河北省石家庄市2022届高三上学期10月联考数学试题含答案

石家庄2021-2022学年度高三年级第一学期10月联考
数学试卷

（时间：120分钟   分数： 150分）

一．单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）

1．已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（    ）

A． B． C． D．

2．设为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限  B．第二象限 

C．第三象限  D．第四象限

3．已知函数，则“函数在上单调递减”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4．已知是直线与单位圆在第一象限内的交点，设，则（    ）

A． B． C． D．

5．若直线与圆相交于两点，且（为原点），则的值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数，且，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．已知抛物线的焦点为F，经过点的直线l与该曲线交于A､B两点，且点P恰好为AB的中点，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知数列满足，对任意的有，设数列满足，，则当的前项和取到最大值时的值为（    ）

A． B． C． D．

二．多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

9．设正实数满足，则（    ）

A．的最大值是  B．的最小值是

C．的最小值为 D．的最大值为

10．已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则（    ）

A．圆的方程为 B．直线的方程为

C．均与圆相切 D．四边形的面积为

11．已知椭圆，为的右焦点，为的左顶点，为直线与的两个交点，则下列叙述正确的是（    ）

A．△周长的最小值为 

B．△面积的最大值为 

C．若△的面积为，则△为直角三角形

D．若直线与的斜率之积为，则△为等腰三角形

12．已知函数，其中，若不等式有解，则下列叙述正确的是（    ）

A．  B． 

C．方程有唯一解 D．方程有唯一解

三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．已知向量满足，，且，则与的夹角为_________．

14．在平面直角坐标系中，已知点，点分别为直线和上动点，则△周长的最小值为_________．

15．已知数列的前项和为，满足，（），则数列的通项公式为_________．

16．已知双曲线（）的左右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若△的周长为，则当取得最大值时，该双曲线的离心率为_________．

四．解答题（本大题共6小题，共70分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为．

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，求数列的前2021项和．

18．（12分）△中，角的对边分别为，且．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，△的面积为，求△的周长．

19．（12分）已知正项数列的前n项和为，满足（，），且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

20．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．

（Ⅰ）求抛物线的方程及的值；

（Ⅱ）设为坐标原点，过点的直线与相交于两点，为的中点，且，求直线的方程．

21．（12分）已知函数（），．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

22．（12分）设为坐标原点，椭圆（）的右焦点为，过的直线与C交于两点，且当与轴垂直时，线段长度为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若对任意的直线，点总满足，求实数的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求面积的最大值．

数学试卷（参考答案）

一．单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）

1-4．CDAB 5-8．AABB

二．多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

9．BC 10．AC 11．ABC 12．BD

三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13． 14．   15． 16． 

四．解答题（本大题共6小题，共70分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【解析】（Ⅰ）设的公差为，由，得.

解得，，所以.....................................................（3分）

当时，，，也符合上式

所以.............................................................（6分）

（Ⅱ）

注意取偶数时，，所以..............................................（8分）

................................................................（10分）

18．【解析】（Ⅰ）由及正弦定理得，

所以，∴，

又∵，∴.........................................................（4分）

又∵，∴.........................................................（6分）

（Ⅱ）由，，根据余弦定理得，

由的面积为，得....................................................（9分）

所以，得，

所以△周长........................................................（12分）

19．【解析】（Ⅰ）当时，由，故

整理得

由于数列为正项数列，所以（常数）

所以是以为首项，1为公差的等差数列...................................（3分）

所以

所以............................................................（5分）

易见也适合该式，故................................................（6分）

（Ⅱ）由于.......................................................（7分）

所以

................................................................（12分）

20．【解析】（Ⅰ）由， 从而

故抛物线的方程为 .................................................（3分）

将代入得 ........................................................（4分）

（Ⅱ）易知，设

显然直线的斜率存在，设直线

联立，消去得

由，解得且.......................................................（5分）

从而............................................................（6分）

由，知

从而 ，即........................................................（8分）

由是的中点，

故，整理得.......................................................（9分）

代入得，解得，均满足

所以直线的方程为或................................................（12分）

21．【解析】（Ⅰ）

当时，，故在上单调递增.............................................（2分）

当时，令，得，

从而时，，递增；时，，递减

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上递增，在上递减...........................................（5分）

（Ⅱ）不等式，即

因为，所以.......................................................（6分）

令..............................................................（7分）

令，则，故在上递增，在上递减

所以，即.........................................................（9分）

令，则

设，则

由，故在上单调递减，在上单调递增

所以，即的最小值为

所以实数的取值范围为..............................................（12分）

22．【解析】（Ⅰ）由题意

当与轴垂直时，线段长度为1，故点代入椭圆方程可得

联立方程组得

所以椭圆C的方程为 ................................................（4分）

（Ⅱ）当与轴垂直时，由，此时

当与轴不垂直时，因为，所以

设点，直线的方程为

所以

又，所以.........................................................（6分）

联立直线和椭圆方程，消去得

所以，

代入上式得.......................................................（8分）

（Ⅲ）=

设直线为，联立方程组消去得

所以，，.

所以=...........................................................（10分）

由，当且仅当即时取等

从而

所以△面积的最大值为..............................................（12分）