初中中考专区课时训练

这是一份初中中考专区课时训练，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2B．2C．D．﹣
2．（2分）下列四个图形分别是节能、节水、绿色食品和低碳标志，其中轴对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）如图，AB∥CD，∠1＝65°，∠2＝35°，则∠B＝（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
5．（2分）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．随意掷一枚均匀的骰子，朝上一面的点数为6
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．两个加数的和一定大于每一个加数
D．任意实数的绝对值为非负数
6．（2分）某市在城市建设过程中，需要铺设一条长为9600米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前了8天完成任务，设原计划每天铺设管道x米，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4，P为OB上一动点，则AP+OP的最小值为（ ）
A．4B．5C．2D．3
8．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→C运动到点C，同时动点Q从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿A→C→D运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）因式分解：12x3y﹣3xy＝ ．
10．（3分）截至2021年2月25日，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下128000个贫困村全部脱贫，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，将数据128000用科学记数法表示为 ．
11．（3分）某市林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下：
由此可以估计该种幼树移植成活的概率为 .（结果保留小数点后两位）
12．（3分）已知数据1，a，3，5，7，其中整数a是这组数据的平均数，则该组数据的方差是 ．
13．（3分）如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE＝36°，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（1，0）；④若B（﹣，y1），C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2.其中正确的结论是 .（填写代表正确结论的序号）
15．（3分）如图，平行四边形ABCO的边AB的中点D在y轴上，对角线AC与y轴交于点E，若反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点A，且四边形BCED的面积为10，则k的值为 ．
16．（3分）如图，直线y＝x+与x轴交于点M，与y轴交于点A1，过点A1作A1B1⊥MA1交x轴于点B1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2；延长A2C1交x轴于点B2，以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3；以此类推，作正方形A3B3C3A4，…，AnBn∁nAn+1.则点C2021的纵坐标为 ．
三、解答题（本大题共3个题，17题6分，18，19题各8分，共22分）
17．（6分）先化简，再求值：，其中x是不等式3x﹣7≤﹣1的正整数解．
18．（8分）为了了解某中学学生的身高情况，随机对该校男、女生的身高进行抽样调查．抽取的样本中，男生和女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．
根据图表中提供的信息，回答下列问题：
（1）男生身高的中位数落在 组（填组别字母）；
（2）女生身高扇形统计图“B组”所对应的扇形圆心角的度数为 ；
（3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生有多少人？
19．（8分）在一次数学兴趣小组活动中，小明和小刚两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标有数字）．
（1）小明转动一次甲转盘，转盘停止后，指针所指区域内为数字“5”的概率是 ；（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一扇形区域内为止）
（2）游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一扇形区域内为止），若指针所指区域内两数和小于12，则小明获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则小刚获胜．这个游戏规则公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
四、解答题（本大题共2个题，每题8分，共16分）
20．（8分）某家电超市销售每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备再采购这两种型号的电风扇共30台，并且全部售出，所获得的总利润不低于1305元，求A种型号的电风扇至少采购多少台？
21．（8分）某校为了迎接建党百年，丰富学生社会实践活动，决定组织八年级学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．如果将八年级学生分成两组分别参观学习，两组学生同时从学校出发，第一组学生乘坐客车前往A地，速度是40km/h；第二组学生乘坐公交车前往C地，速度是30km/h．请问：哪组学生先到达目的地？并通过计算说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
五、解答题（本题共8分）
22．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：BD平分∠PBC；
（2）若⊙O的半径为1，PD＝3DE，求sinP及AB的长．
六、解答题（本题共10分）
23．（10分）某网店经营一种热销商品，每件进价为20元，出于营销考虑，要求每件商品的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销售量为36件；当销售单价为24元时，销售量为32件．
（1）请求出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w元，
①写出w与x的函数关系式；
②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？
七、解答题（本题共12分）
24．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°．将△ABC绕点C逆时针旋转一定角度（旋转角度不大于180°），得到△DEC（点D，E分别与点A，B对应），连接AD，BE．
（1）如图1，当点A，C，E在同一条直线上时，直接写出AD与BE的位置关系为 ；
（2）如图2，当点D落在AB上时，（点D不与点A重合），请判断AD与BE的位置关系，并证明你的结论；
（3）如图3，将△ABC绕点C逆时针旋转60°时，延长AD与直线BC，BE分别相交于点F，G，连接CG，试探究线段CG与DE之间满足的数量关系，并说明理由．
八、解答题（本题共12分）
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B，C在x轴上，OA＝2，OB＝1，OC＝4．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（2）M为抛物线对称轴上一动点，连接BM，CM，将△BCM沿直线BM翻折得到△BC'M，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点M的坐标；
（3）如图2，连接AC，若点D在线段OB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点O运动，同时，点E在线段OA上以每秒2个单位长度的速度由点O向点A运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），过点E作EP∥x轴，交AC于点P，在运动过程中，线段PD的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
2021年辽宁省锦州市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2B．2C．D．﹣
【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．
【解答】解：|﹣2|＝2，
故选：B．
2．（2分）下列四个图形分别是节能、节水、绿色食品和低碳标志，其中轴对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【解答】解：选项C能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
3．（2分）如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，进而得出答案．
【解答】解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一列两行都只有一个正方体，所以此几何体如图所示：．
故选：B．
4．（2分）如图，AB∥CD，∠1＝65°，∠2＝35°，则∠B＝（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【分析】利用平行线的性质和对顶角性质以及三角形外角定理即可解决问题．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝65°，
∴∠AEG＝∠1＝65°，
∵∠2＝35°，∠2＝∠EFB，
∴∠EFB＝35°，
∵∠AEG＝∠B+∠EFB，
∴∠B＝65°﹣35°＝30°，
故选：C．
5．（2分）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．随意掷一枚均匀的骰子，朝上一面的点数为6
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．两个加数的和一定大于每一个加数
D．任意实数的绝对值为非负数
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、随意掷一枚均匀的骰子，朝上一面的点数为6，是随机事件，不符合题意；
B、抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、两个加数的和一定大于每一个加数，是随机事件，不符合题意；
D、任意实数的绝对值为非负数，是必然事件，符合题意；
故选：D．
6．（2分）某市在城市建设过程中，需要铺设一条长为9600米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前了8天完成任务，设原计划每天铺设管道x米，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设原计划每天铺设管道x米，根据工作效率比原计划提高20%，结果提前了8天完成任务，列方程即可．
【解答】解：设原计划每天铺设管道x米，
由题意得，﹣＝8．
故选：D．
7．（2分）如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4，P为OB上一动点，则AP+OP的最小值为（ ）
A．4B．5C．2D．3
【分析】如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J．利用面积法求出AH，再证明PF＝OP，利用垂线段最短，可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，
∴OJ＝JB＝2，CJ＝＝＝，
∴AC＝2CJ＝2，
∵AH⊥OC，
∴OC•AH＝•OB•AC，
∴AH＝×＝4，
∴sin∠POF＝＝＝，
∴PF＝OP，
∴AP+OP＝AP+PF，
∵AP+PF≥AH，
∴AP+OP≥4，
∴AP+OP的最小值为4，
故选：A．
8．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→C运动到点C，同时动点Q从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿A→C→D运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分类讨论，①点P在线段AB上，点Q在线段AC上；②点P在线段AC上，点Q在线段CD上，分别过点Q作QH⊥AB于点H，过点Q作QM⊥AC于点M，再利用解直角三角形求出QH和QM的长度，最后求出△APQ的面积，从而得到对应的函数图象．
【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
∴点P在线段AB上的运动时间为3÷1＝3s，点Q在线段AC上的运动时间为5÷＝3s，点P从B→A→C的运动时间为（3+5）÷1＝8s，点Q从A→C→D的运动时间为（5+3）÷＝s，
∴点P与点Q同时出发，同时分别到达点A与点C，
如图1，当点P在线段AB上，点Q在线段AC上，即0≤t≤3时，AP＝3﹣t，AQ＝t，
过点Q作QH⊥AB于点H，则HQ＝AQ•sin∠QAH＝AQ•sin∠BAC＝t•＝t，
∴S＝•（3﹣t）•t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣）2+，故选项D错误，不符合题意；
如图2，当点P在线段AC上，点Q在线段CD上，即3＜t≤时，AP＝t﹣3，CQ＝t﹣5，
过点Q作QM⊥AC于点M，则MQ＝CQ•sin∠QCM＝CQ•sin∠ACD＝（t﹣5）•＝t﹣4，
∴S＝•（t﹣3）•（t﹣4）＝t2﹣4t+6＝（t﹣3）2，故选项A、B错误，不符合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）因式分解：12x3y﹣3xy＝ 3xy（2x﹣1）（2x+1） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3xy（4x2﹣1）
＝3xy（2x+1）（2x﹣1）．
故答案为：3xy（2x+1）（2x﹣1）．
10．（3分）截至2021年2月25日，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下128000个贫困村全部脱贫，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，将数据128000用科学记数法表示为 1.28×105 ．
【分析】将一个数表示成a×10n，1≤a＜10，n是正整数的形式，叫做科学记数法，根据此定义即可得出答案．
【解答】解：根据科学记数法的定义，128000＝1.28×105，
故答案为1.28×105．
11．（3分）某市林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下：
由此可以估计该种幼树移植成活的概率为 0.90 .（结果保留小数点后两位）
【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.90，
故答案为：0.90．
12．（3分）已知数据1，a，3，5，7，其中整数a是这组数据的平均数，则该组数据的方差是 4 ．
【分析】根据平均数确定出a后，再根据方差的公式计算方差即可．
【解答】解：由平均数的公式得：（1+a+3+5+7）÷5＝a，解得a＝4；
则方差＝×[（1﹣4）2+（4﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2]＝4．
故答案为：4．
13．（3分）如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE＝36°，则图中阴影部分的面积为 10π ．
【分析】连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝∠CDE＝36°，图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
【解答】解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴CD∥OE，
∴∠DEO＝∠CDE＝36°，
由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，
∴∠COB＝∠DEO＝36°
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
∵S扇形OBC＝＝10π
∴图中阴影部分的面积＝10π，
故答案为10π．
14．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（1，0）；④若B（﹣，y1），C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2.其中正确的结论是 ②③ .（填写代表正确结论的序号）
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＜0，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数对②进行判断；利用抛物线的对称性对③进行判断；利用二次函数的性质对④进行判断．
【解答】解：由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3，0），而抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为的横坐标为2×（﹣1）﹣（﹣3）＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），所以③正确；
∵B（﹣，y1），C（﹣，y2）为函数图象上的两点，又点C离对称轴近，
∴y1＜y2，故④错误．
∴②③正确，
故答案为：②③．
15．（3分）如图，平行四边形ABCO的边AB的中点D在y轴上，对角线AC与y轴交于点E，若反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点A，且四边形BCED的面积为10，则k的值为 12 ．
【分析】设△ADE的面积为a，根据平行四边形性质可得AB∥OC，AB＝OC，由D是AB的中点得：AB＝2AD，由△ADE∽△COE，四边形BCED的面积为10，根据相似三角形性质可得a＝2，进而可得S△AEO＝2a，依据反比例函数系数的几何意义即可得到答案．
【解答】解：如图，设△ADE的面积为a，
∵D是AB的中点，
∴AB＝2AD，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∴△ADE∽△COE，
∴＝（）2＝，＝，
∴△COE的面积＝4a，△AOE的面积＝2a，
∵S△ABC＝S△ACO，
∴四边形BCED的面积＝6a﹣a＝5a，
∵四边形BCED的面积为10，
∴5a＝10，
∴a＝2，
∴△ADO的面积＝a+2a＝3a＝6，
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点A，
∴k＝6×2＝12．
故答案为：12．
16．（3分）如图，直线y＝x+与x轴交于点M，与y轴交于点A1，过点A1作A1B1⊥MA1交x轴于点B1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2；延长A2C1交x轴于点B2，以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3；以此类推，作正方形A3B3C3A4，…，AnBn∁nAn+1.则点C2021的纵坐标为 ．
【分析】利用已知条件得出点A1和点M的坐标，进而得出线段OM，OA1的长度；解直角三角形得出第一个小正方形的边长，过点C1作x轴的垂线段，解直角三角形即可得到点C1的纵坐标；利用同样的方法求出第二个小正方形的边长，过点C2作x轴的垂线段，解直角三角形即可得到点C2的纵坐标，同理可得C3的纵坐标，通过分析已求得的点的纵坐标的规律即可求得结论．
【解答】解：∵直线y＝x+与x轴交于点M，与y轴交于点A1，
∴A1（0，），M（﹣3，0）．
∴OA1＝，OM＝3．
∵tan∠A1MO＝，
∴∠A1MO＝30°．
∵四边形形A1B1C1A2为正方形，
∴∠MA1B1＝90°，∠A1B1B2＝90°．
∴∠OA1B1＝30°，∠A1B1O＝60°．
∴∠C1B1B2＝30°．
在Rt△A1OB1中，
∵cs∠OA1B1＝，
∴A1B1＝2．
∴B1C1＝A1B1＝2．
过点C1作C1A⊥x轴于点A，如图，
∵sin∠C1B1B2＝，
∴AC1＝2×＝1．
∴C1的纵坐标为1．
在Rt△B1C1B2中，
∵tan∠C1B1B2＝，
∴B2C1＝．
∴A2B2＝A2C1+B2C1＝2+．
∵四边形A1B1C1A2和四边形A2B2C2A3是正方形，
∴B1C1∥B2C2．
∴∠C2B2B3＝∠C1B1B2＝30°．
过点C2作C2B⊥x轴于点B，如图，
∵sin∠C2B2B3＝，
∴＝1+．
∴C2的纵坐标为：1+．
同理可得C3的纵坐标为：＝．
∵C1的纵坐标为：1＝，
C2的纵坐标为：1+，
C3的纵坐标为：，
∴∁n的纵坐标为：．
∴C2021的纵坐标为：．
故答案为：．
三、解答题（本大题共3个题，17题6分，18，19题各8分，共22分）
17．（6分）先化简，再求值：，其中x是不等式3x﹣7≤﹣1的正整数解．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，解不等式确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•
＝，
解不等式3x﹣7≤﹣1，得x≤2，
∵x是不等式3x﹣7≤﹣1的正整数解，
∴x＝1，x＝2，
由题意得：x≠0，2，4，
则当x＝1时，原式＝＝﹣1．
18．（8分）为了了解某中学学生的身高情况，随机对该校男、女生的身高进行抽样调查．抽取的样本中，男生和女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．
根据图表中提供的信息，回答下列问题：
（1）男生身高的中位数落在 D 组（填组别字母）；
（2）女生身高扇形统计图“B组”所对应的扇形圆心角的度数为 108° ；
（3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生有多少人？
【分析】（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）根据B组所对应的百分比可得圆心角的度数；
（3）分别用男、女生的人数，相加即可得解．
【解答】解：（1）根据条形统计图可得男生共有40人，第20和第21人的身高均在D组，
故答案为：D；
（2）在样本中，由女生身高扇形图可得，1﹣35%﹣20%﹣10%﹣5%＝30%，
∴360°×30%＝108°．
所以女生身高扇形统计图“B组”所对应的扇形圆心角的度数为108°．
故答案为：108°；
（3）（人），
故估计身高在160≤x＜170之间的学生约有541人．
19．（8分）在一次数学兴趣小组活动中，小明和小刚两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标有数字）．
（1）小明转动一次甲转盘，转盘停止后，指针所指区域内为数字“5”的概率是 ；（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一扇形区域内为止）
（2）游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一扇形区域内为止），若指针所指区域内两数和小于12，则小明获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则小刚获胜．这个游戏规则公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中和小于12的结果有6种，和大于12的结果有3种，再由概率公式取小明获胜的概率和小刚获胜的概率，然后比较大小，即可得出结论．
【解答】解：（1）小明转动一次甲转盘，转盘停止后，指针所指区域内为数字“5”的概率是，
故答案为：；
（2）此游戏规则不公平，理由如下：
根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中和小于12的结果有6种，和大于12的结果有3种，
∴小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为．
∵，
∴此游戏规则不公平．
四、解答题（本大题共2个题，每题8分，共16分）
20．（8分）某家电超市销售每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备再采购这两种型号的电风扇共30台，并且全部售出，所获得的总利润不低于1305元，求A种型号的电风扇至少采购多少台？
【分析】（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，利用总价＝单价×数量，结合近两周的销售数量及销售收入，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出A，B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）设采购A种型号电风扇m台，则采购B种型号的电风扇（30﹣m）台，利用总利润＝每台的销售利润×销售数量，结合总利润不低于1305元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出A种型号的电风扇至少采购11台．
【解答】解：（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A种型号的电风扇的销售单价为250元，B种型号的电风扇的销售单价为210元．
（2）设采购A种型号电风扇m台，则采购B种型号的电风扇（30﹣m）台，
依题意得：（250﹣200）m+（210﹣170）（30﹣m）≥1305，
解得：m≥10.5，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为11．
答：A种型号的电风扇至少采购11台．
21．（8分）某校为了迎接建党百年，丰富学生社会实践活动，决定组织八年级学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．如果将八年级学生分成两组分别参观学习，两组学生同时从学校出发，第一组学生乘坐客车前往A地，速度是40km/h；第二组学生乘坐公交车前往C地，速度是30km/h．请问：哪组学生先到达目的地？并通过计算说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】过点B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中证得BD＝CD，设BD＝x，则CD＝x，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，利用三角函数定义表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD+CD＝AC列出方程问题得解．
【解答】解：第二组学生先到达目的地．
如图，过点B作BD⊥AC于D．
依题意得，∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴BD＝CD．
设BD＝x，则CD＝x，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2x，，
∴，
∴，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴x＝30，
∴AB＝2x＝60，，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：，
∵，
∴第二组学生先到达目的地．
五、解答题（本题共8分）
22．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：BD平分∠PBC；
（2）若⊙O的半径为1，PD＝3DE，求sinP及AB的长．
【分析】（1）连接OB，根据切线的性质得到OB⊥PB，根据等腰三角形的性质、同角的余角相等证明结论；
（2）过点D作DK⊥PB于点K，根据角平分线的性质得到DK＝DE，根据正弦的定义求出sinP，根据△BEO∽△PEB求出OE，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OB，
∵PB是⊙O切线，
∴OB⊥PB，
∴∠PBO＝90°，
∴∠PBD+∠OBD＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵OP⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴∠DBE+∠ODB＝90°，
∴∠PBD＝∠DBE，
∴BD平分∠PBC；
（2）解：如图，过点D作DK⊥PB于点K，
∵BD平分∠PBE，DE⊥BE，DK⊥PB，
∴DK＝DE，
∵PD＝3DE，
∴PD＝3DK，
在Rt△PDK中，sinP＝＝，
∵∠OBE+∠PBE＝90°，∠PBE+∠P＝90°，
∴∠OBE＝∠P，
∵∠OEB＝∠BEP＝90°，
∴△BEO∽△PEB，
∴＝，即＝＝，
∵BO＝1，
∴OE＝，
∵OB＝OC，OE⊥BC，
∴BE＝EC，
∵AO＝OC，
∴AB＝2OE＝．
六、解答题（本题共10分）
23．（10分）某网店经营一种热销商品，每件进价为20元，出于营销考虑，要求每件商品的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销售量为36件；当销售单价为24元时，销售量为32件．
（1）请求出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w元，
①写出w与x的函数关系式；
②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）根据题意列出函数解析式即可．
（3）根据二次函数解析式，配方法得到顶点式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
把x＝22，y＝36和x＝24，y＝36分别代入y＝kx+b得，，
解得，．
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80；
（2）①由题意可得：w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600，
∴w与x的函数关系式为w＝﹣2x2+120x﹣1600．
②w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，w有最大．且对称轴为直线x＝30，
∴在对称轴左侧，即x＜30时，w随x的增大而增大，
又∵售价不低于20元且不高于28元，即20≤x≤28，
∴当x＝28时，（元），
答：该商品销售单价定为28元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元．
七、解答题（本题共12分）
24．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°．将△ABC绕点C逆时针旋转一定角度（旋转角度不大于180°），得到△DEC（点D，E分别与点A，B对应），连接AD，BE．
（1）如图1，当点A，C，E在同一条直线上时，直接写出AD与BE的位置关系为 AD⊥BE ；
（2）如图2，当点D落在AB上时，（点D不与点A重合），请判断AD与BE的位置关系，并证明你的结论；
（3）如图3，将△ABC绕点C逆时针旋转60°时，延长AD与直线BC，BE分别相交于点F，G，连接CG，试探究线段CG与DE之间满足的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）延长AD交BE于G，根据旋转的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可；
（3）根据旋转的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）延长AD交BE于G，
，
由旋转的性质得，△ABC≌△DEC，
∴EC＝BC，CD＝AC，
∵∠ACB＝90°，
∴△BCE和△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CDA＝∠EBC＝45°，
∴∠GDB＝∠CDA＝45°，
∴∠EBC+∠GDB＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AD⊥BE，
故答案为：AD⊥BE；
（2）AD与BE的位置关系是AD⊥BE．
证明：如图2，
∵∠ECD＝∠BCA＝90°，CE＝CB，CD＝CA，
∴∠ECB+∠BCD＝∠DCA+∠BCD，
∴∠ECB＝∠DCA，，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠EBC＝∠A，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠EBA＝∠EBC+∠ABC＝90°，
∴AD⊥BE．
（3）如图3，
线段CG与DE之间满足的数量关系是．
∵△DEC是由△ABC绕点C逆时针旋转60°得到的，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CE＝CB，CD＝CA，ED＝BA，
∴△BEC和△ADC为等边三角形，
∴∠EBC＝∠FAC＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AFC＝∠BFG＝30°，
∴∠BGF＝∠ACF＝90°，
∴△BFG∽△AFC，
∴，
∴，
∵∠GFC＝∠BFA，
∴△CGF∽△ABF，
∴，
∵ED＝AB，
∴．
八、解答题（本题共12分）
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B，C在x轴上，OA＝2，OB＝1，OC＝4．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（2）M为抛物线对称轴上一动点，连接BM，CM，将△BCM沿直线BM翻折得到△BC'M，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点M的坐标；
（3）如图2，连接AC，若点D在线段OB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点O运动，同时，点E在线段OA上以每秒2个单位长度的速度由点O向点A运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），过点E作EP∥x轴，交AC于点P，在运动过程中，线段PD的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据OA，OB，OC的长可得A点、B点、C点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）设抛物线的对称轴直线与x轴交于点H，根据抛物线的解析式可得对称轴方程，可得点H的坐标，求得BH的长，再利用三角函数得出∠C'BH＝60°，分点M在x轴上方和下方两种情况分类讨论分别求出M的坐标即可；
（3）设点D运动的时间为t秒（0≤t≤1），过点P作PF⊥x轴于点F，根据点D、E的运动速度及方向可用t表示出D点、E点的坐标及P点的纵坐标，证△APE∽△ACO，根据比例关系得出P点的坐标，根据勾股定理得出PD2关于t的二次函数，根据二次函数的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）设过A，B，C三点的抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
由题意可知：A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0），
∴c＝2，
将B（﹣1，0），C（4，0），c＝2代入y＝ax2+bx+c可得，，
解得，，
所以抛物线的表达式为；
（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（4，0），
∴BC＝5，抛物线的对称轴为直线，
如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，
则H点的坐标为，，
由翻折得BC'＝BC＝5，
在Rt△BHC'中，，
∴∠CBH＝60°，
①当点M1在x轴下方时，
由翻折得，
在Rt△M1BH中，，
∴点M1的坐标为，
②当M2在x轴上方时，由翻折得，
在Rt△M2BH中，，
∴点M2的坐标为，
∴点M的坐标为或；
（3）如图，设点D运动的时间为t秒（0≤t≤1），
则D（﹣1+t，0），E（0，2t），P（xP，2t）．
∵PE∥OC，
∴△APE∽△ACO，
∴，即，
∴xP＝4﹣2t，
过点P作PF⊥x轴于点F，则F（4﹣4t，0），
∴DF＝（4﹣4t）﹣（﹣1+t）＝5﹣5t，
∴PD2＝DF2+PF2＝（5﹣5t）2+（2t）2＝29t2﹣50t+25，
又∵，
∴当时，PD2最小值为，
故在运动过程中，线段PD的长度存在最小值，最小值为．
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日期：2021/11/10 23:45:30；用户：小老师；邮箱：13469138795；学号：38673087移植总数（n）
50
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数（m）
47
235
369
662
1335
3180
6321
8073
12628
成活频率（）
0.94
0.87
0.923
0.883
0.89
0.908
0.903
0.897
0.902
组别
男女生身高（cm）
A
x＜155
B
155≤x＜160
C
160≤x＜165
D
165≤x＜170
E
x≥170
销售时段
销售量
销售收入
A型号
B型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
移植总数（n）
50
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数（m）
47
235
369
662
1335
3180
6321
8073
12628
成活频率（）
0.94
0.87
0.923
0.883
0.89
0.908
0.903
0.897
0.902
组别
男女生身高（cm）
A
x＜155
B
155≤x＜160
C
160≤x＜165
D
165≤x＜170
E
x≥170
销售时段
销售量
销售收入
A型号
B型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元