人教版新课标A必修22.2 直线、平面平行的判定及其性质随堂练习题

2.2　直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1　直线与平面平行的判定

2.2.2　平面与平面平行的判定

基础过关练　　　　　　　 　　　　　　　　　　　

题组一　直线与平面平行的判定

1.下列选项中,一定能得出直线m与平面α平行的是(　　)

A.直线m在平面α外

B.直线m与平面α内的两条直线平行

C.平面α外的直线m与平面内的一条直线平行

D.直线m与平面α内的一条直线平行

2.如图,下列正三棱柱ABC-A1B1C1中,若M,N,P分别为其所在棱的中点,则不能得出AB∥平面MNP的是(　　)

3.已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点),则在正方体的12条棱中,与平面ABP平行的有(　　)

A.3个 B.6个 C.9个 D.12个

4.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与过A,C,E三点的平面的位置关系是　　　　. 

5.如图,在五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形,M,N分别是BF,BC的中点,求证MN∥平面ADE.

6.如图,正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直,M,N分别为AE,BC的中点.

求证:MN∥平面CDFE.

7.已知正方形ABCD,如图(1),E,F分别是AB,CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图(2)所示.求证:BF∥平面ADE.

题组二　平面与平面平行的判定

8.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,m∥β,若使α∥β成立,则需增加条件(　　)

A.n是直线且n⊂α,n∥β

B.n,m是异面直线且n∥β

C.n,m是相交直线且n⊂α,n∥β

D.n,m是平行直线且n⊂α,n∥β

9.(2019浙江高二期末)下列命题中不正确的是(　　)

A.空间中和两条相交直线都平行的两个平面平行

B.空间中和两条异面直线都平行的两个平面平行

C.空间中和两条平行直线都垂直的两个平面平行

D.空间中和两条平行直线都平行的两个平面平行

10.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的一对是(　　)

A.平面E1FG1与平面EGH1

B.平面FHG1与平面F1H1G

C.平面F1H1H与平面FHE1

D.平面E1HG1与平面EH1G

11.如图所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD.E,F,G分别为线段PC,PD,BC的中点,现将△PDC折起,使点P∉平面ABCD.

求证:平面PAB∥平面EFG.

题组三　直线与平面平行、平面与平面平行的综合问题

12.已知A,B两点是平面α外两点,则过A,B与α平行的平面有　　　　个. 

13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足　　　　时,有MN∥平面B1BDD1. 

14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E、F、G分别是BC、DC、SC的中点.求证:

(1)直线EG∥平面BDD1B1;

(2)平面EFG∥平面BDD1B1.

15.如图,S是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且=.

求证:MN∥平面SBC.

能力提升练

一、选择题

1.(★★☆)若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.α内的所有直线都与直线l异面

B.α内不存在与直线l平行的直线

C.α内存在唯一的直线与直线l平行

D.α内存在唯一的直线与直线l垂直

2.(2019山东高考模拟,★★☆)如图,在下列四个正方体中,P,R,Q,M,N,G,H为所在棱的中点,则在这四个正方体中,阴影平面与PRQ所在平面平行的是(　　)

二、填空题

3.(★★☆)已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,现给出六个命题:

①a∥c,b∥c⇒a∥b;②a∥γ,b∥γ⇒a∥b;

③c∥α,c∥β⇒α∥β;④α∥γ,β∥γ⇒α∥β;

⑤c∥α,a∥c⇒a∥α;⑥a∥γ,α∥γ⇒a∥α.

其中正确的命题是　　　　(填序号). 

4.(★★☆)如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点.在此几何体中,给出下面四个结论:

①平面EFGH∥平面ABCD;

②直线PA∥平面BDG;

③直线EF∥平面PBC;

④直线EF∥平面BDG.

其中正确的序号是　　　　. 

三、解答题

5.(2019江西南昌高一质检,★★☆)如图,四棱锥C-ABED中,四边形ABED是正方形,若G,F分别是线段EC,BD的中点.

(1)求证:GF∥平面ABC;

(2)若点P为线段CD的中点,平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系?并证明.

6.(2018山东菏泽高一期末,★★☆)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,F是AB的中点,E是PD的中点.

(1)证明:PB∥平面AEC;

(2)在PC上求一点G,使FG∥平面AEC,并证明你的结论.

7.(★★★)如图,已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?若存在,请证明你的结论,并说出点F的位置;若不存在,请说明理由.

答案全解全析

基础过关练

1.C　选项A不符合题意,因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交;选项B与D不符合题意,因为缺少条件m⊄α;选项C中,由直线与平面平行的判定定理,知直线m与平面α平行,故选项C符合题意.

2.C　选项A、B中,易知AB∥A1B1∥MN,由线面平行的判定定理可得AB∥平面MNP;在D中,易知AB∥PN,由线面平行的判定定理可得AB∥平面MNP.故选C.

3.A　因为棱AB在平面ABP内,所以只要与棱AB平行的棱都满足题意,即A1B1,D1C1,DC.

4.答案　平行

解析　如图所示,连接BD,交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点.因为E为DD1的中点,所以OE∥BD1.又因为OE⊂平面ACE,BD1⊄平面ACE,所以BD1∥平面ACE.

5.证明　∵M,N分别是BF,BC的中点,

∴MN∥CF.

又∵四边形CDEF为矩形,

∴CF∥DE.

∴MN∥DE.

又MN⊄平面ADE,DE⊂平面ADE,

∴MN∥平面ADE.

6.证明　连接FB,FC.

因为M是AE的中点,且四边形ABEF为矩形,所以M也是FB的中点.因为N是BC的中点,所以MN∥FC,因为FC⊂平面CDFE,MN⊄平面CDFE,所以MN∥平面CDFE.

7.证明　在正方形ABCD中,∵E,F分别为AB,CD的中点,

∴EB=FD.又∵EB∥FD,

∴四边形EBFD为平行四边形.

∴BF∥ED.

将△ADE沿DE折起后,仍有BF∥ED,

∵DE⊂平面ADE,而BF⊄平面ADE,

∴BF∥平面ADE.

8.C　要使α∥β成立,需要其中一个面内的两条相交直线与另一个面平行,即n,m是相交直线且n⊂α,n∥β,m⊂α,m∥β.故选C.

9.D　如下图,m∥n,且m,n与底面α、左面β都平行,但α、β相交,所以D中命题不正确.由面面平行的判定可知A、B、C中命题都正确.故选D.

10.A　如图,易证E1G1∥平面EGH1,

G1F∥平面EGH1.

因为E1G1∩G1F=G1,

所以平面E1FG1∥平面EGH1.

11.证明　∵E、F分别为线段PC,PD的中点,∴PE=EC,PF=FD,∴EF∥CD,

又由题意易知四边形ABCD是正方形,

∴CD∥AB,∴EF∥AB.

又EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,

∴EF∥平面PAB.

同理可证EG∥平面PAB.

又∵EF∩EG=E,∴平面PAB∥平面EFG.

12.答案　0或1

解析　当A,B两点在平面α异侧时,不存在这样的平面.当A,B两点在平面同侧时,若直线AB∥α,则存在一个,否则不存在.

13.答案　M∈FH

解析　连接FH,HN,NF.

易证HN∥BD,FH∥D1D,

又HN∩FH=H,BD∩D1D=D,

HN,FH⊂平面FHN,BD,DD1⊂平面BDD1B1,

∴平面FHN∥平面BDD1B1.

又∵点M在四边形EFGH及其内部运动,FH⊂平面EFGH,故当M∈FH时,MN∥平面B1BDD1.

14.证明　(1)如图,连接SB,

∵E、G分别是BC、SC的中点,∴EG∥SB.

又∵SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1,∴直线EG∥平面BDD1B1.

(2)∵E、F分别是BC、DC的中点,

∴EF∥BD.

又∵BD⊂平面BDD1B1,EF⊄平面BDD1B1,∴EF∥平面BDD1B1,

又EG⊂平面EFG,EF⊂平面EFG,EG∩EF=E,∴平面EFG∥平面BDD1B1.

15.证明　在AB上取一点P,使=,连接MP,NP,则MP∥SB.

∵SB⊂平面SBC,MP⊄平面SBC,

∴MP∥平面SBC.

又=,∴=,∴NP∥AD.

∵AD∥BC,∴NP∥BC.

又BC⊂平面SBC,NP⊄平面SBC,

∴NP∥平面SBC.

又MP∩NP=P,∴平面MNP∥平面SBC,而MN⊂平面MNP,∴MN∥平面SBC.

能力提升练

一、选择题

1.B　∵直线l不平行于平面α,且l⊄α,

∴直线l与平面α相交.∴α内不存在与直线l平行的直线.故选B.

2.A　A中,连接AC,因为PQ∥AC∥A1C1,所以可得PQ∥平面A1BC1,又RQ∥A1B,可得RQ∥平面A1BC1,从而可得平面PQR∥平面A1BC1.

B中,如图,作截面可得平面PQR∩平面A1BN=HN(H为C1D1的中点).

C中,如图,作截面可得平面PQR∩平面HGN=HN(H为C1D1的中点).

D中,如图,作截面可得QN,C1M为两相交直线,因此平面PQR与平面A1MC1不平行.

二、填空题

3.答案　①④

解析　直线平行或平面平行具有传递性,故①④正确;②中,直线a,b可能异面、平行或相交;③中,α与β可能相交或平行;⑤中,也可能a⊂α;⑥中,也可能a⊂α,故正确的命题是①④.

4.答案　①②③

解析　作出立体图形如图所示.连接E、F、G、H四点,构成平面EFGH,

因为E、F分别是PA、PD的中点,

所以EF∥AD.

又EF⊄平面ABCD,AD⊂平面ABCD,

所以EF∥平面ABCD.

同理EH∥平面ABCD.又EF∩EH=E,EF⊂平面EFGH,EH⊂平面EFGH,

所以平面EFGH∥平面ABCD.故①正确.

连接AC,BD,DG,BG,设AC的中点为M,则M也是BD的中点,所以MG∥PA,又MG⊂平面BDG,PA⊄平面BDG,所以PA∥平面BDG.所以②正确.

由①易知EF∥BC,因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以直线EF∥平面PBC.故③正确.

因为根据③可得直线EF∥平面PBC,再结合图形可得,直线EF与平面BDG不平行.因此④错误.

综上所述,正确的序号是①②③.

三、解答题

5.解析　(1)证明:连接AE,由F是线段BD的中点,得F为AE的中点,

∴GF为△AEC的中位线,∴GF∥AC.

又∵AC⊂平面ABC,GF⊄平面ABC,

∴GF∥平面ABC.

(2)平面GFP∥平面ABC.证明如下:

∵F,P分别为BD,CD的中点,

∴FP为△BCD的中位线,∴FP∥BC.

又∵BC⊂平面ABC,FP⊄平面ABC,

∴FP∥平面ABC.

又GF∥平面ABC,FP∩GF=F,FP⊂平面GFP,GF⊂平面GFP,

∴平面GFP∥平面ABC.

6.解析　(1)证明:连接BD,设BD与AC的交点为O,连接EO.

因为四边形ABCD为矩形,

所以O为BD的中点.

又E为PD的中点,所以EO∥PB.

又因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,

所以PB∥平面AEC.

(2)PC的中点即为所求的点G.证明如下:

连接GE,FG.∵E为PD的中点,

∴GE?CD.

∵F为AB的中点,且四边形ABCD为矩形,∴FA?CD.

∴FA?GE.∴四边形AFGE为平行四边形,∴FG∥AE.

又FG⊄平面AEC,AE⊂平面AEC,

∴FG∥平面AEC.

7.解析　当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.证明如下:

取PE的中点M,连接FM,则FM∥CE.

因为FM⊄平面AEC,

EC⊂平面AEC,

所以FM∥平面AEC.

由EM=PE=ED,得E为MD的中点,连接BM,BD,

设BD∩AC=O,则O为BD的中点.

连接OE,则BM∥OE.

因为BM⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,

所以BM∥平面AEC.

又因为FM⊂平面BFM,BM⊂平面BFM,FM∩BM=M,

所以平面BFM∥平面AEC,

又BF⊂平面BFM,

所以BF∥平面AEC.