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2021年福建省龙岩市中考数学适应性试卷（一） word，解析版
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这是一份2021年福建省龙岩市中考数学适应性试卷（一） word，解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年福建省龙岩市中考数学适应性试卷（一）
一、选择题：本题共10小题，每题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（4分）下列关于“0”的说法中正确的是（ ）
A．0 不是有理数 B．0 是正数
C．0 没有相反数 D．0 没有倒数
2．（4分）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列几何体中，三视图完全相同的是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．三棱柱
4．（4分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．x3•（﹣x）2＝x5 B．（x2）3＝x6
C．a6÷a3＝a2 D．（x﹣2）2＝x2﹣4
5．（4分）某小组7名学生的中考体育分数如下：37，40，39，37，40，38，40，该组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．40，37 B．40，39 C．39，40 D．40，38
6．（4分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
8．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）已知互不相等的三个数a，b，c分别是2，﹣3，5中的某个值，有下列三个判断：①a＝2，②b≠2，③c≠5．若这三个判断有且只有一个正确，则式子2a﹣（﹣2b﹣3c+a）的值是（ ）
A．﹣5 B．0 C．5 D．11
10．（4分）如图，双曲线y＝（k＞0，x＜0）关于直线l对称，且与直线l相交于点D，四边形ABCD是平行四边形，顶点A，B的坐标分别是A（2，0），B（0，1），点C在双曲线上，则k的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分
11．（4分）2021年2月25日上午，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告：历经8年艰苦努力，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决．用科学记数法表示9899万人为 人．
12．（4分）八边形的内角和为 °．
13．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是OC，BC的中点，连接ON、MN，则△OMN的周长为 ．
14．（4分）“学雷锋”活动月中，学校组织学生开展志愿者劳动服务活动，小晴和小霞从“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是 ．
15．（4分）如图，等边△ABC的中心与⊙O的圆心重合，点D，E分别是CA，AB的延长线与⊙O的交点，已知AB＝BE＝2，则图中阴影部分面积为 ．
16．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2+m，m），B（2﹣m，m），C（0，﹣3）三点，且当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（8分）计算：（﹣1）2021+sin30°+（2﹣）（2+）．
18．（8分）先化简，再求值：（+）•，其中a＝﹣2．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一动点（不与A重合），求证：BE＝DE．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜120°）得到△ADE，DE交BC于点F，连接AF，在旋转过程中，有下列对某些四边形形状的判断．
（1）四边形AFCE可能是矩形；
（2）四边形ADCE可能是菱形；
（3）四边形ABFE可能是菱形；
请选择一个你认为正确的判断，画出相应的图形，求出此时旋转角α的度数，并给予证明．
21．（8分）助力脱贫致富，增加农民收入，我市某村发展养殖业．村民王大伯承包了一个鱼塘，年初投放了2500条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养后想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了100条鱼，做上记号后放回鱼塘过几天再次随机捕捞了100条鱼，发现这100条鱼中有5条有记号，同时秤得这100条鱼的质量，整理得到下图所示的条形统计图．
（1）请补全条形统计图；
（2）这100条鱼质量的中位数是 ；
（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可获得销售收入多少元？
22．（10分）如图，OP平分锐角∠MON，点C，D分别在OP，ON上，OC⊥CD．
（1）过点C作直线AC∥ON交射线OM于点A，再作点A关于OP的对称点B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知OA＝10，CD＝12，求tan∠MON的值．
23．（10分）某校九年级数学兴趣小组计划每人购买一套数学文化丛书．经上网查询了解到，网上某商城正在举行商品团购促销活动，其方案如下：若一次性购买不超过10套，则每套售价为原售价120元；若一次性购买多于10套，则每增加1套，每套售价都减少m元，但每套售价不低于80元．按此销售方案，该小组25名同学团购这种丛书共需2250元．
（1）求m的值；
（2）该校八年级数学兴趣小组（人数超过10人）也计划每人购买一套这种丛书，为了节省资金，八、九年级两个兴趣小组决定合资团购，经过计算，两个小组合资团购比分别单独团购可以节省资金650元，求八年级数学兴趣小组的人数．
24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，BD交AC于点E，过点D作DF⊥DB，DF交BA延长线于点F．
（1）求证：AF＝BC；
（2）如果AB＝3AF，求的值；
（3）过点F作FG∥BD交CA延长线于点G，求证：AG＝CE．
25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点P在x轴上，交y轴于点C（0，﹣2）．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣2k﹣2与抛物线相交于M，N两点（点M在点N的左边），如果S△POQ＝2，且当x＜0时，函数y＝ax2+bx+c的值随着x的增大而增大．
（ⅰ）求抛物线的解析式；
（ⅱ）求证：PM⊥PN．
2021年福建省龙岩市中考数学适应性试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（4分）下列关于“0”的说法中正确的是（ ）
A．0 不是有理数 B．0 是正数
C．0 没有相反数 D．0 没有倒数
【分析】根据有理数的分类，相反数、倒数的定义对各选项依次判断即可解答．
【解答】解：A、0是有理数，故本选项错误；
B、0既不是正数，也不是负数，故本选项错误；
C、0的相反数是0，故本选项错误；
D、0没有倒数，正确．
故选：D．
2．（4分）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
3．（4分）下列几何体中，三视图完全相同的是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．三棱柱
【分析】根据各种几何体的三视图的形状进行判断即可．
【解答】解：A．圆锥的主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为圆形，因此选项A不符合题意；
B．圆柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；
C．球的主视图是圆，左视图是圆，俯视图是圆，因此选项C符合题意；
D．三棱柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是三角形，因此选项D不符合题意；
故选：C．
4．（4分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．x3•（﹣x）2＝x5 B．（x2）3＝x6
C．a6÷a3＝a2 D．（x﹣2）2＝x2﹣4
【分析】利用完全平方公式，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方逐一判断即可．
【解答】解：A．x3•（﹣x）2＝x5，正确，故选项符合题意；
B.，原说法错误，故选项不符合题意；
C．x6÷x3＝x3，原说法错误，故选项不符合题意；
D．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，原说法错误，故选项不符合题意；
故选：A．
5．（4分）某小组7名学生的中考体育分数如下：37，40，39，37，40，38，40，该组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．40，37 B．40，39 C．39，40 D．40，38
【分析】根据众数和中位数的概念求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为37，37，38，39，40，40，40，
所以这组数据的众数为40，中位数为39，
故选：B．
6．（4分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5．
∴sin∠BAC＝＝．
故选：D．
7．（4分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO＝90°，再利用互余计算出∠AOP＝50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．
【解答】解：连接OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOP＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵∠AOP＝∠B+∠OAB，
∴∠B＝∠AOP＝×50°＝25°．
故选：B．
8．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用“黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，以及两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”分别得出等式得出答案．
【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
根据题意得：．
故选：A．
9．（4分）已知互不相等的三个数a，b，c分别是2，﹣3，5中的某个值，有下列三个判断：①a＝2，②b≠2，③c≠5．若这三个判断有且只有一个正确，则式子2a﹣（﹣2b﹣3c+a）的值是（ ）
A．﹣5 B．0 C．5 D．11
【分析】根据整式的加减混合运算法则把原式化简，根据题意确定a、b、c的值，代入计算即可．
【解答】解：2a﹣（﹣2b﹣3c+a）
＝2a+2b+3c﹣a
＝a+2b+3c，
由题意可知，a＝5，b＝2，c＝﹣3，
则原式＝5+2×2+3×（﹣3）＝0，
故选：B．
10．（4分）如图，双曲线y＝（k＞0，x＜0）关于直线l对称，且与直线l相交于点D，四边形ABCD是平行四边形，顶点A，B的坐标分别是A（2，0），B（0，1），点C在双曲线上，则k的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【分析】由平行四边形的性质可知D向左平移2个单位，再向上平移一个单位得到C，由题意可知直线l为y＝x，设D（m，m），则C（m﹣2，m+1），根据k＝xy得到m•m＝（m﹣2）（m+1），解方程求得m的值，进而即可求得k＝4．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵A（2，0），B（0，1），
∴D向左平移2个单位，再向上平移一个单位得到C，
∵双曲线y＝（k＞0，x＜0）关于直线l对称，
∴直线l为y＝x，
∴设D（m，m），则C（m﹣2，m+1），
∵点C、D在双曲线上，
∴k＝m•m＝（m﹣2）（m+1），
解得m＝﹣2，
∴k＝4，
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分
11．（4分）2021年2月25日上午，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告：历经8年艰苦努力，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决．用科学记数法表示9899万人为 9.899×107 人．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：9899万＝98990000＝9.899×107，
故答案为：9.899×107．
12．（4分）八边形的内角和为 1080 °．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．
【解答】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．
故答案为：1080°．
13．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是OC，BC的中点，连接ON、MN，则△OMN的周长为 8 ．
【分析】根据矩形的性质得到BC＝AD＝8，∠ABC＝90°，AO＝OC＝AC，根据勾股定理得到AC＝＝10，根据三角形中位线定理和直角三角形的性质得到ON＝AB＝3，OM＝NM＝OC＝，于是得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝8，∠ABC＝90°，AO＝OC＝AC，
∵AB＝6，
∴AC＝＝10，
∴OC＝5，
∵M，N分别是OC，BC的中点，
∴ON＝AB＝3，OM＝NM＝OC＝，
∴△OMN的周长为3++＝8，
故答案为：8．
14．（4分）“学雷锋”活动月中，学校组织学生开展志愿者劳动服务活动，小晴和小霞从“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是 ．
【分析】画树状图（用A、B、C分别表示“图书馆、博物馆、科技馆”）展示所有9种等可能的结果，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“图书馆、博物馆、科技馆”）
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率＝＝．
故答案为．
15．（4分）如图，等边△ABC的中心与⊙O的圆心重合，点D，E分别是CA，AB的延长线与⊙O的交点，已知AB＝BE＝2，则图中阴影部分面积为 π﹣ ．
【分析】根据阴影部分的面积＝（圆面积﹣△ABC的面积）求解即可．
【解答】解：作OM⊥AB于M，连接OB、OE，
∵点O是等边△ABC的中心，
∴OM平分AB，OB平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，AB＝BE＝2，
∴BM＝1，∠ABO＝30°，
∴OM＝BM＝，
∵EM＝3，
∴OE2＝EM2+OM2＝32+（）2＝，
∴阴影部分的面积＝（π﹣×2）＝π﹣，
故答案为π﹣．
16．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2+m，m），B（2﹣m，m），C（0，﹣3）三点，且当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是 ＜a≤或﹣≤a＜﹣ ．
【分析】根据对称点求对称轴，再根据x＝求a、b数量关系，把x＝4、x＝5分别代入整理后的函数式，再根据当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值这个条件，分两种情况就可求出a的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∵A（2+m，m），B（2﹣m，m），纵坐标相同，
∴对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣3，
∴当x＝4时，y＝﹣3，
x＝5时，y＝5a﹣3，
∵当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，
∴①抛物线开口向上，及a＞0时，它的三个整数分别是﹣3，﹣2，﹣1，
∴﹣1＜5a﹣3≤0，
∴＜a≤，
②抛物线开口向下，及a＜0时，它的三个整数分别是﹣3，﹣4，﹣5，
∴﹣6≤5a﹣3＜﹣5，
∴﹣≤a＜﹣，
综上所述，a的取值范围是：＜a≤或﹣≤a＜﹣．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（8分）计算：（﹣1）2021+sin30°+（2﹣）（2+）．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则以及特殊角的三角函数值、乘法公式分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1++4﹣3
＝．
18．（8分）先化简，再求值：（+）•，其中a＝﹣2．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当a＝﹣2时，原式＝．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一动点（不与A重合），求证：BE＝DE．
【分析】要证BE＝DE，先证△ADC≌△ABC，再证△ADE≌△ABE即可．
【解答】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAE＝∠BAE，
在△ADE和△ABE中，
，
∴△ADE≌△ABE（SAS），
∴BE＝DE．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜120°）得到△ADE，DE交BC于点F，连接AF，在旋转过程中，有下列对某些四边形形状的判断．
（1）四边形AFCE可能是矩形；
（2）四边形ADCE可能是菱形；
（3）四边形ABFE可能是菱形；
请选择一个你认为正确的判断，画出相应的图形，求出此时旋转角α的度数，并给予证明．
【分析】（2）四边形ADCE可能是菱形．当α＝60°时，（3）四边形ADCE是菱形．四边形ABFE可能是菱形．当α＝30°时，四边形ABFE是菱形．根据根据菱形的判定定理，证明即可．
【解答】解：（2）四边形ADCE可能是菱形．当α＝60°时，四边形ADCE是菱形．
理由：如图1中，
∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∠BAD＝60°，
∴∠CAD＝∠CAE＝60°，
∵AD＝AC＝AE，
∴△ADC，△AEC都是等边三角形，
∴AC＝EC＝CD，
∴AE＝AD＝CD＝EC，
∴四边形ADCE是菱形．
（3）四边形ABFE可能是菱形．当α＝30°时，四边形ABFE是菱形．
理由：如图2中，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝30°
∵∠BAD＝∠ADE＝30°，
∴AB∥DE，
∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝30°，
∴AE∥CB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB＝AE，
∴四边形ABFE是菱形．
21．（8分）助力脱贫致富，增加农民收入，我市某村发展养殖业．村民王大伯承包了一个鱼塘，年初投放了2500条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养后想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了100条鱼，做上记号后放回鱼塘过几天再次随机捕捞了100条鱼，发现这100条鱼中有5条有记号，同时秤得这100条鱼的质量，整理得到下图所示的条形统计图．
（1）请补全条形统计图；
（2）这100条鱼质量的中位数是 1.45千克 ；
（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可获得销售收入多少元？
【分析】（1）求出1.4千克的鱼的条数，画出条形图即可．
（2）根据中位数的定义求解即可．
（3）求出鱼塘里的这种鱼的数量和平均质量，可得结论．
【解答】解：（1）1.4千克的鱼有100﹣5﹣20﹣30﹣10﹣10＝25（条），
条形图如图所示：
（2）这100条鱼质量的中位数是：＝1.45（千克）．
故答案为：1.45千克．
（3）鱼的数量为100÷（5÷100）＝2000（条），
平均质量＝（5×1.2+20×1.3+25×1.4+30×1.5+10×1.6+10×1.7）＝1.45（千克），
∴鱼塘里的这种鱼可获得销售收入约为：1.45×2000×18＝52200（元）．
22．（10分）如图，OP平分锐角∠MON，点C，D分别在OP，ON上，OC⊥CD．
（1）过点C作直线AC∥ON交射线OM于点A，再作点A关于OP的对称点B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知OA＝10，CD＝12，求tan∠MON的值．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）连接AB交OC于点E，过点A作AF⊥OD于点F．首先证明四边形ABDC是平行四边形，利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出OF，可得结论．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）如图，连接AB交OC于点E，过点A作AF⊥OD于点F．
∵AC∥OD，
∴∠ACO＝∠COD，
∵∠AOC＝∠COD，
∴∠AOC＝∠ACO，
∴OA＝AC，
∵OA＝OB，OC平分∠AOB，
∴AB⊥OP，
∵OP⊥CD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝BC＝OA＝OB＝10，AB＝CD＝12，
∴AE＝EB＝6，
∴OE＝＝＝8，
∵S△AOB＝•OB•AF＝•AB•OE，
∴AF＝＝，
∴OF＝＝＝，
∴tan∠MON＝＝＝．
23．（10分）某校九年级数学兴趣小组计划每人购买一套数学文化丛书．经上网查询了解到，网上某商城正在举行商品团购促销活动，其方案如下：若一次性购买不超过10套，则每套售价为原售价120元；若一次性购买多于10套，则每增加1套，每套售价都减少m元，但每套售价不低于80元．按此销售方案，该小组25名同学团购这种丛书共需2250元．
（1）求m的值；
（2）该校八年级数学兴趣小组（人数超过10人）也计划每人购买一套这种丛书，为了节省资金，八、九年级两个兴趣小组决定合资团购，经过计算，两个小组合资团购比分别单独团购可以节省资金650元，求八年级数学兴趣小组的人数．
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合每套售价不低于80元，即可确定m的值为2；
（2）利用数量＝10+（原售价﹣最低售价）÷2，可求出当售价为80元时购买的套数，设八年级数学兴趣小组有x人，分10＜x＜30及x≥30两种情况考虑：当10＜x＜30时，根据两个小组合资团购比分别单独团购可以节省资金650元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值；当x≥30时，两个小组合资团购比分别单独团购可以节省资金250元，不符合题意，舍去．
【解答】解：（1）依题意得：25×[120﹣（25﹣10）m]＝2250，
解得：m＝2，
当m＝2时，120﹣（25﹣10）m＝120﹣（25﹣10）×2＝90＞80，符合题意．
答：m的值是2．
（2）10+（120﹣80）÷2＝30（套）．
设八年级数学兴趣小组有x人．
当10＜x＜30时，2250+x[120﹣2（x﹣10）]﹣80（25+x）＝650，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20；
当x≥30时，2250+80x﹣80（25+x）＝250≠650，不符合题意，舍去．
答：八年级数学兴趣小组的人数为10人或20人．
24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，BD交AC于点E，过点D作DF⊥DB，DF交BA延长线于点F．
（1）求证：AF＝BC；
（2）如果AB＝3AF，求的值；
（3）过点F作FG∥BD交CA延长线于点G，求证：AG＝CE．
【分析】（1）由BD平分∠ABC，可证AD＝CD，通过ASA证明△DAF≌△DCB，即可得出结论；
（2）设AF＝a，AB＝3AF＝3a，在Rt△ABC中，AC＝a，在Rt△ADC中，AD＝CD＝a，过点B作BM⊥AC于点M，根据三角形ABC的面积可求出BM的长，再借助△ODE∽△MBE即可；
（3）设DF交⊙O于点N，在DF上截取DP＝DE，连接PA，AN，PG，首先通过SAS证明△DAP≌△DCE，可证∠PAG＝90°，通过圆内接四边形的性质可得∠ANF＝∠ABD＝45°，从而∠FAN＝90°，AF＝AN，再通过ASA证明△AGF≌△APN即可．
【解答】（1）证明；∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴AD＝CD，
∵DF⊥BD，
∴∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠CDB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
又∵∠BAD+∠DAF＝180°，
∴∠DAF＝∠DCB，
∴△DAF≌△DCB（ASA），
∴AF＝BC；
（2）解：设AF＝a，AB＝3AF＝3a，
由（1）△DAF≌△DCB，
∴BC＝AF＝a，
在Rt△ABC中，AC＝＝，
在Rt△ADC中，AD＝CD＝AC•sin45°＝a＝a，
过点B作BM⊥AC于点M，
则BM＝＝，
连接OD，则OD＝AC＝，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BM，
∴△ODE∽△MBE，
∴＝＝；
（3）证明：设DF交⊙O于点N，在DF上截取DP＝DE，连接PA，AN，PG，
由（1）知：∠ADF＝∠CDB，AD＝CD，
∴△DAP≌△DCE（SAS），
∴AP＝CE，∠DAP＝∠DCE＝45°，
∴∠PAC＝∠DAP+∠DAC＝90°，
∴∠PAG＝90°，
∵四边形ABDN内接于⊙O，
∴∠ABD+∠AND＝180°，
又∵∠ANF+∠AND＝180°，
∴∠ANF＝∠ABD＝45°，
∵∠BDF＝90°，∠ABD＝45°，
∴∠BFD＝45°，
∴∠FAN＝90°，AF＝AN，
∴∠PAN＝∠GAF，
又∵FG∥BD，
∴∠GFA＝FBD＝45°，
∴∠GFA＝∠PNA＝45°，
∴△AGF≌△APN（ASA），
∴AG＝AP＝CE．
25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点P在x轴上，交y轴于点C（0，﹣2）．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣2k﹣2与抛物线相交于M，N两点（点M在点N的左边），如果S△POQ＝2，且当x＜0时，函数y＝ax2+bx+c的值随着x的增大而增大．
（ⅰ）求抛物线的解析式；
（ⅱ）求证：PM⊥PN．
【分析】（1）将C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得抛物线为y＝ax2+bx﹣2，根据顶点P在x轴上即得a＝﹣b2；
（2）（ⅰ）由y＝kx﹣2k﹣2＝k（x﹣2）﹣2，即得定点Q（2，﹣2），根据S△POQ＝2，得OP＝2，由当x＜0时，函数y＝ax2+bx+c的值随着x的增大而增大，即得P（2，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，用待定系数法即得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+2x﹣2；
（ⅱ）由得：M（2﹣k﹣，﹣k2﹣2﹣k），N（（2﹣k+，﹣k2﹣2+k），而P（2，0），可得PM2＝2k4+10k2+8+2k+2k（k2+2），PN2＝2k4+10k2+8﹣2k﹣2k（k2+2），MN2＝（2）2+（2k）2＝4k4+20k2+16，即知PM2+PN2＝MN2，∠MPN＝90°，故PM⊥PN．
【解答】解：（1）将C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：c＝﹣2，
∴抛物线为y＝ax2+bx﹣2，
∵顶点P在x轴上，
∴＝0，
∴a＝﹣b2；
（2）（ⅰ）∵y＝kx﹣2k﹣2＝k（x﹣2）﹣2，
∴x＝2时，y＝﹣2，即Q（2，﹣2），
∵S△POQ＝2，
∴OP•|yQ|＝2，即OP×2＝2，
∴OP＝2，
∵当x＜0时，函数y＝ax2+bx+c的值随着x的增大而增大，
∴a＜0，抛物线对称轴在y轴及右侧，
∴P（2，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，
将C（0，﹣2）代入得：﹣2＝4a，
∴a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+2x﹣2；
（ⅱ）证明：如图：
由得：或，
∴M（2﹣k﹣，﹣k2﹣2﹣k），N（（2﹣k+，﹣k2﹣2+k），
而P（2，0），
∴PM2＝（k+）2+（k2+2+k）2＝2k4+10k2+8+2k+2k（k2+2），
PN2＝（k﹣）2+（k2+2﹣k）2＝2k4+10k2+8﹣2k﹣2k（k2+2），
MN2＝（2）2+（2k）2＝4k4+20k2+16，
∴PM2+PN2＝4k4+20k2+16，
∴PM2+PN2＝MN2，
∴∠MPN＝90°，
∴PM⊥PN．
2021年福建省龙岩市中考数学适应性试卷（一）
一、选择题：本题共10小题，每题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（4分）下列关于“0”的说法中正确的是（ ）
A．0 不是有理数 B．0 是正数
C．0 没有相反数 D．0 没有倒数
2．（4分）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列几何体中，三视图完全相同的是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．三棱柱
4．（4分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．x3•（﹣x）2＝x5 B．（x2）3＝x6
C．a6÷a3＝a2 D．（x﹣2）2＝x2﹣4
5．（4分）某小组7名学生的中考体育分数如下：37，40，39，37，40，38，40，该组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．40，37 B．40，39 C．39，40 D．40，38
6．（4分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
8．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）已知互不相等的三个数a，b，c分别是2，﹣3，5中的某个值，有下列三个判断：①a＝2，②b≠2，③c≠5．若这三个判断有且只有一个正确，则式子2a﹣（﹣2b﹣3c+a）的值是（ ）
A．﹣5 B．0 C．5 D．11
10．（4分）如图，双曲线y＝（k＞0，x＜0）关于直线l对称，且与直线l相交于点D，四边形ABCD是平行四边形，顶点A，B的坐标分别是A（2，0），B（0，1），点C在双曲线上，则k的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分
11．（4分）2021年2月25日上午，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告：历经8年艰苦努力，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决．用科学记数法表示9899万人为 人．
12．（4分）八边形的内角和为 °．
13．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是OC，BC的中点，连接ON、MN，则△OMN的周长为 ．
14．（4分）“学雷锋”活动月中，学校组织学生开展志愿者劳动服务活动，小晴和小霞从“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是 ．
15．（4分）如图，等边△ABC的中心与⊙O的圆心重合，点D，E分别是CA，AB的延长线与⊙O的交点，已知AB＝BE＝2，则图中阴影部分面积为 ．
16．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2+m，m），B（2﹣m，m），C（0，﹣3）三点，且当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（8分）计算：（﹣1）2021+sin30°+（2﹣）（2+）．
18．（8分）先化简，再求值：（+）•，其中a＝﹣2．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一动点（不与A重合），求证：BE＝DE．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜120°）得到△ADE，DE交BC于点F，连接AF，在旋转过程中，有下列对某些四边形形状的判断．
（1）四边形AFCE可能是矩形；
（2）四边形ADCE可能是菱形；
（3）四边形ABFE可能是菱形；
请选择一个你认为正确的判断，画出相应的图形，求出此时旋转角α的度数，并给予证明．
21．（8分）助力脱贫致富，增加农民收入，我市某村发展养殖业．村民王大伯承包了一个鱼塘，年初投放了2500条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养后想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了100条鱼，做上记号后放回鱼塘过几天再次随机捕捞了100条鱼，发现这100条鱼中有5条有记号，同时秤得这100条鱼的质量，整理得到下图所示的条形统计图．
（1）请补全条形统计图；
（2）这100条鱼质量的中位数是 ；
（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可获得销售收入多少元？
22．（10分）如图，OP平分锐角∠MON，点C，D分别在OP，ON上，OC⊥CD．
（1）过点C作直线AC∥ON交射线OM于点A，再作点A关于OP的对称点B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知OA＝10，CD＝12，求tan∠MON的值．
23．（10分）某校九年级数学兴趣小组计划每人购买一套数学文化丛书．经上网查询了解到，网上某商城正在举行商品团购促销活动，其方案如下：若一次性购买不超过10套，则每套售价为原售价120元；若一次性购买多于10套，则每增加1套，每套售价都减少m元，但每套售价不低于80元．按此销售方案，该小组25名同学团购这种丛书共需2250元．
（1）求m的值；
（2）该校八年级数学兴趣小组（人数超过10人）也计划每人购买一套这种丛书，为了节省资金，八、九年级两个兴趣小组决定合资团购，经过计算，两个小组合资团购比分别单独团购可以节省资金650元，求八年级数学兴趣小组的人数．
24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，BD交AC于点E，过点D作DF⊥DB，DF交BA延长线于点F．
（1）求证：AF＝BC；
（2）如果AB＝3AF，求的值；
（3）过点F作FG∥BD交CA延长线于点G，求证：AG＝CE．
25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点P在x轴上，交y轴于点C（0，﹣2）．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣2k﹣2与抛物线相交于M，N两点（点M在点N的左边），如果S△POQ＝2，且当x＜0时，函数y＝ax2+bx+c的值随着x的增大而增大．
（ⅰ）求抛物线的解析式；
（ⅱ）求证：PM⊥PN．
2021年福建省龙岩市中考数学适应性试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（4分）下列关于“0”的说法中正确的是（ ）
A．0 不是有理数 B．0 是正数
C．0 没有相反数 D．0 没有倒数
【分析】根据有理数的分类，相反数、倒数的定义对各选项依次判断即可解答．
【解答】解：A、0是有理数，故本选项错误；
B、0既不是正数，也不是负数，故本选项错误；
C、0的相反数是0，故本选项错误；
D、0没有倒数，正确．
故选：D．
2．（4分）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
3．（4分）下列几何体中，三视图完全相同的是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．三棱柱
【分析】根据各种几何体的三视图的形状进行判断即可．
【解答】解：A．圆锥的主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为圆形，因此选项A不符合题意；
B．圆柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；
C．球的主视图是圆，左视图是圆，俯视图是圆，因此选项C符合题意；
D．三棱柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是三角形，因此选项D不符合题意；
故选：C．
4．（4分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．x3•（﹣x）2＝x5 B．（x2）3＝x6
C．a6÷a3＝a2 D．（x﹣2）2＝x2﹣4
【分析】利用完全平方公式，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方逐一判断即可．
【解答】解：A．x3•（﹣x）2＝x5，正确，故选项符合题意；
B.，原说法错误，故选项不符合题意；
C．x6÷x3＝x3，原说法错误，故选项不符合题意；
D．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，原说法错误，故选项不符合题意；
故选：A．
5．（4分）某小组7名学生的中考体育分数如下：37，40，39，37，40，38，40，该组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．40，37 B．40，39 C．39，40 D．40，38
【分析】根据众数和中位数的概念求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为37，37，38，39，40，40，40，
所以这组数据的众数为40，中位数为39，
故选：B．
6．（4分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5．
∴sin∠BAC＝＝．
故选：D．
7．（4分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO＝90°，再利用互余计算出∠AOP＝50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．
【解答】解：连接OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOP＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵∠AOP＝∠B+∠OAB，
∴∠B＝∠AOP＝×50°＝25°．
故选：B．
8．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用“黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，以及两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”分别得出等式得出答案．
【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
根据题意得：．
故选：A．
9．（4分）已知互不相等的三个数a，b，c分别是2，﹣3，5中的某个值，有下列三个判断：①a＝2，②b≠2，③c≠5．若这三个判断有且只有一个正确，则式子2a﹣（﹣2b﹣3c+a）的值是（ ）
A．﹣5 B．0 C．5 D．11
【分析】根据整式的加减混合运算法则把原式化简，根据题意确定a、b、c的值，代入计算即可．
【解答】解：2a﹣（﹣2b﹣3c+a）
＝2a+2b+3c﹣a
＝a+2b+3c，
由题意可知，a＝5，b＝2，c＝﹣3，
则原式＝5+2×2+3×（﹣3）＝0，
故选：B．
10．（4分）如图，双曲线y＝（k＞0，x＜0）关于直线l对称，且与直线l相交于点D，四边形ABCD是平行四边形，顶点A，B的坐标分别是A（2，0），B（0，1），点C在双曲线上，则k的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【分析】由平行四边形的性质可知D向左平移2个单位，再向上平移一个单位得到C，由题意可知直线l为y＝x，设D（m，m），则C（m﹣2，m+1），根据k＝xy得到m•m＝（m﹣2）（m+1），解方程求得m的值，进而即可求得k＝4．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵A（2，0），B（0，1），
∴D向左平移2个单位，再向上平移一个单位得到C，
∵双曲线y＝（k＞0，x＜0）关于直线l对称，
∴直线l为y＝x，
∴设D（m，m），则C（m﹣2，m+1），
∵点C、D在双曲线上，
∴k＝m•m＝（m﹣2）（m+1），
解得m＝﹣2，
∴k＝4，
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分
11．（4分）2021年2月25日上午，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告：历经8年艰苦努力，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决．用科学记数法表示9899万人为 9.899×107 人．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：9899万＝98990000＝9.899×107，
故答案为：9.899×107．
12．（4分）八边形的内角和为 1080 °．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．
【解答】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．
故答案为：1080°．
13．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是OC，BC的中点，连接ON、MN，则△OMN的周长为 8 ．
【分析】根据矩形的性质得到BC＝AD＝8，∠ABC＝90°，AO＝OC＝AC，根据勾股定理得到AC＝＝10，根据三角形中位线定理和直角三角形的性质得到ON＝AB＝3，OM＝NM＝OC＝，于是得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝8，∠ABC＝90°，AO＝OC＝AC，
∵AB＝6，
∴AC＝＝10，
∴OC＝5，
∵M，N分别是OC，BC的中点，
∴ON＝AB＝3，OM＝NM＝OC＝，
∴△OMN的周长为3++＝8，
故答案为：8．
14．（4分）“学雷锋”活动月中，学校组织学生开展志愿者劳动服务活动，小晴和小霞从“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是 ．
【分析】画树状图（用A、B、C分别表示“图书馆、博物馆、科技馆”）展示所有9种等可能的结果，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“图书馆、博物馆、科技馆”）
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率＝＝．
故答案为．
15．（4分）如图，等边△ABC的中心与⊙O的圆心重合，点D，E分别是CA，AB的延长线与⊙O的交点，已知AB＝BE＝2，则图中阴影部分面积为 π﹣ ．
【分析】根据阴影部分的面积＝（圆面积﹣△ABC的面积）求解即可．
【解答】解：作OM⊥AB于M，连接OB、OE，
∵点O是等边△ABC的中心，
∴OM平分AB，OB平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，AB＝BE＝2，
∴BM＝1，∠ABO＝30°，
∴OM＝BM＝，
∵EM＝3，
∴OE2＝EM2+OM2＝32+（）2＝，
∴阴影部分的面积＝（π﹣×2）＝π﹣，
故答案为π﹣．
16．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2+m，m），B（2﹣m，m），C（0，﹣3）三点，且当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是 ＜a≤或﹣≤a＜﹣ ．
【分析】根据对称点求对称轴，再根据x＝求a、b数量关系，把x＝4、x＝5分别代入整理后的函数式，再根据当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值这个条件，分两种情况就可求出a的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∵A（2+m，m），B（2﹣m，m），纵坐标相同，
∴对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣3，
∴当x＝4时，y＝﹣3，
x＝5时，y＝5a﹣3，
∵当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，
∴①抛物线开口向上，及a＞0时，它的三个整数分别是﹣3，﹣2，﹣1，
∴﹣1＜5a﹣3≤0，
∴＜a≤，
②抛物线开口向下，及a＜0时，它的三个整数分别是﹣3，﹣4，﹣5，
∴﹣6≤5a﹣3＜﹣5，
∴﹣≤a＜﹣，
综上所述，a的取值范围是：＜a≤或﹣≤a＜﹣．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（8分）计算：（﹣1）2021+sin30°+（2﹣）（2+）．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则以及特殊角的三角函数值、乘法公式分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1++4﹣3
＝．
18．（8分）先化简，再求值：（+）•，其中a＝﹣2．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当a＝﹣2时，原式＝．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一动点（不与A重合），求证：BE＝DE．
【分析】要证BE＝DE，先证△ADC≌△ABC，再证△ADE≌△ABE即可．
【解答】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAE＝∠BAE，
在△ADE和△ABE中，
，
∴△ADE≌△ABE（SAS），
∴BE＝DE．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜120°）得到△ADE，DE交BC于点F，连接AF，在旋转过程中，有下列对某些四边形形状的判断．
（1）四边形AFCE可能是矩形；
（2）四边形ADCE可能是菱形；
（3）四边形ABFE可能是菱形；
请选择一个你认为正确的判断，画出相应的图形，求出此时旋转角α的度数，并给予证明．
【分析】（2）四边形ADCE可能是菱形．当α＝60°时，（3）四边形ADCE是菱形．四边形ABFE可能是菱形．当α＝30°时，四边形ABFE是菱形．根据根据菱形的判定定理，证明即可．
【解答】解：（2）四边形ADCE可能是菱形．当α＝60°时，四边形ADCE是菱形．
理由：如图1中，
∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∠BAD＝60°，
∴∠CAD＝∠CAE＝60°，
∵AD＝AC＝AE，
∴△ADC，△AEC都是等边三角形，
∴AC＝EC＝CD，
∴AE＝AD＝CD＝EC，
∴四边形ADCE是菱形．
（3）四边形ABFE可能是菱形．当α＝30°时，四边形ABFE是菱形．
理由：如图2中，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝30°
∵∠BAD＝∠ADE＝30°，
∴AB∥DE，
∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝30°，
∴AE∥CB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB＝AE，
∴四边形ABFE是菱形．
21．（8分）助力脱贫致富，增加农民收入，我市某村发展养殖业．村民王大伯承包了一个鱼塘，年初投放了2500条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养后想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了100条鱼，做上记号后放回鱼塘过几天再次随机捕捞了100条鱼，发现这100条鱼中有5条有记号，同时秤得这100条鱼的质量，整理得到下图所示的条形统计图．
（1）请补全条形统计图；
（2）这100条鱼质量的中位数是 1.45千克 ；
（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可获得销售收入多少元？
【分析】（1）求出1.4千克的鱼的条数，画出条形图即可．
（2）根据中位数的定义求解即可．
（3）求出鱼塘里的这种鱼的数量和平均质量，可得结论．
【解答】解：（1）1.4千克的鱼有100﹣5﹣20﹣30﹣10﹣10＝25（条），
条形图如图所示：
（2）这100条鱼质量的中位数是：＝1.45（千克）．
故答案为：1.45千克．
（3）鱼的数量为100÷（5÷100）＝2000（条），
平均质量＝（5×1.2+20×1.3+25×1.4+30×1.5+10×1.6+10×1.7）＝1.45（千克），
∴鱼塘里的这种鱼可获得销售收入约为：1.45×2000×18＝52200（元）．
22．（10分）如图，OP平分锐角∠MON，点C，D分别在OP，ON上，OC⊥CD．
（1）过点C作直线AC∥ON交射线OM于点A，再作点A关于OP的对称点B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知OA＝10，CD＝12，求tan∠MON的值．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）连接AB交OC于点E，过点A作AF⊥OD于点F．首先证明四边形ABDC是平行四边形，利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出OF，可得结论．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）如图，连接AB交OC于点E，过点A作AF⊥OD于点F．
∵AC∥OD，
∴∠ACO＝∠COD，
∵∠AOC＝∠COD，
∴∠AOC＝∠ACO，
∴OA＝AC，
∵OA＝OB，OC平分∠AOB，
∴AB⊥OP，
∵OP⊥CD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝BC＝OA＝OB＝10，AB＝CD＝12，
∴AE＝EB＝6，
∴OE＝＝＝8，
∵S△AOB＝•OB•AF＝•AB•OE，
∴AF＝＝，
∴OF＝＝＝，
∴tan∠MON＝＝＝．
23．（10分）某校九年级数学兴趣小组计划每人购买一套数学文化丛书．经上网查询了解到，网上某商城正在举行商品团购促销活动，其方案如下：若一次性购买不超过10套，则每套售价为原售价120元；若一次性购买多于10套，则每增加1套，每套售价都减少m元，但每套售价不低于80元．按此销售方案，该小组25名同学团购这种丛书共需2250元．
（1）求m的值；
（2）该校八年级数学兴趣小组（人数超过10人）也计划每人购买一套这种丛书，为了节省资金，八、九年级两个兴趣小组决定合资团购，经过计算，两个小组合资团购比分别单独团购可以节省资金650元，求八年级数学兴趣小组的人数．
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合每套售价不低于80元，即可确定m的值为2；
（2）利用数量＝10+（原售价﹣最低售价）÷2，可求出当售价为80元时购买的套数，设八年级数学兴趣小组有x人，分10＜x＜30及x≥30两种情况考虑：当10＜x＜30时，根据两个小组合资团购比分别单独团购可以节省资金650元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值；当x≥30时，两个小组合资团购比分别单独团购可以节省资金250元，不符合题意，舍去．
【解答】解：（1）依题意得：25×[120﹣（25﹣10）m]＝2250，
解得：m＝2，
当m＝2时，120﹣（25﹣10）m＝120﹣（25﹣10）×2＝90＞80，符合题意．
答：m的值是2．
（2）10+（120﹣80）÷2＝30（套）．
设八年级数学兴趣小组有x人．
当10＜x＜30时，2250+x[120﹣2（x﹣10）]﹣80（25+x）＝650，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20；
当x≥30时，2250+80x﹣80（25+x）＝250≠650，不符合题意，舍去．
答：八年级数学兴趣小组的人数为10人或20人．
24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，BD交AC于点E，过点D作DF⊥DB，DF交BA延长线于点F．
（1）求证：AF＝BC；
（2）如果AB＝3AF，求的值；
（3）过点F作FG∥BD交CA延长线于点G，求证：AG＝CE．
【分析】（1）由BD平分∠ABC，可证AD＝CD，通过ASA证明△DAF≌△DCB，即可得出结论；
（2）设AF＝a，AB＝3AF＝3a，在Rt△ABC中，AC＝a，在Rt△ADC中，AD＝CD＝a，过点B作BM⊥AC于点M，根据三角形ABC的面积可求出BM的长，再借助△ODE∽△MBE即可；
（3）设DF交⊙O于点N，在DF上截取DP＝DE，连接PA，AN，PG，首先通过SAS证明△DAP≌△DCE，可证∠PAG＝90°，通过圆内接四边形的性质可得∠ANF＝∠ABD＝45°，从而∠FAN＝90°，AF＝AN，再通过ASA证明△AGF≌△APN即可．
【解答】（1）证明；∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴AD＝CD，
∵DF⊥BD，
∴∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠CDB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
又∵∠BAD+∠DAF＝180°，
∴∠DAF＝∠DCB，
∴△DAF≌△DCB（ASA），
∴AF＝BC；
（2）解：设AF＝a，AB＝3AF＝3a，
由（1）△DAF≌△DCB，
∴BC＝AF＝a，
在Rt△ABC中，AC＝＝，
在Rt△ADC中，AD＝CD＝AC•sin45°＝a＝a，
过点B作BM⊥AC于点M，
则BM＝＝，
连接OD，则OD＝AC＝，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BM，
∴△ODE∽△MBE，
∴＝＝；
（3）证明：设DF交⊙O于点N，在DF上截取DP＝DE，连接PA，AN，PG，
由（1）知：∠ADF＝∠CDB，AD＝CD，
∴△DAP≌△DCE（SAS），
∴AP＝CE，∠DAP＝∠DCE＝45°，
∴∠PAC＝∠DAP+∠DAC＝90°，
∴∠PAG＝90°，
∵四边形ABDN内接于⊙O，
∴∠ABD+∠AND＝180°，
又∵∠ANF+∠AND＝180°，
∴∠ANF＝∠ABD＝45°，
∵∠BDF＝90°，∠ABD＝45°，
∴∠BFD＝45°，
∴∠FAN＝90°，AF＝AN，
∴∠PAN＝∠GAF，
又∵FG∥BD，
∴∠GFA＝FBD＝45°，
∴∠GFA＝∠PNA＝45°，
∴△AGF≌△APN（ASA），
∴AG＝AP＝CE．
25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点P在x轴上，交y轴于点C（0，﹣2）．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣2k﹣2与抛物线相交于M，N两点（点M在点N的左边），如果S△POQ＝2，且当x＜0时，函数y＝ax2+bx+c的值随着x的增大而增大．
（ⅰ）求抛物线的解析式；
（ⅱ）求证：PM⊥PN．
【分析】（1）将C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得抛物线为y＝ax2+bx﹣2，根据顶点P在x轴上即得a＝﹣b2；
（2）（ⅰ）由y＝kx﹣2k﹣2＝k（x﹣2）﹣2，即得定点Q（2，﹣2），根据S△POQ＝2，得OP＝2，由当x＜0时，函数y＝ax2+bx+c的值随着x的增大而增大，即得P（2，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，用待定系数法即得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+2x﹣2；
（ⅱ）由得：M（2﹣k﹣，﹣k2﹣2﹣k），N（（2﹣k+，﹣k2﹣2+k），而P（2，0），可得PM2＝2k4+10k2+8+2k+2k（k2+2），PN2＝2k4+10k2+8﹣2k﹣2k（k2+2），MN2＝（2）2+（2k）2＝4k4+20k2+16，即知PM2+PN2＝MN2，∠MPN＝90°，故PM⊥PN．
【解答】解：（1）将C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：c＝﹣2，
∴抛物线为y＝ax2+bx﹣2，
∵顶点P在x轴上，
∴＝0，
∴a＝﹣b2；
（2）（ⅰ）∵y＝kx﹣2k﹣2＝k（x﹣2）﹣2，
∴x＝2时，y＝﹣2，即Q（2，﹣2），
∵S△POQ＝2，
∴OP•|yQ|＝2，即OP×2＝2，
∴OP＝2，
∵当x＜0时，函数y＝ax2+bx+c的值随着x的增大而增大，
∴a＜0，抛物线对称轴在y轴及右侧，
∴P（2，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，
将C（0，﹣2）代入得：﹣2＝4a，
∴a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+2x﹣2；
（ⅱ）证明：如图：
由得：或，
∴M（2﹣k﹣，﹣k2﹣2﹣k），N（（2﹣k+，﹣k2﹣2+k），
而P（2，0），
∴PM2＝（k+）2+（k2+2+k）2＝2k4+10k2+8+2k+2k（k2+2），
PN2＝（k﹣）2+（k2+2﹣k）2＝2k4+10k2+8﹣2k﹣2k（k2+2），
MN2＝（2）2+（2k）2＝4k4+20k2+16，
∴PM2+PN2＝4k4+20k2+16，
∴PM2+PN2＝MN2，
∴∠MPN＝90°，
∴PM⊥PN．
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