2021年浙江省温州市南浦实验中学中考数学模拟试卷 word，解析版

这是一份2021年浙江省温州市南浦实验中学中考数学模拟试卷 word，解析版，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年浙江省温州市南浦实验中学中考数学模拟试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）在﹣2，1，0，这四个数中，最大的数的是（　　）
A．﹣2 B．1 C．0 D．
2．（4分）从疾控中心了解到，截至2021年3月，我国各地累计报告接种新冠病毒疫苗约82000000剂次，数据82000000用科学记数法表示为（　　）
A．82×107 B．8.2×107 C．8.2×108 D．0.82×109
3．（4分）某物体如图所示，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．x2+x＝x3 B．x2+x3＝5x C．x2•x3＝x5 D．（x2）3＝x5
5．（4分）在一次数学测试中，小强成绩82分，超过班级半数同学的成绩．分析得出这个结论所用的统计量是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
6．（4分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）

A．25° B．30° C．45° D．55°
7．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，AB＝2m，木箱高BE＝1m，斜面坡角为α，则木箱端点E距地面AC的高度表示为（　　）m．

A．+2sinα B．2cosα+sinα
C．cosα+2sinα D．tanα+2sinα
9．（4分）在平面直角坐标系中，当a＜﹣4时，抛物线y＝a（x﹣2）2+7与直线y＝2x+1上的三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m）总有x1+x2+x3＞6，则m的值可以是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△AEC，过点E作EF⊥DC于点F，连结AF，若AD＝DF，S△AEF＝3，S△ACF＝5，则矩形ABCD的面积为（　　）

A．18 B．19 C．20 D．21
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：a2﹣4b2＝　 　．
12．（5分）关于x的不等式组的解集是 　 　．
13．（5分）若一个扇形的圆心角为90°，半径是6，则它的弧长为 　 　．
14．（5分）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有编号不同），编号分别为1，3，4，从中任意摸出一个球，记下编号后不放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为奇数的概率是 　 　．
15．（5分）如图，双曲线上有一点A（5，4.8），过点A作AB⊥x轴于点B，在OB上取点C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，将矩形ABCD向右平移，使得双曲线经过C′D′的中点E．若此时B′F＝BC，则平移的距离为 　 　．

16．（5分）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为1cm．目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方案；
（1）如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是 　 　cm．
（2）如果你要装12只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为 　 　cm．

三、解答题（本题有8小题，共80分）
17．（10分）（1）计算：+（）0﹣（﹣3）﹣|﹣2|；
（2）化简：（x﹣2）2﹣x（x+4）．
18．（8分）图△ABC的两条高AD，BE相交于点F，AC＝BC．
（1）求证：△ADC≌△BEC．
（2）若CD＝1，BE＝2，求线段AC的长．

19．（8分）在推进城乡生活垃圾分类的行动中，社区从A，B两个小区各随机选择50位居民进行问卷调查，并得到他们的成绩，将成绩a＜60定为“不了解”，60＜a≤80为“比较了解”，80＜a≤100为“非常了解“，并绘制了如图的统计图：

（每一组不包含前一个边界值，包含后一个边界值）
已知A小区共有常住居民500人，B小区共有常住居民400人，
（1）请估计整个B小区达到“非常了解”的居民人数．
（2）将“比较了解”和“非常了解”的人数作为普及到位的居民，请估计整个A小区普及到位的居民人数．
（3）你认为哪个小区垃圾分类的普及工作更出色？请通过计算并用合适的数据来说明．
20．（8分）如图，在5×6的网格中，每个小正方形的边长为1．从五边形ABCDE的边上选择4个格点（允许包含顶点），分别作一个面积为10的格点四边形，同时满足以下条件：
（1）在图1中，格点四边形的两条对角线互相垂直．
（2）在图2中，格点四边形为矩形，且对角线的长度为整数．

21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣2，5），B（1，2）．
（1）求线段AB与y轴的交点坐标；
（2）若抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，求m的取值范围．

22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，BA＝BC，直径AD交BC于E，延长CD交切线BF于F．
（1）求证：∠BFC＝90°
（2）若tan∠BAD＝，CD＝2，求CE的长．

23．（12分）中考临近，校门口文具店生意火爆，文具店老板小张从批发商处了解到甲、乙、丙三种文具套装的部分价格如表：
价格
甲
乙
丙
批发价（元/套）
25


零售价（元/套）
30
25
35
（1）已知小张第一次批发购进乙220套，丙100套，共花费5300元，且乙每套的批发价比丙低5元，求乙、丙每套的批发价．
（2）由于销量好，第一次购进的文具套装全部售完，小张用第一次的销售收入再批发购进甲、乙、丙三种文具套装，且购进乙、丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高a%，丙的批发价每套比原来下降2a%．
①若他第二次批发购进乙、丙两种套装分别花费3600元、2400元，求a的值．
②在a的值不变的前提下，小张把第一次的销售收入全用于第二次批发，若第二次销售完这三种所得利润为w元，当甲的数量不少于130套时，求w的最大值．
24．（14分）如图，在菱形ABCD中，O为对角线BD的中点，连结OC，在线段AB，OC上分别取点P，Q，当点P从点A匀速运动到点B时，点Q恰好从点C运动到点O．记AP＝x，OQ＝y，已知y＝4﹣x，连结DP，QB，OD．
（1）求BD的长．
（2）记四边形PBQD的面积为S1，菱形ABCD的面积为S2，当四边形PBQD有一个角（∠PDQ除外）为90°时，求的值．
（3）连结AQ，PQ，若△APQ的重心落在DP上，求x的值．


2021年浙江省温州市南浦实验中学中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）在﹣2，1，0，这四个数中，最大的数的是（　　）
A．﹣2 B．1 C．0 D．
【分析】根据有理数的大小关系解决此题．
【解答】解：根据有理数的大小关系，得﹣2＜0＜＜1．
∴在﹣2，1，0，这四个数中，最大的数的是1．
故选：B．
2．（4分）从疾控中心了解到，截至2021年3月，我国各地累计报告接种新冠病毒疫苗约82000000剂次，数据82000000用科学记数法表示为（　　）
A．82×107 B．8.2×107 C．8.2×108 D．0.82×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：82000000＝8.2×107，
故选：B．
3．（4分）某物体如图所示，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据主视图的意义和画法进行判断即可．
【解答】解：从正面看，底层是一个矩形，上层是一个等腰三角形．
故选：C．
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．x2+x＝x3 B．x2+x3＝5x C．x2•x3＝x5 D．（x2）3＝x5
【分析】A，不能合并同类项；
B，不能合并同类项；
C，根据同底数幂相乘底数不变指数相加计算；
D，根据幂的乘方底数不变指数相乘计算．
【解答】解：A：不能合并同类项，∴不合题意；
B：不能合并同类项，∴不合题意；
C：同底数幂相乘底数不变指数相加，∴符合题意；
D：原式＝x6，∴不合题意；
故选：C．
5．（4分）在一次数学测试中，小强成绩82分，超过班级半数同学的成绩．分析得出这个结论所用的统计量是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【分析】根据中位数的意义求解可得．
【解答】解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，
半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，
小强成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数，
故选：A．
6．（4分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）

A．25° B．30° C．45° D．55°
【分析】易求∠ABD的度数，再利用平行线的性质可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝30°，∠1＝25°，

∴∠ABD＝∠1+∠ABC＝55°，
∵直线m∥n，
∴∠2＝∠ABD＝55°，
故选：D．
7．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：根据题意可得：，
故选：C．
8．（4分）如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，AB＝2m，木箱高BE＝1m，斜面坡角为α，则木箱端点E距地面AC的高度表示为（　　）m．

A．+2sinα B．2cosα+sinα
C．cosα+2sinα D．tanα+2sinα
【分析】过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，由锐角三角函数定义分别求出BG、EH，即可求解．
【解答】解：过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，如图所示：
则四边形BHNG是矩形，
∴HN＝BG，
在Rt△ABG中，∠BAG＝α，sin∠BAG＝，
∴BG＝AB•sin∠BAG＝2sinα（m），
∴HN＝2sinα（m），
∵∠EBM＝∠ANM＝90°，∠BME＝∠AMN，
∴∠BEM＝∠MAN＝α，
在Rt△EHB中，∠BEM＝α，BE＝1m，
∵oos∠BEM＝，
∴EH＝BE•cos∠BEM＝1×cosα＝cosα（m），
∴EN＝EH+HN＝（cosα+2sinα）m，
即木箱端点E距地面AC的高度为（cosα+2sinα）m，
故选：C．

9．（4分）在平面直角坐标系中，当a＜﹣4时，抛物线y＝a（x﹣2）2+7与直线y＝2x+1上的三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m）总有x1+x2+x3＞6，则m的值可以是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据题意在x1，x2，x3中有两个点在抛物线上，根据对称轴公式，求出这两个根的和，再x1+x2+x3＞6即可得出x3＞2，有m＝2x3+1，得出x3＝，即可得出关于m的不等式，解不等式即可．
【解答】解：∵点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m）中有两个点在抛物线上，
不妨取A、B在抛物线上，
∴＝2，
∴x1+x2＝4，
∵x1+x2+x3＞6，
∴x3＞6﹣4＝2，
又∵m＝2x3+1，
∴x3＝，
∴＞2，
∴m＞5，
∵a＜﹣4，
∴抛物线开口向下，有最大值7，
∴m＜7，
∴m的值可以是6，
故选：C．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△AEC，过点E作EF⊥DC于点F，连结AF，若AD＝DF，S△AEF＝3，S△ACF＝5，则矩形ABCD的面积为（　　）

A．18 B．19 C．20 D．21
【分析】过点E作EG垂直AD延长线于点G，然后通过已知三角形的面积得到EF和FC的比值，从而设EF和FC的长度分别为3b和5b，AD和DF的长度为a，然后利用Rt△GEA，Rt△EFC，Rt△CEA，Rt△DAC中的勾股定理得到a与b的关系，再利用△AEF的面积求出a和b的值，最后求矩形ABCD的面积．
【解答】解：过点E作EG垂直AD延长线于点G，
∵EF⊥DC，
∴S△AEF＝EF•DF＝3，S△ACF＝CF•AD＝5，
∵DF＝AD，
∴EF：CF＝3：5，
设EF＝3b，CF＝5b，AD＝DF＝a，
∵∠G＝90°，∠EFD＝90°，∠GDF＝90°，
∴四边形EFDG是矩形，
∴GE＝DF＝a，GD＝EF＝3b，
在Rt△GEA中，GE2+AG2＝AE2，
在Rt△EFC中，EF2+FC2＝EC2，
在Rt△CEA中，AE2+CE2＝AC2，
∴AC2＝GE2+AG2+EF2+FC2＝a2+（a+3b）2+（3b）2+（5b）2＝2a2+43b2+6ab，
在Rt△DAC中，AC2＝AD2+CD2＝a2+（a+5b）2＝2a2+25b2+10ab，
∴2a2+43b2+6ab＝2a2+25b2+10ab，
∴18b2＝4ab，
∵b＞0，
∴a＝b，
∴S△AEF＝EF•DF＝×3b×a＝×3b×b＝3，
∴b＝，
∴a＝×＝3，
∴S矩形ABCD＝AD•CD＝a（a+5b）＝3×（3+5×）＝19．
故选：B．

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：a2﹣4b2＝　（a+2b）（a﹣2b）　．
【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．
12．（5分）关于x的不等式组的解集是 　x＜﹣9　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x﹣2＜x，得：x＜1，
解不等式x＜﹣3，得：x＜﹣9，
则不等式组的解集为x＜﹣9，
故答案为：x＜﹣9．
13．（5分）若一个扇形的圆心角为90°，半径是6，则它的弧长为 　3π　．
【分析】根据弧长公式计算即可．
【解答】解：该扇形的弧长＝＝3π．
故答案为：3π．
14．（5分）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有编号不同），编号分别为1，3，4，从中任意摸出一个球，记下编号后不放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为奇数的概率是 　　．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：

1
3
4
1

4
5
3
4

7
4
5
7

由表可知，共有6种等可能结果，其中两次摸出的球的编号之和为奇数的有4种，
∴两次摸出的球的编号之和为奇数的概率为＝，
故答案为：．
15．（5分）如图，双曲线上有一点A（5，4.8），过点A作AB⊥x轴于点B，在OB上取点C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，将矩形ABCD向右平移，使得双曲线经过C′D′的中点E．若此时B′F＝BC，则平移的距离为 　7　．

【分析】由A的坐标利用待定系数法求得双曲线的解析式，进而根据题意得到E的坐标，代入解析式求得横坐标，设B′F＝BC＝m，则F（10+m，m），由F点在双曲线为y＝上，得出（10+m）m＝24，求得m的值，即可求得A′的横坐标，与A的横坐标比较即可求得平移的距离．
【解答】解：∵双曲线y＝上有一点A（5，4.8），
∴k＝5×4.8＝24，
∴双曲线为y＝，
∵AB＝CD＝4.8，
∴C′D′＝4.8，
∵双曲线经过C′D′的中点E．
∴E点的纵坐标为2.4，
把y＝2.4代入y＝得，2.4＝，解得x＝10，
设B′F＝BC＝m，
∴F（10+m，m），
∵F点在双曲线为y＝上，
∴（10+m）m＝24，
解得m1＝2，m2＝﹣12（舍去），
∴F（12，2），
∴A′的横坐标为12，
∴平移的距离为12﹣5＝7，
故答案为：7．
16．（5分）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为1cm．目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方案；
（1）如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是 　12　cm．
（2）如果你要装12只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为 　　cm．

【分析】（1）利用圆面积，等边三角形的面积，即可判断．
（2）设计方案如图所示，利用勾股定理求出半径即可．
【解答】解：（1）如图1中，圆的半径为3，

∴底面积为9π（cm2）．
如图2中，连接OA，OD．

∵OD＝2cm，∠OAD＝30°，∠ADO＝90°，
∴OA＝2OD＝4cm，
∴AD＝＝2（cm），
∴等边三角形的边长AC＝4（cm），
∴底面积＝×（4）2＝12（cm2）＜9π（cm2），
∴等边三角形作为底面时，面积比较小，底面积为12cm2

如图3中，设计方案如图3所示，

在Rt△OET中，ET＝1cm，OE＝2cm，
∴OT＝＝＝（cm），
∴底面半径的最小值为cm．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，共80分）
17．（10分）（1）计算：+（）0﹣（﹣3）﹣|﹣2|；
（2）化简：（x﹣2）2﹣x（x+4）．
【分析】（1）先计算二次根式、零指数幂、绝对值、去括号，再计算加减．
（2）先计算乘法，再计算减法．
【解答】解：（1）
＝3+1+3﹣2
＝5．
（2）（x﹣2）2﹣x（x+4）
＝x2+4﹣4x﹣x2﹣4x
＝﹣8x+4．
18．（8分）图△ABC的两条高AD，BE相交于点F，AC＝BC．
（1）求证：△ADC≌△BEC．
（2）若CD＝1，BE＝2，求线段AC的长．

【分析】（1）由“AAS”可证△ADC≌△BEC；
（2）由全等三角形的性质可得CD＝CE＝1，由勾股定理可求BC的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠C+∠DAC＝90°＝∠C+∠CBE，
∴∠DAC＝∠CBE，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（AAS）；
（2）解：∵△ADC≌△BEC，
∴CD＝CE＝1，
∵BC＝＝＝，
∴AC＝BC＝．
19．（8分）在推进城乡生活垃圾分类的行动中，社区从A，B两个小区各随机选择50位居民进行问卷调查，并得到他们的成绩，将成绩a＜60定为“不了解”，60＜a≤80为“比较了解”，80＜a≤100为“非常了解“，并绘制了如图的统计图：

（每一组不包含前一个边界值，包含后一个边界值）
已知A小区共有常住居民500人，B小区共有常住居民400人，
（1）请估计整个B小区达到“非常了解”的居民人数．
（2）将“比较了解”和“非常了解”的人数作为普及到位的居民，请估计整个A小区普及到位的居民人数．
（3）你认为哪个小区垃圾分类的普及工作更出色？请通过计算并用合适的数据来说明．
【分析】（1）用整个B小区总人数乘以样本中“非常了解”的人数的百分比，即可估计整个B小区达到“非常了解”的居民人数；
（2）用整个A小区总人数乘以样本中“比较了解”和“非常了解”的人数的频率，即可估计整个A小区普及到位的居民人数；
（3）计算出两个小区样本“不了解”的人数的百分比，用样本估计总体
【解答】解：（1）估计整个B小区达到“非常了解”的居民人数有：400×24%＝96（人）；
（2）整个A小区普及到位的居民人数有：500×＝250（人）；
（3）因为整个A小区“不了解”的＝50%，500×50%＝250（人）；
整个B小区“不了解”的44%，44%×400＝176（人）．
所以B小区垃圾分类的普及工作更出色．
20．（8分）如图，在5×6的网格中，每个小正方形的边长为1．从五边形ABCDE的边上选择4个格点（允许包含顶点），分别作一个面积为10的格点四边形，同时满足以下条件：
（1）在图1中，格点四边形的两条对角线互相垂直．
（2）在图2中，格点四边形为矩形，且对角线的长度为整数．

【分析】（1）构造对角线长分别为4和5且垂直的四边形即可．
（2）构造边长为，2的矩形即可．
【解答】解：（1）如图1中，四边形DGPQ即为所求．
（2）如图2中，四边形DMNT即为所求．

21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣2，5），B（1，2）．
（1）求线段AB与y轴的交点坐标；
（2）若抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，求m的取值范围．

【分析】（1）先设出AB所在的直线函数解析式，然后用待定系数法求出解析式，再令x＝0，求出y即可；
（2）先联立抛物线和直线解析式组成方程组，解方程组，得到关于x的一元二次方程，直线和抛物线有两个交点即Δ＞0，再根据方程的根﹣2≤x≤1即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）设线段AB所在的直线的函数解析式为：y＝kx+b （﹣2≤x≤1，2≤y≤5），
∵A（﹣2，5），B（1，2），
∴，
解得：，
∴AB的解析式为：y＝﹣x+3 （﹣2≤x≤1，2≤y≤5），
当x＝0时，y＝3，
∴线段AB与y轴的交点为（0，3）；
（2）∵抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，
∴联立方程，
得﹣x+3＝x2+mx+3，
整理得：x2+（m+1）x＝0，
∵抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，
∴方程x2+（m+1）x＝0有两个不同的实数解，
即Δ＝b2﹣4ac＝（m+1）2＞0，
∵（m+1）2≥0，
∴当m≠﹣1时Δ＞0，
解方程x2+（m+1）x＝0得：x1＝0，x2＝﹣1﹣m，
∵线段AB的取值范围为：﹣2≤x≤1，
∴①﹣2≤﹣1﹣m＜0时，得﹣1＜m≤1，
②0＜﹣1﹣m≤1时，得﹣2≤m＜﹣1，
综上所述m的取值范围为﹣2≤m≤1且m≠﹣1．
22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，BA＝BC，直径AD交BC于E，延长CD交切线BF于F．
（1）求证：∠BFC＝90°
（2）若tan∠BAD＝，CD＝2，求CE的长．

【分析】（1）延长BO交AC于H，连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACD＝90°，再利用线段垂直平分线的性质的逆定理证明BH垂直平分AC，利用切线的性质得到BH⊥BF，所以BF∥AC，然后根据平行线的性质得到结论；
（2）先证明∠HBC＝∠BAD得到tan∠HBC＝tan∠BAD＝，再利用三角形中位线得到OH＝1，设⊙O的半径为r，则tan∠HBC＝＝，所以CH＝（r+1），在Rt△OCH中利用勾股定理得到12+（r+1）2＝r2，解方程得BO＝，BH＝，CH＝，则可利用勾股定理可计算出BC＝，然后根据平行线分线段成比例定理计算CE的长．
【解答】（1）证明：延长BO交AC于H，连接OC，如图，
∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∵BA＝BC，OA＝OC，
∴BH垂直平分AC，
∵BF为⊙O的切线，
∴BH⊥BF，
∴BF∥AC，
∴∠ACD+∠BFC＝90°，
∴∠BFC＝90°；
（2）解：∵BH⊥AC，∠ACD＝90°，
∴BH∥CF，
∴∠BCD＝∠HBC，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠HBC＝∠BAD，
∴tan∠HBC＝tan∠BAD＝，
∵OA＝OD，AH＝CH，
∴OH＝CD＝1，
在Rt△BCH中，设⊙O的半径为r，
∵tan∠HBC＝＝，
∴CH＝（r+1），
在Rt△OCH中，12+（r+1）2＝r2，解得r1＝，r2＝﹣1（舍去），
∴BO＝，BH＝，CH＝，
在Rt△BCH中，BC＝＝＝，
∵OB∥CD，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴CE＝CB＝×＝．

23．（12分）中考临近，校门口文具店生意火爆，文具店老板小张从批发商处了解到甲、乙、丙三种文具套装的部分价格如表：
价格
甲
乙
丙
批发价（元/套）
25


零售价（元/套）
30
25
35
（1）已知小张第一次批发购进乙220套，丙100套，共花费5300元，且乙每套的批发价比丙低5元，求乙、丙每套的批发价．
（2）由于销量好，第一次购进的文具套装全部售完，小张用第一次的销售收入再批发购进甲、乙、丙三种文具套装，且购进乙、丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高a%，丙的批发价每套比原来下降2a%．
①若他第二次批发购进乙、丙两种套装分别花费3600元、2400元，求a的值．
②在a的值不变的前提下，小张把第一次的销售收入全用于第二次批发，若第二次销售完这三种所得利润为w元，当甲的数量不少于130套时，求w的最大值．
【分析】（1）设每套乙的批发价为x元，每套丙的批发价为y元，根据“小张第一次批发购进乙220套，丙100套，共花费5300元，且乙每套的批发价比丙低5元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出乙、丙每套的批发价；
（2）①利用数量＝总价÷数量，结合第二次购进乙、丙套装的数量相等，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出a的值；
②设第二次购进甲种套装m套，则购进乙、丙两种套装各（300﹣m）套，利用总利润＝每套的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，利用函数的性质可得出w随m的增大而减小，由m≥130及（300﹣m）为正整数，可求出m的最小值，进而可得出w的最大值．
【解答】解：（1）设每套乙的批发价为x元，每套丙的批发价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每套乙的批发价为15元，每套丙的批发价为20元．
（2）①依题意得：＝，
解得：a＝20，
经检验，a＝20是原方程的解，且符合题意．
答：a的值为20．
②设第二次购进甲种套装m套，则购进乙、丙两种套装各＝（300﹣m）套，
依题意得：w＝（30﹣25）m+[25﹣15×（1+20%）]（300﹣m）+[35﹣20（1﹣2×20%）]（300﹣m）＝﹣20m+9000．
∵﹣20＜0，
∴w随m的增大而减小．
又∵m≥130，且（300﹣m）为正整数，
∴m的最小值为132，
∴当m＝132时，w取得最大值，最大值＝﹣20×132+9000＝6360．
答：w的最大值为6360．
24．（14分）如图，在菱形ABCD中，O为对角线BD的中点，连结OC，在线段AB，OC上分别取点P，Q，当点P从点A匀速运动到点B时，点Q恰好从点C运动到点O．记AP＝x，OQ＝y，已知y＝4﹣x，连结DP，QB，OD．
（1）求BD的长．
（2）记四边形PBQD的面积为S1，菱形ABCD的面积为S2，当四边形PBQD有一个角（∠PDQ除外）为90°时，求的值．
（3）连结AQ，PQ，若△APQ的重心落在DP上，求x的值．

【分析】（1）由题意可知，当x＝0时，OC＝OQ＝y＝4，当y＝0时，由4﹣x＝0得CD＝AB＝AP＝x＝5，在菱形ABCD中，∠COD＝90°，由勾股定理可以求出OD的长，进而求出BD的长；
（2）分三种情况讨论，即∠BQD＝90°、∠BPD＝90°、∠PBQ＝90°，可先求出AP的长或OQ的长，再由y＝4﹣x，求出OQ的长或AP的长，再分别求出S1、S2及的值；
（3）连结AQ，则AQ与菱形的对角线AC重合，设PD交AC于点E，作PF⊥AC于点F，用含x的代数式表示AF、EF、AQ，△APQ的重心在DP上，则AE＝AQ，列方程求出x的值即可．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，且O为对角线BD的中点，
∴点O为菱形ABCD的两条对角线的交点，
∴OC⊥BD，
∴∠COD＝90°；
∵AP＝x，OQ＝y，且y＝4﹣x，点Q与点P同时运动到各自的终点O、B，
∴当x＝0时，OC＝OQ＝y＝4，当y＝0时，由4﹣x＝0得CD＝AB＝AP＝x＝5，
∴OB＝OD＝＝＝3，
∴BD＝2OD＝2×3＝6．
（2）作DH⊥AB于点H，
∵菱形的对角线AC＝2OC＝2×4＝8，BD＝6，
∴S2＝S菱形ABCD＝AC•BD＝×8×6＝24，
由AB•DH＝5DH＝S菱形ABCD得5DH＝24，
解得DH＝．
如图1，∠BQD＝90°，
∵OC垂直平分BD，
∴BQ＝DQ，∠BOQ＝∠DOQ＝90°，
∴∠OQB＝∠OQD＝45°，
∴∠ODQ＝∠OQD＝45°，
∴OQ＝OD＝3，
当y＝3时，则4﹣x＝3，
∴AP＝x＝，
∴BP＝5﹣＝，
∴S1＝S△QBD+S△PBD＝×6×3+××＝18，
∴＝＝；
如图2，∠BPD＝90°，则DP与菱形ABCD的高DH重合，
∴DP＝，
∴BP＝＝＝，
∴x＝AP＝5﹣＝，
∴OQ＝y＝4﹣x＝4﹣×＝，
∴S1＝S△QBD+S△PBD＝×6×+××＝，
∴＝＝；
如图3，∠PBQ＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDO，
∴∠QBO＝90°﹣∠ABD＝90°﹣∠CDO＝∠DCO，
∵∠BOQ＝∠COD＝90°，
∴△BOQ∽△COD，
∴＝，
∴OQ＝×3＝，
当y＝时，则4﹣x＝，
∴AP＝x＝，
∴BP＝5﹣＝，
∴S1＝S△QBD+S△PBD＝×6×+××＝，
∴＝＝，
综上所述，的值为或或．
（3）如图4，连结AQ，
∵AB＝AD，BQ＝DQ，
∴AQ垂直平分BD，
∴AQ与对角线AC重合，
设PD交AC于点E，
∵△APQ的重心在DP上，
∴PE是△APQ的中线，
∴AE＝QE＝AQ；
作PF⊥AC于点F，则∠APF＝90°，
∵∠AOB＝90°，OA＝OC＝4，OB＝3，AB＝5，
∴＝＝cos∠OAB，＝sin∠OAB，
∴AF＝x，PF＝x，
∵CQ＝4﹣（4﹣x）＝x，
∴AQ＝8﹣x，
∴AE＝（8﹣x）＝4﹣x；
∵PF∥DO，
∴△PFE∽△DOE，
∴＝＝x，
∴5FE＝x（4﹣x﹣FE），
∴FE＝，
∴x+＝4﹣x，
∴x2+15x﹣50＝0，
∴x1＝，x2＝（不符合题意，舍去），
∴x＝．