2020-2021学年2.2 直线、平面平行的判定及其性质课时训练

2.2.3　直线与平面平行的性质

2.2.4　平面与平面平行的性质

基础过关练　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　

题组一　直线与平面平行的性质定理

1.如图,已知S为四边形ABCD外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH∥平面SCD,则(　　)

A.GH∥SA B.GH∥SD

C.GH∥SC D.以上均有可能

2.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,当BD∥平面EFGH时,下列结论中正确的是　　(　　)

A.E,F,G,H一定是各边的中点

B.G,H一定是CD,DA的中点

C.BE∶EA=BF∶FC,且DH∶HA=DG∶GC

D.AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC

3.如图,四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2,点E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为(　　)

A.2+ B.3+       C.3+2 D.2+2

4.如图,P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作平面,交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.

5.如图所示,已知两条异面直线AB,CD与平面MNPQ都平行,且点M,N,P,Q依次在线段AC,BC,BD,AD上.求证:四边形MNPQ是平行四边形.

题组二　平面与平面平行的性质定理

6.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是　(　　)

A.α∩β=a,b⊂α⇒a∥b

B.α∩β=a,a∥b⇒b∥α且b∥β

C.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥β

D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b

7.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线的条数是　　　　. 

8.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,平面A1DCE与B1B交于点E. 求证:EC∥A1D.

能力提升练

一、选择题

1.(★★☆)已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于A,C两点,过点P的直线n与α,β分别交于B,D两点,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.16 B.24或 C.14 D.20

2.(★★☆)如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则△A'B'C'与△ABC面积的比为(　　)

A.2∶5 B.3∶8 C.4∶9 D.4∶25

二、填空题

3.(★★☆)已知a,b表示两条不重合的直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列命题:

①若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β;

②若a,b相交且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥β;

③若a∥α,a∥β,则α∥β;

④若a⊂α,a∥β,α∩β=b,则a∥b.

其中正确命题的序号是　　　　. 

4.(★★☆)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于　　　　. 

5.(★★☆)如图,四边形ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是四边上的点,它们共面,且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,则当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB=　　　　. 

三、解答题

6.(2019江苏淮安高一检测,★★☆)如图所示,已知ABCD为梯形,AB∥CD,CD=2AB,M为线段PC上一点.

(1)设平面PAB∩平面PDC=l,证明:AB∥l;

(2)在棱PC上是否存在点M,使得PA∥平面MBD?若存在,请确定点M的位置;若不存在,请说明理由.

7.(★★★)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.

(1)求证:平面AB1D1∥平面C1BD;

(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明:A1E=EF=FC.

答案全解全析

基础过关练

1.B　因为GH∥平面SCD,GH⊂平面SBD,平面SBD∩平面SCD=SD,所以GH∥SD.显然GH与SA,SC均不平行.故选B.

2.D　由于BD∥平面EFGH,由线面平行的性质定理,得BD∥EH,BD∥FG,则AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC.故选D.

3.C　∵AB=BC=CD=AD=2,

∴四边形ABCD为菱形,∴CD∥AB.

又∵CD⊄平面SAB,AB⊂平面SAB,

∴CD∥平面SAB.

又∵CD⊂平面CDEF,平面CDEF∩平面SAB=EF,

∴CD∥EF.∴EF∥AB.

又∵E为SA的中点,∴F为SB的中点,

∴EF=AB=1.

又∵△SAD和△SBC都是等边三角形,

∴DE=CF=2×sin 60°=,

∴四边形DEFC的周长为CD+DE+EF+FC=2++1+=3+2.

4.证明　如图,连接AC,交BD于点O,连接MO.

∵四边形ABCD是平行四边形,∴点O是AC的中点.又∵点M是PC的中点,

∴OM∥AP.又∵AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,

∴AP∥平面BDM.∵平面PAHG∩平面BDM=GH,AP⊂平面PAHG,∴AP∥GH.

5.证明　∵AB∥平面MNPQ,且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN,∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ.

∴AB∥PQ,∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.

∴四边形MNPQ为平行四边形.

6.D　选项A中,α∩β=a,b⊂α,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;

选项B中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α且b∥β,也可能b在平面α或β内,故B不正确;

选项C中,a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,根据面面平行的判定定理,再加上条件a∩b=A,才能得出α∥β,故C不正确;

选项D为面面平行性质定理的符号表示,故正确.

7.答案　12

解析　如图,取各棱的中点,

易证平面EFGH∥平面DBB1D1,故平行四边形EFGH的四条边及对角线均平行于平面DBB1D1,共6条,同理在平行四边形JKMN中也有6条满足条件,故共有12条.

8.证明　易知BE∥AA1,AA1⊂平面AA1D,

BE⊄平面AA1D,

所以BE∥平面AA1D.

因为BC∥AD,AD⊂平面AA1D,BC⊄平面AA1D,

所以BC∥平面AA1D.

又BE∩BC=B,BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,所以平面BCE∥平面AA1D,

又平面A1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面AA1D=A1D.

所以EC∥A1D.

能力提升练

一、选择题

1.B　由α∥β,得AB∥CD.分两种情况:若点P在α,β的同侧,则PC=PA+AC=15,=,∴PB=,∴BD=PD-PB=.

若点P在α,β之间,则有PC=AC-PA=3,=,∴PB=16,∴BD=PB+PD=24.

综上,BD=或BD=24.

2.D　∵平面α∥平面ABC,平面PAB∩α=A'B',平面PAB∩平面ABC=AB,∴A'B'∥AB.又∵PA'∶AA'=2∶3,∴A'B'∶AB=PA'∶PA=2∶5.同理B'C'∶BC=A'C'∶AC=2∶5.∴△A'B'C'与△ABC相似.

∴S△A'B'C'∶=4∶25.

二、填空题

3.答案　②④

解析　①错误,α与β也可能相交;②正确,设a,b确定的平面为γ,依题意,得γ∥α,γ∥β,故α∥β;③错误,α与β也可能相交;④正确,由线面平行的性质定理可知.

4.答案　

解析　因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,且平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC.又因为点E是DA的中点,所以F是DC的中点.由中位线定理可得EF=AC.又因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,所以AC=2,所以EF=.

5.答案　m∶n

解析　∵AC∥平面EFGH,AC⊂平面ABC,AC⊂平面ADC,平面ABC∩平面EFGH=EF,平面ADC∩平面EFGH=GH.

∴EF∥AC,HG∥AC,又四边形EFGH是菱形,∴EF=HG=m.

同理,EH=FG=n,∴m=n,

∴AE∶EB=m∶n.

三、解答题

6.解析　(1)证明:因为AB∥CD,AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,

所以AB∥平面PCD.又因为平面PAB∩平面PDC=l,且AB⊂平面PAB,所以AB∥l.

(2)存在点M,使得PA∥平面MBD,此时=.理由如下:

连接AC交BD于点O,连接OM.

因为AB∥CD,所以△AOB∽△COD.

又CD=2AB,所以==.

又因为=,PC∩AC=C,

所以PA∥MO.又因为PA⊄平面MBD,MO⊂平面MBD,所以PA∥平面MBD.

7.解析　(1)证明:因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD?B1C1,

所以四边形AB1C1D是平行四边形,

所以AB1∥C1D.

又因为C1D⊂平面C1BD,AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.

同理,B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1=B1,AB1⊂平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD.

(2)如图,连接A1C1,交B1D1于点O1,连接AO1,与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1,所以点E也在平面AB1D1内,所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点,连接AC,交BD于点O,连接C1O,与A1C交于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.下面证明A1E=EF=FC.

因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,

平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F.在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,所以E是A1F的中点,即A1E=EF,同理可证OF∥AE,所以F是CE的中点,即CF=FE,所以A1E=EF=FC.