数学老师说小明的测量结果与旗杆实际高度偏差较大,超出了误差允许范围,请你针对小明的测量方案分析测量偏差较大的原因.
【分析】(1)设FG=x,在Rt△AEG中,根据∠EAG=30°,可得AG=x,在Rt△ACG中,根据锐角三角函数列出方程可得出x的值,由AB=AG+GB即可得出结论;
(2)小明测量的只是测角器所在位置与旗杆底座正方体边缘的最短距离,不是测量测角器所在位置与底座中心的最短距离.
【解答】解:(1)如图,延长CE交AB于点G,
则四边形CDFE和四边形EFBG是矩形,
根据题意可知:α=29°,β=60°.CD=EF=GB=1.6m,DF=20m,
设FG=x,
在Rt△AEG中,
∵∠AEG=β=60°,
∴∠EAG=30°,
∴AG=x,
在Rt△ACG中,
∵tanα=,
∴≈0.55,
∴x≈9.3,
∴AG≈9.3(m),
∴AB=AG+GB=9.3+1.6=10.9(m),
答:旗杆高度为10.9m;
(2)原因:小明测量的只是测角器所在位置与旗杆底座正方体边缘的最短距离,不是测量测角器所在位置与底座中心的最短距离.
21.(10分)已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣2+3a2.
(1)求该抛物线的对称轴;
(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其解析式;
(3)当a>0时,若A(m﹣1,y1)、B(1,y2)、C(m+2,y3)为该抛物线上三点,且总有y1>y3>y2,请结合图象直接写出m的取值范围.
【分析】(1)根据对称轴公式求得即可;
(2)根据题意得到Δ=(﹣2a)2﹣4•a•(﹣2+3a2)=0,解关于a的方程,求得a的值,从而求得抛物线的解析式;
(3)根据题意得到m+2<1或,解不等式即可.
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2﹣2ax﹣2+3a2.
∴该抛物线的对称轴为直线x=﹣=1;
(2)∵抛物线的顶点在x轴上,
∴方程ax2﹣2ax﹣2+3a2=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(﹣2a)2﹣4•a•(﹣2+3a2)=0,
解得a1=1,a2=0(舍去),
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1.
(3)∵a>0,
∴抛物线开口向上,
∵A(m﹣1,y1)、B(1,y2)、C(m+2,y3)为该抛物线上三点,且总有y1>y3>y2,抛物线的对称轴为直线x=1,
∴m+2<1或,
解得m<﹣1或﹣1<m.
22.(10分)如图,半圆O中,AB=8cm,点M为AB上一点,AM=6cm,点P为半圆上一个动点,连接PM、AP,过点A作AN⊥PM,垂足为N.小明根据学习函数的经验,对线段AP、AN、NM的长度之间的关系进行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)设AP的长度为xcm,AN的长度为y1cm,NM的长度为y2cm,对于点P在半圆O上的不同位置,画图、测量,得到了线段AP、AN、NM的长度的几组值,如表:
请计算,当PM⊥AB时,AP= 4 cm;
(2)利用表格中的数据,在如下平面直角坐标系xOy中,画出(1)中所确定的函数y2关于x的函数图象;
(3)结合函数图象,解决问题:当△ANM是等腰三角形时,直接写出AP长度的近似值.(保留一位小数)
【分析】(1)证明△PMB∽△APB,得PB==4(cm),再利用勾股定理即可得出答案;
(2)根据表格,描点、连线即可;
(3)观察图象即可得出答案.
【解答】解:(1)如图,连接BP,
∵AB是直径,
∴∠APB=90°,
∴∠PAB+∠PBA=90°,
∵PM⊥AB,
∴∠PMB=90°,
∴∠MPB+∠PBA=90°,
∴∠PAB=∠MPB,
∴△PMB∽△APB,
∴,
∴PB==4(cm),
在Rt△ABP中,AP==4(cm),
故答案为:4;
(2)如图所示即为所求,
(3)由(2)中图象可知,交点位置即为所求,
故答案为:4.4cm和7.8cm.
23.(11分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,过A作AD⊥BC于点D,点E为直线AD上一动点,把线段CE绕点E顺时针旋转α,得到线段EF,连接FC、FB,直线AD与BF相交于点G.
(1)[发现]如图1,当α=60°时,填空:
①的值为 1 ;
②∠AGB的度数为 60° ;
(2)[探究]如图2,当α=120°时,请写出的值及∠AGB的度数,并就图2的情形给出证明;
(3)[应用]如图3,当α=90°时,若AB=2,∠ACE=15°,请直接写出△DFG的面积.
【分析】(1)①由α=60°,可得△ABC和△EFC是等边三角形,即可证明△FCB≌△ECA(SAS),BF=AE,故=1;
②由△FCB≌△ECA,得∠FBC=∠EAC,而∠BDG=∠ADC,即得∠AGB=60°;
(2)设CF与AD交于M,由α=120°,可得∠BCA=∠FCE=30°,=,△ABC∽△EFC,即有=,故△FCB∽△ECA,可得=,∠BFC=∠AEC,而∠FMG=∠EMC,即得∠AGB=∠FCE=30°,在Rt△ACD中,=,故===;
(3)①当E在线段AD上时,连接FD,过F作FK⊥AG于K,由α=90°知△ABC和△EFC是等腰直角三角形,又∠ACE=15°,可得∠DCE=30°,根据AB=2,即得AC=2,,BC=2,在Rt△ECD中,有CE=2=EF,故FK=EF=,利用△BCF∽△ACE,可证△BDG时等腰直角三角形,得DG=BD=,故△DFG的面积为DG•FK=;②当E在DA延长线上时,连接FD,过F作FT⊥AD于T,根据∠ACE=15°,∠ACD=45°,得∠ECD=60°,CE=FE=2,在Rt△EFT中,FT=FE•sin60°=3,而△BDG是等腰直角三角形,可得DG=BG=BC=,故△DFG的面积为DG•FT=3.
【解答】解:(1)①∵α=60°,
∴∠BAC=∠CEF=60°,
∵AB=AC,线段CE绕点E顺时针旋转得到线段EF(CE=EF),
∴△ABC和△EFC是等边三角形,
∴BC=AC,FC=EC,∠BCA=∠FCE=∠ACB=60°,
∴∠FCB=∠ECA,
∴△FCB≌△ECA(SAS),
∴BF=AE,
∴=1;
故答案为:1;
②由①得△FCB≌△ECA,
∴∠FBC=∠EAC,
∵∠BDG=∠ADC,
∴∠BGD=∠ACD=60°,即∠AGB=60°,
故答案为:60°;
(2)=,∠AGB=30°,证明如下:
设CF与AD交于M,如图:
∵α=120°,
∴∠BAC=∠CEF=120°,
∵AB=AC,线段CE绕点E顺时针旋转得到线段EF(CE=EF),
∴∠BCA=∠FCE=30°,=,
∴∠FCB=∠ECA,△ABC∽△EFC,
∴=,
∴△FCB∽△ECA,
∴=,∠BFC=∠AEC,
∵∠FMG=∠EMC,
∴∠AGB=∠FCE=30°,
在Rt△ACD中,=cs30°,
∴=,
∴===;
(3)①当E在线段AD上时,连接FD,过F作FK⊥AG于K,如图:
∵α=90°,AB=AC,线段CE绕点E顺时针旋转α,得到线段EF,
∴△ABC和△EFC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=45°,
∵∠ACE=15°,
∴∠DCE=30°,
∵AB=2,
∴AC=2,,BC=2,
∵AD⊥BC,
∴BD=CD=,
在Rt△ECD中,cs30°=,
∴CE=2=EF,
∵∠DEC=90°﹣∠DCE=60°,
∴∠FEK=30°,
∴FK=EF=,
∵=,∠BCF=45°﹣∠BCE=∠ACE,
∴△BCF∽△ACE,
∴∠FBC=∠EAC=45°,
∵AD⊥BC,
∴△BDG时等腰直角三角形,
∴DG=BD=,
∴△DFG的面积为DG•FK=××=;
②当E在DA延长线上时,连接FD,过F作FT⊥AD于T,如图:
∵∠ACE=15°,∠ACD=45°,
∴∠ECD=60°,
∴∠DEC=30°,∠EFD=60°,
∵CD=,
∴CE=FE=2,
在Rt△EFT中,FT=FE•sin60°=3,
∵=,∠BCF=45°﹣∠ACF=∠ACE=15°,
∴△BCF∽△ACE,
∴∠BFC=∠AEC=30°,
∴∠DGB=∠BFC+∠BCF=45°,
∴△BDG是等腰直角三角形,
∴DG=BG=BC=,
∴△DFG的面积为DG•FT=××3=3;
综上所述,△DFG的面积为或3.
甲同学:
=
=
=
乙同学:
=
=
=2﹣x+1
=3﹣x
平均数
中位数
众数
优秀率
79
76
84
40%
课题:测量旗杆高度
小明的研究报告
小红的研究报告
测量示意图
测量方案与测量数据
在点D处用距离地面高度为1.6m的测角仪测出旗杆顶端A的仰角α=55°,再用皮尺测得测角仪底部所在位置与旗杆底座正方体边缘的最短距离为10m.
在点D处用距离地面高度为1.6m的测角仪测出旗杆顶端A的仰角α=29°,然后沿DF方向走20m到达点F处,测出旗杆项端A的仰角β=60°.
参考数据
sin55°≈0.82,cs55°=0.57,tan55°≈1.43,
sin29°≈0.48,cs29°≈0.87,tan29°≈0.55,≈1.73
计算旗杆高度
10×tan55°+1.6≈15.9(m)
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
7.5
7.64
7.78
7.90
8
y1/cm
0
0.99
1.99
2.97
3.92
4.82
5.61
5.99
5.56
5.18
4.46
3.30
0
y2/cm
6
5.91
5.65
5.21
4.53
3.56
2.12
0.24
2.25
3.01
4.00
5.01
6
甲同学:
=
=
=
乙同学:
=
=
=2﹣x+1
=3﹣x
平均数
中位数
众数
优秀率
79
76
84
40%
课题:测量旗杆高度
小明的研究报告
小红的研究报告
测量示意图
测量方案与测量数据
在点D处用距离地面高度为1.6m的测角仪测出旗杆顶端A的仰角α=55°,再用皮尺测得测角仪底部所在位置与旗杆底座正方体边缘的最短距离为10m.
在点D处用距离地面高度为1.6m的测角仪测出旗杆顶端A的仰角α=29°,然后沿DF方向走20m到达点F处,测出旗杆项端A的仰角β=60°.
参考数据
sin55°≈0.82,cs55°=0.57,tan55°≈1.43,
sin29°≈0.48,cs29°≈0.87,tan29°≈0.55,≈1.73
计算旗杆高度
10×tan55°+1.6≈15.9(m)
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
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7.5
7.64
7.78
7.90
8
y1/cm
0
0.99
1.99
2.97
3.92
4.82
5.61
5.99
5.56
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