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数学必修 第一册5.2 三角函数的概念同步练习题
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这是一份数学必修 第一册5.2 三角函数的概念同步练习题，共26页。试卷主要包含了2 三角函数的概念，给出下列各三角函数值等内容，欢迎下载使用。
新20版练B1数学人教A版5.2三角函数的概念
第五章 三角函数
5.2 三角函数的概念
第1课时 任意角的三角函数的定义
考点1 有关任意角的三角函数的定义的问题
1.(2019·河南商丘九校高一上期末联考)若角α的终边上一点的坐标为(1,-1),则cos α等于( )。
A.1 B.-1 C.22 D.-22
答案:C
解析: ∵角α的终边上一点的坐标为(1,-1),此点与原点的距离r=12+(-1)2=2,∴cos α=xr=12=22。
2.(2019·青岛二中月考)已知角α的终边过点P(-4,3),则2sin α+tan α的值是( )。
A.-920 B.920 C.-25 D.25
答案:B
解析: ∵角α的终边经过点P(-4,3),∴r=|OP|=5。
∴sin α=35,cos α=-45,tan α=-34。∴2sin α+tan α=2×35+-34=920。故选B。
3.(2019·陕西山阳中学高一上期末考试)点A(x,y)是60°角的终边与单位圆的交点,则yx的值为( )。
A.3 B.-3 C.33 D.-33
答案:A
解析: 因为tan 60°=3,所以yx=3,故选A。
4.(2019·山西太原外国语学校高一上第三次月考)若角α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),则sin α的值为( )。
A.12 B.-12 C. -32 D.-33
答案:C
解析: 由题意得P(1,-3),它与原点的距离r=12+(-3)2=2,所以sin α=-32。
5.(2019·新疆兵团二中高三上第二次月考)已知点M13,a在函数y=log3x的图像上,且角θ的终边所在的直线过点M,则tan θ=( )。
A.-13 B.±13 C.-3 D.±3
答案:C
解析: 因为点M13,a在函数y=log3x的图像上,所以a=log313=-1,即M13,-1,所以tan θ=-113=-3,故选C。
6.(2019·甘肃天水一中期末考试)已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与射线y=3x(x≥0)重合,则cos θ= 。
答案: 1010
解析: 根据题意,在射线上取一点P(1,3),则x=1,y=3,r=12+32=10,所以cos θ=xr=1010。
考点2 三角函数值的符号问题
7.(2019·吉林四平高一上期末联考)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是( )。
A.(-2,3] B.(-2,3)
C.[-2,3) D.[-2,3]
答案:A
解析: 由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上,所以3a-9≤0,a+2>0,解得-2
其中符号为负的有( )。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案:D
解析: 因为-100°角是第三象限角,所以sin(-100°)<0;因为-220°角是第二象限角,所以cos(-220°)<0;因为-10∈-72π,-3π,所以角-10是第二象限角,所以tan(-10)<0;cos π=-1<0。所以其中符号为负的有4个,选D。
9.(2019·安徽太和中学高一下第一次教学质量检测)已知sin θcos θ<0,且|cos θ|=cos θ,则角θ是( )。
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案:D
解析: 由|cos θ|=cos θ,可知cos θ≥0,结合sin θcos θ<0,得sin θ<0,cos θ>0,所以角θ是第四象限角,故选D。
10.(2019·河北唐山一中期末考试)当角α为第二象限角时,|sinα|sinα-cosα|cosα|的值是( )。
A.1 B.0 C.2 D.-2
答案:C
解析: ∵角α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,∴|sinα|sinα-cosα|cosα|=sinαsinα-cosα-cosα=2。
11.(2019·北京朝阳区陈经纶中学高二期中)设0≤θ<2π,若sin θ<0且cos 2θ<0,则θ的取值范围是 。
答案:5π4,7π4
解析: 因为0≤θ<2π且sin θ<0,所以π<θ<2π。又因为cos 2θ<0,所以2kπ+π2<2θ<2kπ+3π2,k∈Z,所以kπ+π4<θ
(1)求角α的集合;
答案: 由sin α<0,知角α的终边在第三、四象限或在y轴的非正半轴上。
又tan α>0,所以角α的终边在第三象限,
故角α的集合为α2kπ+π<α<2kπ+3π2,k∈Z
(2)试判断sin α2·cos α2·tan α2的符号。
答案: 由2kπ+π<α<2kπ+3π2,k∈Z,
得kπ+π2<α2
所以sin α2·cos α2·tan α2的符号为正;
当k=2m+1,m∈Z时,角α2的终边在第四象限,此时sin α2<0,cos α2>0,tan α2<0,
所以sin α2·cos α2·tan α2的符号为正。
因此,sin α2·cos α2·tan α2的符号为正。
考点3 诱导公式的理解与简单应用问题
13.(2019·北京海淀科大附中高二期中)已知P(2,-3)是角θ的终边上一点,则tan(2π+θ)=( )。
A.32 B.23 C.-32 D.-23
答案:C
解析: tan(2π+θ)=tan θ=-32。
14.(2019·陕西西安一中月考)计算log2(4sin 1 110°)的结果是( )。
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案:C
解析: 因为1 110°=3×360°+30°,所以1 110°角的终边与30°角的终边相同,则sin 1 110°=sin 30°=12,所以log2(4sin 1 110°)=log24×12=log22=1。故选C。
15.(2019·太原二中单元测评)若角420°的终边上有一点(4,-a),则a的值是 。
答案: -43
解析: 由题意,得tan 420°=-a4,即tan 60°=-a4,解得a=-43。
16.(2019·北京海淀育英学校高二期中)sin 810°+tan 765°+tan 1 125°+cos 360°= 。
答案:4
解析: 原式=sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)=sin 90°+tan 45°+tan 45°+cos 0°=4。
17.(2019·江西鹰潭一中高一上月考)求下列各式的值:
(1)cos25π3+tan-15π4;
答案: 因为cos 25π3=cosπ3+8π=cos π3=12,
tan-15π4=tan-4π+π4=tan π4=1,
所以cos 25π3+tan-15π4=12+1=32。
(2)sin 420°cos 750°+sin(-690°)cos(-660°)。
答案: 因为sin 420°=sin(360°+60°)=sin 60°=32,
cos 750°=cos(2×360°+30°)=cos 30°=32,
sin(-690°)=sin(-2×360°+30°)=sin 30°=12,
cos(-660°)=cos(-2×360°+60°)=cos 60°=12,
所以sin 420°cos 750°+sin(-690°)cos(-660°)=32×32+12×12=1。
考点4 任意角的三角函数的定义的应用问题
18.(2019·山西大学附属中学高一下期中考试)如果点P(2sin θ,3cos θ)位于第四象限,那么角θ的终边所在的象限是( )。
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:B
解析: 因为点P(2sin θ,3cos θ)位于第四象限,所以2sin θ>0,3cos θ<0,可得sin θ>0,cos θ<0,所以角θ是第二象限角,故选B。
19.(2019·山东烟台一中高一上期末考试)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且sin α>0,cos α≤0,则实数a的取值范围是 。
答案: (-2,3]
解析: ∵点(3a-9,a+2)在角α的终边上,sin α>0,cos α≤0,∴a+2>0,3a-9≤0,解得-2
答案: ±153
解析:由sin α=y(-3)2+y2=24y,得y2=5,所以y=±5。
当y=5时,cos α=-3(-3)2+y2=-64,tan α=sinαcosα=-153;
当y=-5时,cos α=-3(-3)2+y2=-64,tan α=sinαcosα=153。
21.(2019·银川一中单元检测)已知1|sinα|=-1sinα,且lg cosα有意义。
(1)试判断角α是第几象限角;
答案: ∵1|sinα|=-1sinα,∴sin α<0,
∴角α是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上的角。
由lg cos α有意义,可知cos α>0,
∴角α是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角。
综上,可知角α是第四象限角。
(2)若角α的终边上有一点M35,m,且OM=1(O为坐标原点),求实数m的值及sin α的值。
答案: ∵OM=1,∴352+m2=1,解得m=±45。
又α是第四象限角,故m<0,∴m=-45。
由正弦函数的定义,可知sin α=-451=-45。
第2课时 单位圆与三角函数线
考点1 单位圆与三角函数线的理解问题
1.(2019·四川绵阳中学高一上月考)给出下列说法:①π6和5π6的正弦线长度相等;②π3和4π3的正切线相同;③π4和5π4的余弦线长度相等。
其中正确说法的个数为( )。
A.1 B.2 C.3 D.0
答案:C
解析: π6和5π6的正弦线关于y轴对称,且长度相等,故①正确;π3和4π3两角的正切线相同,故②正确;π4和5π4的余弦线长度相等,故③正确。故选C。
2.(2019·贵阳调考)若α=2π3,则α的终边与单位圆的交点P的坐标是( )。
A.12,32 B.-12,32
C.-32,12 D.12,-32
答案:B
解析: 设P(x,y),∵角α=2π3在第二象限,∴x=-12,y=1--122=32,∴P-12,32。
3.(2019·太原调考)下列四个说法中:
①α一定时,单位圆中的正弦线一定;②单位圆中,有相同正弦线的角相等;③α和α+π有相同的正切线;④具有相同正切线的两个角的终边在同一直线上。
不正确的说法的个数是 。
答案:1
解析: 根据三角函数线的知识可知①③④正确。②不正确,因为有相同正弦线的角不一定相等,可能相差2π的整数倍,故不正确的说法的个数为1。
4.(2019·西安调考)若角α的正弦线的长度为12,且方向与y轴的正方向相反,则sin α= 。
答案: -12
考点2 利用单位圆中的三角函数线比较大小问题
5.(2019·东北三校联考)若α是第一象限角,则sin α+cos α的值与1的大小关系是( )。
A.sin α+cos α>1 B.sin α+cos α=1
C.sin α+cos α<1 D.不能确定
答案:A
解析:如图,角α的终边与单位圆交于P点,过P作PM⊥x轴于M点,由三角形两边之和大于第三边可知sin α+cos α>1。故选A。
6.(2019·广西北海调考)已知sin α>sin β,那么下列说法成立的是( )。
A.若α,β是第一象限角,则cos α>cos β
B.若α,β是第二象限角,则tan α>tan β
C.若α,β是第三象限角,则cos α>cos β
D.若α,β是第四象限角,则tan α>tan β
答案:D
解析: 分别在四个象限内作出满足sin α>sin β的两个角α,β,再作出要比较的余弦线或正切线。通过图形易得选D。
7.(2019·山东临沂模拟二校联考)如果π4<α<π2,那么下列不等式成立的是( )。
A.sin α
解析: 如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT,很容易地观察出OM
8.(2019·广东广州第二中学高一上期末)sin 2π5,cos 6π5,tan 2π5从小到大的排列顺序是 。
答案: cos 6π5
考点3 利用单位圆中三角函数线解三角不等式
9.(2019·武汉模块统考)使sin x≤cos x成立的x的一个取值区间是( )。
A.-3π4,π4 B.-π2,π2
C.-π4,3π4 D.[0,π]
答案:A
解析: 如图,画出三角函数线sin x=MP,cos x=OM,由于sin-3π4=cos-3π4,sin π4=cos π4,为使sin x≤cos x成立,则由图可得-3π4≤x≤π4。
10.(2019·南京模拟)函数y=sinx+cosx-12的定义域是 。
答案:x2kπ≤x≤2kπ+π3,k∈Z
解析: 由题意得sinx≥0,cosx≥12,
利用单位圆中的三角函数线得2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z,2kπ-π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z,
解得x2kπ≤x≤2kπ+π3,k∈Z。
11.(2019·南昌一中测试)完成下列题目。
(1)在0到2π内,求使sin α>12的角α的取值范围;
答案: 解:如图所示,作直线y=12与以原点为圆心的单位圆交于P1,P2。
在0到2π内,OP1,OP2分别是角π6,5π6的终边,当角α的终边OP由OP1逆时针旋转至OP2时,恒有sin α>12;当OP由OP2逆时针旋转到OP1时,恒有sin α<12,∴在0到2π范围内使sin α>12的角α的取值范围是α∈π6,5π6。
(2)在任意角范围内,求使sin α>12的角α的取值范围。
答案: 把(1)中情形推广到任意角范围,可得使sin α>12的角α的取值范围是2kπ+π6,2kπ+5π6(k∈Z)。
12.(2019·西安一中测试)求下列函数的定义域:
(1)y=2cosx-1;
答案: 由题意,可得2cos x-1≥0,
∴cos x≥12,如图(1)所示:
x在阴影处活动,才能满足题意,
∴x∈-π3+2kπ,π3+2kπ(k∈Z)。
∴该函数的定义域为-π3+2kπ,π3+2kπ(k∈Z)。
(2)y=lg(3-4sin2x)。
答案: 由题意,可得3-4sin2x>0,∴sin2x<34。
∴-32
∴该函数的定义域为kπ-π3,kπ+π3(k∈Z)。
考点4 单位圆与三角函数线的综合应用问题
13.(2019·宁波调考)设M=sin θ+cos θ,-1
解析: 当θ为第一象限角时,sin θ>0,cos θ>0,则sin θ+cos θ>1。当θ为第三象限角时,sin θ<0,cos θ<0,则sin θ+cos θ<-1。故θ为第二或四象限角。
14.(2019·东北师大附中检测)已知α∈0,π2,求证:
(1)sin α<α
S△OPA=12sin α,S扇形AOP=12α,S△OAT=12tan α,S△OPA
∴sin α+cos α>1。
∵S△OAP=12|OA|·|MP|=12y=12sin α,S△OBP=12|OB|·|NP|=12x=12cos α,S扇形OAB=14π×12=π4。又∵S△OAP+S△OBP
∴1
考点1 平方关系的理解及简单应用问题
1.(2019·江西上高第二中学高一上期末)若α为第三象限角,则cosα1-sin2α+2sinα1-cos2α的值为( )。
A.3 B.-3 C.1 D.-1
答案:B
解析: ∵α为第三象限角,∴cos α<0,sin α<0,
∴原式=-cosαcosα-2sinαsinα=-3。
2.(2019·安徽滁州高一上期末)已知sin α=55,则sin4 α-cos4 α的值为( )。
A.-35 B.-15
C.15 D.35
答案:A
解析: sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=2×552-1=-35。
3.(2019·青岛二中高一月考)若sin θ=m-3m+5,cos θ=4-2mm+5,则m的值为( )。
A.0 B.8
C.0或8 D.3
答案:C
解析: ∵sin2θ+cos2θ=1,∴m-3m+52+4-2mm+52=1,整理得m2-8m=0,∴m=0或m=8。
4.(2019·厦门调考)若1+sin θsin2θ+cos θcos2θ=0成立,则角θ不可能是( )。
A.第二、三、四象限角 B.第一、二、三象限角
C.第一、二、四象限角 D.第一、三、四象限角
答案:C
解析: 由于1+sin θsin2θ+cos θcos2θ=0,且1-sin2θ-cos2θ=0,所以sin θ≤0,cos θ≤0,故选C。
5.(2019·山西大同高一调考)使1-cosα1+cosα=cosα-1sinα成立的角α的范围是 。
答案: {α|2kπ-π<α<2kπ,k∈Z}
解析: 由题意知1-cosα1+cosα=(1-cosα)2sin2α=1-cosα|sinα|=cosα-1sinα,∴sin α<0,故2kπ-π<α<2kπ,k∈Z。
6.(2019·南京模拟)化简:2cos2α-11-2sin2α= 。
答案:1
解析: 原式=cos2α+cos2α-11-sin2α-sin2α=cos2α-sin2αcos2α-sin2α=1。
考点2 函数关系的理解及简单应用问题
7.(2019·武汉模块统考)化简cosθ1+cosθ-cosθ1-cosθ可得( )。
A.-2tan2θ B.2tan2θ
C.-2tanθ D.2tanθ
答案:A
解析: 原式=cosθ-cos2θ-cosθ-cos2θ(1+cosθ)(1-cosθ)=-2cos2θ1-cos2θ=-2cos2θsin2θ=-2tan2θ。
8.(2019·南昌调考)tanx+1tanxsin2x等于( )。
A.tan x B.sin x C.cos x D.1tanx
答案:A
解析:tanx+1tanxsin2x=sinxcosx+cosxsinx·sin2x=1sinxcosx·sin2x=sinxcosx=tan x。
9.(2019·合肥调研)如果tan θ=2,那么1+sin θcos θ的值是( )。
A.73 B.75 C.54 D.53
答案:B
解析: 1+sin θcos θ=sin2θ+cos2θ+sinθcosθsin2θ+cos2θ=tan2θ+1+tanθtan2θ+1=22+1+222+1=75。
10.(2019·河南周口高一上期末抽测调研)已知tan α=-12,则1+2sinαcosαsin2α-cos2α= 。
答案: -13
解析: 1+2sinαcosαsin2α-cos2α=(sinα+cosα)2sin2α-cos2α=sinα+cosαsinα-cosα=tanα+1tanα-1=-12+1-12-1=12-32=-13。
11.(2019·深圳中学高一月考)已知f(tan x)=1cos2x,则f(-3)= 。
答案:4
解析: f(tan x)=1cos2x=sin2x+cos2xcos2x=tan2x+1,∴f(x)=x2+1。∴f(-3)=4。
考点3 利用同角三角函数的基本关系化简问题
12.(2019·湖北恩施高一上月考)若α为第二象限角,化简tan α·1sin2α-1=( )。
A.1 B.2 C.-1 D.12
答案:C
解析: tan α·1sin2α-1=tan α·1-sin2αsin2α=sinαcosα·|cosα||sinα|。因为α为第二象限的角,所以cos α<0,sin α>0,
所以原式=sinαcosα·-cosαsinα=-1。
13.(2019·衡水中学高一月考)若β∈[0,2π),且1-cos2β+1-sin2β=sin β-cos β,则β的取值范围是( )。
A.0,π2 B.π2,π
C.π,3π2 D.3π2,2π
答案:B
解析: ∵1-cos2β+1-sin2β=|sin β|+|cos β|=sin β-cos β,∴sin β≥0且cos β≤0。又∵β∈[0,2π),∴β∈π2,π。故选B。
14.(2019·北京四中单元检测)化简:1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α= 。
答案:23
解析: 原式=(1-cos4α)-sin4α(1-cos6α)-sin6α=(1-cos2α)(1+cos2α)-sin4α(1-cos2α)(1+cos2α+cos4α)-sin6α=sin2α(1+cos2α)-sin4αsin2α(1+cos2α+cos4α)-sin6α
=1+cos2α-sin2α1+cos2α+cos4α-sin4α=2cos2α1+cos2α+(cos2α+sin2α)(cos2α-sin2α)=2cos2α1+cos2α+cos2α-sin2α=2cos2α3cos2α=23。
15.(2019·广州调考)化简:sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β= 。
答案:1
解析: 原式=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β=sin2αcos2β+cos2αcos2β+sin2β=cos2β+sin2β=1。
16.(2019·杭州二中测试)若π2<α<π,化简cosα1-cos2α+sinα1-sin2α1-cos2α。
答案:解:因为π2<α<π,所以cos α=-1-sin2α,sin α=1-cos2α,所以原式=cosαsinα+sinα(-cosα)1-cos2α=cosαsinα-sinαcosαsin2α=cosαsinα-cosαsinα=0。
17.(2019·东北师大附中测试)已知tan θ=1-aa(0
∵sin2θ+cos2θ=1,∴a=cos2θ。
∴sin2θa+cosθ+sin2θa-cosθ=2asin2θa2-cos2θ=2cos2θsin2θcos4θ-cos2θ=2cos2θ(1-cos2θ)cos4θ-cos2θ=-2。
考点4 利用同角三角函数的基本关系求值问题
18.(2019·西南大学附中单元检测)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( )。
A.-1213 B.-513 C.513 D.1213
答案:A
解析: 因为α是第二象限角,所以cos α<0,故cos α=-1-sin2α=-1-5132=-1213。
19.(2019·山西大学附属中学高一上月考)已知tan α=3,求下列各式的值:
(1)4sinα-cosα3sinα+5cosα;
答案: ∵tan α=3,∴cos α≠0。
原式的分子、分母同除以cos α,得
原式=4tanα-13tanα+5=4×3-13×3+5=1114。
(2)sin2α-2sinαcosα-cos2α4cos2α-3sin2α;
答案: 原式的分子、分母同除以cos2α,得
原式=tan2α-2tanα-14-3tan2α=9-2×3-14-3×32=-223。
(3)34sin2α+12cos2α。
答案: 原式=34sin2α+12cos2αsin2α+cos2α=34tan2α+12tan2α+1=34×9+129+1=2940。
20.(2019·广东阳江一中单元测评)已知2cos2 α+3cos αsin α-3sin2α=1,α∈-3π2,-π。求:
(1)tan α;
答案: 2cos2α+3cos αsin α-3sin2α=
2cos2α+3cosαsinα-3sin2αsin2α+cos2α=2+3tanα-3tan2αtan2α+1=1,
即4tan2α-3tan α-1=0,解得tan α=-14或tan α=1。
∵α∈-3π2,-π,∴α为第二象限角,
∴tan α<0,∴tan α=-14。
(2)2sinα-3cosα4sinα-9cosα。
答案: 原式=2tanα-34tanα-9=720。
第4课时 同角三角函数的基本关系(2)
考点1 公式(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α的应用问题
1.(2019·北大附中月考)已知cos α-sin α=-12,则sin αcos α的值为( )。
A.38 B.±38 C.34 D.±34
答案:A
解析: 由已知得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=14,解得sin αcos α=38,故选A。
2.(2019·四川成都树德中学期末考试)已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=59,则sin θcos θ的值为( )。
A.23 B.-23 C.13 D.-13
答案:A
解析: 由sin4θ+cos4θ=59,得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=59,∴sin2θcos2θ=29。∵θ是第三象限角,∴sin θ<0,cos θ<0,∴sin θcos θ=23。
3.(2019·山西孝义高一上期末)若sin α+cos α=1,则sinnα+cosnα(n∈Z)的值为 。
答案:1
解析: ∵sin α+cos α=1,∴(sin α+cos α)2=1。
又∵sin2α+cos2α=1,∴sin αcos α=0,
∴sin α=0或cos α=0。
当sin α=0时,cos α=1,此时有sinnα+cosnα=1;
当cos α=0时,sin α=1,此时也有sinnα+cosnα=1。
∴sinnα+cosnα=1。
4.(2019·太原调考)已知θ∈(0,2π),且sin θ,cos θ是方程x2-kx+k+1=0的两个实数根,则实数k= ,θ= 。
答案: -1 π或3π2
解析: 依题意有sin θ+cos θ=k,①
sin θcos θ=k+1。②
又∵(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,∴k2-2k-3=0,
解得k=3或k=-1。
∵|sin θcos θ|=|k+1|≤1,∴k=-1。
代入①②,得sinθ+cosθ=-1,sinθcosθ=0。
解得sinθ=0,cosθ=-1或sinθ=-1,cosθ=0。又∵θ∈(0,2π),∴θ=π或3π2。
5.(2019·福建福州三中高一月考)若0<α<π2,则1-2sin α2cos α2+1+2sin α2cos α2= 。
答案: 2cos α2
解析: 原式=cos α2-sin α22+cos α2+sin α22=cos α2-sin α2+cos α2+sin α2,∵α∈0,π2,∴α2∈0,π4,∴cos α2-sin α2>0,sin α2+cos α2>0,∴原式=cos α2-sin α2+cos α2+sin α2=2cos α2。
6.(2019·黄冈中学单元检测)已知关于x的方程2x2-(3+1)x+2m=0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0,π)),求:
(1)m的值;
答案: 由一元二次方程根与系数的关系可知,
sin θ+cos θ=3+12,① sin θcos θ=m。②
将①式平方,得1+2sin θcos θ=2+32,
所以sin θcos θ=34,代入②得m=34。
(2)sinθ1-1tanθ+cosθ1-tanθ的值;
答案: sinθ1-1tanθ+cosθ1-tanθ=sin2θsinθ-cosθ+cos2θcosθ-sinθ=sin2θ-cos2θsinθ-cosθ=sin θ+cos θ=3+12。
(3)方程的两根及此时θ的值。
答案: 由(1)得m=34,所以原方程化为2x2-(3+1)x+32=0,解得x1=32,x2=12。
所以sinθ=32,cosθ=12或sinθ=12,cosθ=32。
又因为θ∈(0,π),所以θ=π3或π6。
考点2 三角形内同角三角函数关系式的应用问题
7.(2019·贵州遵义第四中学高一期末)已知角A是△ABC的一个内角,若sin A+cos A=713,则tan A等于( )。
A.1213 B.712 C.-512 D.-125
答案:D
解析: 利用sin2A+cos2A=1,可得sin Acos A=-60169,
可知A为钝角。解方程组
sinAcosA=-60169,sinA+cosA=713,得sinA=1213,cosA=-513,所以tan A=-125。
8.(2019·湖南师大附中月考)若△ABC的内角A满足sin Acos A=-18,则cos A-sin A的值为( )。
A.-32 B.±32 C. -52D.±52
答案:C
解析: ∵A为三角形的一个内角,且sin Acos A=-18,∴A为钝角,∴cos A-sin A<0,∴cos A-sin A=-(cosA-sinA)2=-sin2A+cos2A-2sinAcosA=-1+14=-52。
9.(2019·济南调考)若sin A=45,且A是三角形的一个内角,则5sinA+815cosA-7= 。
答案: 6或-34
解析: ∵sin A=45>0,∴A为锐角或钝角。
当A为锐角时,cos A=1-sin2A=35,∴5sinA+815cosA-7=5×45+815×35-7=6。
当A为钝角时,cos A=-1-sin2A=-35,∴5sinA+815cosA-7=5×45+815×-35-7=-34。
综上,5sinA+815cosA-7的值为6或-34。
10.(2019·深圳中学单元测试)已知在△ABC中,sin A+cos A=15。
(1)求sin Acos A的值;
答案: ∵sin A+cos A=15,①
两边平方,得1+2sin Acos A=125,∴sin Acos A=-1225。
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形;
答案: 由sin Acos A=-1225<0,且0
(3)求tan A的值。
答案: ∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+2425=4925,
又∵sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0,∴sin A-cos A=75。②
由①②可得sin A=45,cos A=-35,
∴tan A=sinAcosA=45-35=-43。
考点3 利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式解决问题
11.(2019·江西临川一中单元检测)求证:cosα1+sinα-sinα1+cosα=2(cosα-sinα)1+sinα+cosα。
答案: 证明:方法一
左边=cosα(1+cosα)-sinα(1+sinα)(1+sinα)(1+cosα)
=cos2α-sin2α+cosα-sinα1+sinα+cosα+sinαcosα
=(cosα-sinα)(cosα+sinα+1)12(cosα+sinα)2+sinα+cosα+12
=2(cosα-sinα)(cosα+sinα+1)(sinα+cosα+1)2
=2(cosα-sinα)1+sinα+cosα
=右边,
∴原式成立。
方法二 ∵cosα1+sinα=1-sinαcosα=cosα+1-sinα1+sinα+cosα,
sinα1+cosα=1-cosαsinα=sinα+1-cosα1+cosα+sinα,
∴cosα1+sinα-sinα1+cosα=2(cosα-sinα)1+cosα+sinα,
∴原式成立。
12.(2019·湖北仙桃中学同步练习)求证:
(1)1-cos2αsinα-cosα-sinα+cosαtan2α-1=sin α+cos α;
答案: 左边=sin2αsinα-cosα-sinα+cosαsin2αcos2α-1=sin2αsinα-cosα-sinα+cosαsin2α-cos2αcos2α=sin2αsinα-cosα-cos2α(sinα+cosα)sin2α-cos2α=sin2αsinα-cosα-cos2αsinα-cosα=sin2α-cos2αsinα-cosα=sin α+cos α=右边,∴原式成立。
(2)(2-cos2α)(2+tan2α)=(1+2tan2α)(2-sin2α)。
答案: ∵左边=4+2tan2α-2cos2α-sin2α=2+2tan2α+sin2α,
右边=(1+2tan2α)(1+cos2α)=1+2tan2α+cos2α+2sin2α=2+2tan2α+sin2α,∴左边=右边,∴原式成立。
考点4 同角三角函数的基本关系的综合问题
13.(2019·湖南长沙一中模拟考试)已知A为锐角,lg(1+sin A)=m,lg11-sinA=n,则lg(cos A)的值为( )。
A.m+1n B.12(m-n)
C.12m+1n D. 12m-1n
答案:B
解析: lg(1+sin A)=m,lg(1-sin A)=-n,所以lg(1-sin2A)=m-n,所以lg(cos2A)=m-n,所以lg(cos A)=12(m-n)。
14.(2019·吉林长春十一高中月考)化简:tan2x+1tanxsin2x= 。
答案: tan x
解析: 原式=tanx+1tanxsin2x=sinxcosx+cosxsinxsin2x=1sinxcosx·sin2x=sinxcosx=tan x。
15.(2019·东北三校联考)若tan α=3,则sin α+2cos α的值为 。
答案: 102或-102
解析: (sin α+2cos α)2=sin2α+4sin αcos α+4cos2α
=sin2α+4sinαcosα+4cos2αsin2α+cos2α
=tan2α+4tanα+4tan2α+1
=32+4×3+432+1=52,
又tan α=3>0,则sin α,cos α同号,
故sin α+2cos α=102或-102。
16.(2019·江西高安中学高一上期末考试)已知关于x的方程2x2-bx+14=0的两根为sin θ和cos θ,θ∈π4,3π4。
(1)求实数b的值;
答案: ∵sin θ,cos θ为关于x的方程2x2-bx+14=0的两根,
∴Δ=b2-2≥0,①sinθ+cosθ=b2,②sinθ·cosθ=18,③
由②③,得b24=1+14,解得b=±5,此时Δ=5-2>0,
又θ∈π4,3π4,∴由三角函数线知sin θ+cos θ>0,
∴b=5。
(2)求sinθ+cosθ+11-cosθ+sinθ的值。
答案:由(1),得sin θ+cos θ=52。又θ∈π4,3π4,
所以sin θ>cos θ,
∴sin θ-cos θ=(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=32,∴sinθ+cosθ+11-cosθ+sinθ=52+11+32=2+52+3=4+25-23-15。
新20版练B1数学人教A版5.2三角函数的概念
第五章 三角函数
5.2 三角函数的概念
第1课时 任意角的三角函数的定义
考点1 有关任意角的三角函数的定义的问题
1.(2019·河南商丘九校高一上期末联考)若角α的终边上一点的坐标为(1,-1),则cos α等于( )。
A.1 B.-1 C.22 D.-22
答案:C
解析: ∵角α的终边上一点的坐标为(1,-1),此点与原点的距离r=12+(-1)2=2,∴cos α=xr=12=22。
2.(2019·青岛二中月考)已知角α的终边过点P(-4,3),则2sin α+tan α的值是( )。
A.-920 B.920 C.-25 D.25
答案:B
解析: ∵角α的终边经过点P(-4,3),∴r=|OP|=5。
∴sin α=35,cos α=-45,tan α=-34。∴2sin α+tan α=2×35+-34=920。故选B。
3.(2019·陕西山阳中学高一上期末考试)点A(x,y)是60°角的终边与单位圆的交点,则yx的值为( )。
A.3 B.-3 C.33 D.-33
答案:A
解析: 因为tan 60°=3,所以yx=3,故选A。
4.(2019·山西太原外国语学校高一上第三次月考)若角α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),则sin α的值为( )。
A.12 B.-12 C. -32 D.-33
答案:C
解析: 由题意得P(1,-3),它与原点的距离r=12+(-3)2=2,所以sin α=-32。
5.(2019·新疆兵团二中高三上第二次月考)已知点M13,a在函数y=log3x的图像上,且角θ的终边所在的直线过点M,则tan θ=( )。
A.-13 B.±13 C.-3 D.±3
答案:C
解析: 因为点M13,a在函数y=log3x的图像上,所以a=log313=-1,即M13,-1,所以tan θ=-113=-3,故选C。
6.(2019·甘肃天水一中期末考试)已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与射线y=3x(x≥0)重合,则cos θ= 。
答案: 1010
解析: 根据题意,在射线上取一点P(1,3),则x=1,y=3,r=12+32=10,所以cos θ=xr=1010。
考点2 三角函数值的符号问题
7.(2019·吉林四平高一上期末联考)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是( )。
A.(-2,3] B.(-2,3)
C.[-2,3) D.[-2,3]
答案:A
解析: 由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上,所以3a-9≤0,a+2>0,解得-2
其中符号为负的有( )。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案:D
解析: 因为-100°角是第三象限角,所以sin(-100°)<0;因为-220°角是第二象限角,所以cos(-220°)<0;因为-10∈-72π,-3π,所以角-10是第二象限角,所以tan(-10)<0;cos π=-1<0。所以其中符号为负的有4个,选D。
9.(2019·安徽太和中学高一下第一次教学质量检测)已知sin θcos θ<0,且|cos θ|=cos θ,则角θ是( )。
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案:D
解析: 由|cos θ|=cos θ,可知cos θ≥0,结合sin θcos θ<0,得sin θ<0,cos θ>0,所以角θ是第四象限角,故选D。
10.(2019·河北唐山一中期末考试)当角α为第二象限角时,|sinα|sinα-cosα|cosα|的值是( )。
A.1 B.0 C.2 D.-2
答案:C
解析: ∵角α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,∴|sinα|sinα-cosα|cosα|=sinαsinα-cosα-cosα=2。
11.(2019·北京朝阳区陈经纶中学高二期中)设0≤θ<2π,若sin θ<0且cos 2θ<0,则θ的取值范围是 。
答案:5π4,7π4
解析: 因为0≤θ<2π且sin θ<0,所以π<θ<2π。又因为cos 2θ<0,所以2kπ+π2<2θ<2kπ+3π2,k∈Z,所以kπ+π4<θ
(1)求角α的集合;
答案: 由sin α<0,知角α的终边在第三、四象限或在y轴的非正半轴上。
又tan α>0,所以角α的终边在第三象限,
故角α的集合为α2kπ+π<α<2kπ+3π2,k∈Z
(2)试判断sin α2·cos α2·tan α2的符号。
答案: 由2kπ+π<α<2kπ+3π2,k∈Z,
得kπ+π2<α2
所以sin α2·cos α2·tan α2的符号为正;
当k=2m+1,m∈Z时,角α2的终边在第四象限,此时sin α2<0,cos α2>0,tan α2<0,
所以sin α2·cos α2·tan α2的符号为正。
因此,sin α2·cos α2·tan α2的符号为正。
考点3 诱导公式的理解与简单应用问题
13.(2019·北京海淀科大附中高二期中)已知P(2,-3)是角θ的终边上一点,则tan(2π+θ)=( )。
A.32 B.23 C.-32 D.-23
答案:C
解析: tan(2π+θ)=tan θ=-32。
14.(2019·陕西西安一中月考)计算log2(4sin 1 110°)的结果是( )。
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案:C
解析: 因为1 110°=3×360°+30°,所以1 110°角的终边与30°角的终边相同,则sin 1 110°=sin 30°=12,所以log2(4sin 1 110°)=log24×12=log22=1。故选C。
15.(2019·太原二中单元测评)若角420°的终边上有一点(4,-a),则a的值是 。
答案: -43
解析: 由题意,得tan 420°=-a4,即tan 60°=-a4,解得a=-43。
16.(2019·北京海淀育英学校高二期中)sin 810°+tan 765°+tan 1 125°+cos 360°= 。
答案:4
解析: 原式=sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)=sin 90°+tan 45°+tan 45°+cos 0°=4。
17.(2019·江西鹰潭一中高一上月考)求下列各式的值:
(1)cos25π3+tan-15π4;
答案: 因为cos 25π3=cosπ3+8π=cos π3=12,
tan-15π4=tan-4π+π4=tan π4=1,
所以cos 25π3+tan-15π4=12+1=32。
(2)sin 420°cos 750°+sin(-690°)cos(-660°)。
答案: 因为sin 420°=sin(360°+60°)=sin 60°=32,
cos 750°=cos(2×360°+30°)=cos 30°=32,
sin(-690°)=sin(-2×360°+30°)=sin 30°=12,
cos(-660°)=cos(-2×360°+60°)=cos 60°=12,
所以sin 420°cos 750°+sin(-690°)cos(-660°)=32×32+12×12=1。
考点4 任意角的三角函数的定义的应用问题
18.(2019·山西大学附属中学高一下期中考试)如果点P(2sin θ,3cos θ)位于第四象限,那么角θ的终边所在的象限是( )。
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:B
解析: 因为点P(2sin θ,3cos θ)位于第四象限,所以2sin θ>0,3cos θ<0,可得sin θ>0,cos θ<0,所以角θ是第二象限角,故选B。
19.(2019·山东烟台一中高一上期末考试)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且sin α>0,cos α≤0,则实数a的取值范围是 。
答案: (-2,3]
解析: ∵点(3a-9,a+2)在角α的终边上,sin α>0,cos α≤0,∴a+2>0,3a-9≤0,解得-2
答案: ±153
解析:由sin α=y(-3)2+y2=24y,得y2=5,所以y=±5。
当y=5时,cos α=-3(-3)2+y2=-64,tan α=sinαcosα=-153;
当y=-5时,cos α=-3(-3)2+y2=-64,tan α=sinαcosα=153。
21.(2019·银川一中单元检测)已知1|sinα|=-1sinα,且lg cosα有意义。
(1)试判断角α是第几象限角;
答案: ∵1|sinα|=-1sinα,∴sin α<0,
∴角α是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上的角。
由lg cos α有意义,可知cos α>0,
∴角α是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角。
综上,可知角α是第四象限角。
(2)若角α的终边上有一点M35,m,且OM=1(O为坐标原点),求实数m的值及sin α的值。
答案: ∵OM=1,∴352+m2=1,解得m=±45。
又α是第四象限角,故m<0,∴m=-45。
由正弦函数的定义,可知sin α=-451=-45。
第2课时 单位圆与三角函数线
考点1 单位圆与三角函数线的理解问题
1.(2019·四川绵阳中学高一上月考)给出下列说法:①π6和5π6的正弦线长度相等;②π3和4π3的正切线相同;③π4和5π4的余弦线长度相等。
其中正确说法的个数为( )。
A.1 B.2 C.3 D.0
答案:C
解析: π6和5π6的正弦线关于y轴对称,且长度相等,故①正确;π3和4π3两角的正切线相同,故②正确;π4和5π4的余弦线长度相等,故③正确。故选C。
2.(2019·贵阳调考)若α=2π3,则α的终边与单位圆的交点P的坐标是( )。
A.12,32 B.-12,32
C.-32,12 D.12,-32
答案:B
解析: 设P(x,y),∵角α=2π3在第二象限,∴x=-12,y=1--122=32,∴P-12,32。
3.(2019·太原调考)下列四个说法中:
①α一定时,单位圆中的正弦线一定;②单位圆中,有相同正弦线的角相等;③α和α+π有相同的正切线;④具有相同正切线的两个角的终边在同一直线上。
不正确的说法的个数是 。
答案:1
解析: 根据三角函数线的知识可知①③④正确。②不正确,因为有相同正弦线的角不一定相等,可能相差2π的整数倍,故不正确的说法的个数为1。
4.(2019·西安调考)若角α的正弦线的长度为12,且方向与y轴的正方向相反,则sin α= 。
答案: -12
考点2 利用单位圆中的三角函数线比较大小问题
5.(2019·东北三校联考)若α是第一象限角,则sin α+cos α的值与1的大小关系是( )。
A.sin α+cos α>1 B.sin α+cos α=1
C.sin α+cos α<1 D.不能确定
答案:A
解析:如图,角α的终边与单位圆交于P点,过P作PM⊥x轴于M点,由三角形两边之和大于第三边可知sin α+cos α>1。故选A。
6.(2019·广西北海调考)已知sin α>sin β,那么下列说法成立的是( )。
A.若α,β是第一象限角,则cos α>cos β
B.若α,β是第二象限角,则tan α>tan β
C.若α,β是第三象限角,则cos α>cos β
D.若α,β是第四象限角,则tan α>tan β
答案:D
解析: 分别在四个象限内作出满足sin α>sin β的两个角α,β,再作出要比较的余弦线或正切线。通过图形易得选D。
7.(2019·山东临沂模拟二校联考)如果π4<α<π2,那么下列不等式成立的是( )。
A.sin α
解析: 如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT,很容易地观察出OM
8.(2019·广东广州第二中学高一上期末)sin 2π5,cos 6π5,tan 2π5从小到大的排列顺序是 。
答案: cos 6π5
考点3 利用单位圆中三角函数线解三角不等式
9.(2019·武汉模块统考)使sin x≤cos x成立的x的一个取值区间是( )。
A.-3π4,π4 B.-π2,π2
C.-π4,3π4 D.[0,π]
答案:A
解析: 如图,画出三角函数线sin x=MP,cos x=OM,由于sin-3π4=cos-3π4,sin π4=cos π4,为使sin x≤cos x成立,则由图可得-3π4≤x≤π4。
10.(2019·南京模拟)函数y=sinx+cosx-12的定义域是 。
答案:x2kπ≤x≤2kπ+π3,k∈Z
解析: 由题意得sinx≥0,cosx≥12,
利用单位圆中的三角函数线得2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z,2kπ-π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z,
解得x2kπ≤x≤2kπ+π3,k∈Z。
11.(2019·南昌一中测试)完成下列题目。
(1)在0到2π内,求使sin α>12的角α的取值范围;
答案: 解:如图所示,作直线y=12与以原点为圆心的单位圆交于P1,P2。
在0到2π内,OP1,OP2分别是角π6,5π6的终边,当角α的终边OP由OP1逆时针旋转至OP2时,恒有sin α>12;当OP由OP2逆时针旋转到OP1时,恒有sin α<12,∴在0到2π范围内使sin α>12的角α的取值范围是α∈π6,5π6。
(2)在任意角范围内,求使sin α>12的角α的取值范围。
答案: 把(1)中情形推广到任意角范围,可得使sin α>12的角α的取值范围是2kπ+π6,2kπ+5π6(k∈Z)。
12.(2019·西安一中测试)求下列函数的定义域:
(1)y=2cosx-1;
答案: 由题意,可得2cos x-1≥0,
∴cos x≥12,如图(1)所示:
x在阴影处活动,才能满足题意,
∴x∈-π3+2kπ,π3+2kπ(k∈Z)。
∴该函数的定义域为-π3+2kπ,π3+2kπ(k∈Z)。
(2)y=lg(3-4sin2x)。
答案: 由题意,可得3-4sin2x>0,∴sin2x<34。
∴-32
∴该函数的定义域为kπ-π3,kπ+π3(k∈Z)。
考点4 单位圆与三角函数线的综合应用问题
13.(2019·宁波调考)设M=sin θ+cos θ,-1
解析: 当θ为第一象限角时,sin θ>0,cos θ>0,则sin θ+cos θ>1。当θ为第三象限角时,sin θ<0,cos θ<0,则sin θ+cos θ<-1。故θ为第二或四象限角。
14.(2019·东北师大附中检测)已知α∈0,π2,求证:
(1)sin α<α
S△OPA=12sin α,S扇形AOP=12α,S△OAT=12tan α,S△OPA
∴sin α+cos α>1。
∵S△OAP=12|OA|·|MP|=12y=12sin α,S△OBP=12|OB|·|NP|=12x=12cos α,S扇形OAB=14π×12=π4。又∵S△OAP+S△OBP
∴1
考点1 平方关系的理解及简单应用问题
1.(2019·江西上高第二中学高一上期末)若α为第三象限角,则cosα1-sin2α+2sinα1-cos2α的值为( )。
A.3 B.-3 C.1 D.-1
答案:B
解析: ∵α为第三象限角,∴cos α<0,sin α<0,
∴原式=-cosαcosα-2sinαsinα=-3。
2.(2019·安徽滁州高一上期末)已知sin α=55,则sin4 α-cos4 α的值为( )。
A.-35 B.-15
C.15 D.35
答案:A
解析: sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=2×552-1=-35。
3.(2019·青岛二中高一月考)若sin θ=m-3m+5,cos θ=4-2mm+5,则m的值为( )。
A.0 B.8
C.0或8 D.3
答案:C
解析: ∵sin2θ+cos2θ=1,∴m-3m+52+4-2mm+52=1,整理得m2-8m=0,∴m=0或m=8。
4.(2019·厦门调考)若1+sin θsin2θ+cos θcos2θ=0成立,则角θ不可能是( )。
A.第二、三、四象限角 B.第一、二、三象限角
C.第一、二、四象限角 D.第一、三、四象限角
答案:C
解析: 由于1+sin θsin2θ+cos θcos2θ=0,且1-sin2θ-cos2θ=0,所以sin θ≤0,cos θ≤0,故选C。
5.(2019·山西大同高一调考)使1-cosα1+cosα=cosα-1sinα成立的角α的范围是 。
答案: {α|2kπ-π<α<2kπ,k∈Z}
解析: 由题意知1-cosα1+cosα=(1-cosα)2sin2α=1-cosα|sinα|=cosα-1sinα,∴sin α<0,故2kπ-π<α<2kπ,k∈Z。
6.(2019·南京模拟)化简:2cos2α-11-2sin2α= 。
答案:1
解析: 原式=cos2α+cos2α-11-sin2α-sin2α=cos2α-sin2αcos2α-sin2α=1。
考点2 函数关系的理解及简单应用问题
7.(2019·武汉模块统考)化简cosθ1+cosθ-cosθ1-cosθ可得( )。
A.-2tan2θ B.2tan2θ
C.-2tanθ D.2tanθ
答案:A
解析: 原式=cosθ-cos2θ-cosθ-cos2θ(1+cosθ)(1-cosθ)=-2cos2θ1-cos2θ=-2cos2θsin2θ=-2tan2θ。
8.(2019·南昌调考)tanx+1tanxsin2x等于( )。
A.tan x B.sin x C.cos x D.1tanx
答案:A
解析:tanx+1tanxsin2x=sinxcosx+cosxsinx·sin2x=1sinxcosx·sin2x=sinxcosx=tan x。
9.(2019·合肥调研)如果tan θ=2,那么1+sin θcos θ的值是( )。
A.73 B.75 C.54 D.53
答案:B
解析: 1+sin θcos θ=sin2θ+cos2θ+sinθcosθsin2θ+cos2θ=tan2θ+1+tanθtan2θ+1=22+1+222+1=75。
10.(2019·河南周口高一上期末抽测调研)已知tan α=-12,则1+2sinαcosαsin2α-cos2α= 。
答案: -13
解析: 1+2sinαcosαsin2α-cos2α=(sinα+cosα)2sin2α-cos2α=sinα+cosαsinα-cosα=tanα+1tanα-1=-12+1-12-1=12-32=-13。
11.(2019·深圳中学高一月考)已知f(tan x)=1cos2x,则f(-3)= 。
答案:4
解析: f(tan x)=1cos2x=sin2x+cos2xcos2x=tan2x+1,∴f(x)=x2+1。∴f(-3)=4。
考点3 利用同角三角函数的基本关系化简问题
12.(2019·湖北恩施高一上月考)若α为第二象限角,化简tan α·1sin2α-1=( )。
A.1 B.2 C.-1 D.12
答案:C
解析: tan α·1sin2α-1=tan α·1-sin2αsin2α=sinαcosα·|cosα||sinα|。因为α为第二象限的角,所以cos α<0,sin α>0,
所以原式=sinαcosα·-cosαsinα=-1。
13.(2019·衡水中学高一月考)若β∈[0,2π),且1-cos2β+1-sin2β=sin β-cos β,则β的取值范围是( )。
A.0,π2 B.π2,π
C.π,3π2 D.3π2,2π
答案:B
解析: ∵1-cos2β+1-sin2β=|sin β|+|cos β|=sin β-cos β,∴sin β≥0且cos β≤0。又∵β∈[0,2π),∴β∈π2,π。故选B。
14.(2019·北京四中单元检测)化简:1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α= 。
答案:23
解析: 原式=(1-cos4α)-sin4α(1-cos6α)-sin6α=(1-cos2α)(1+cos2α)-sin4α(1-cos2α)(1+cos2α+cos4α)-sin6α=sin2α(1+cos2α)-sin4αsin2α(1+cos2α+cos4α)-sin6α
=1+cos2α-sin2α1+cos2α+cos4α-sin4α=2cos2α1+cos2α+(cos2α+sin2α)(cos2α-sin2α)=2cos2α1+cos2α+cos2α-sin2α=2cos2α3cos2α=23。
15.(2019·广州调考)化简:sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β= 。
答案:1
解析: 原式=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β=sin2αcos2β+cos2αcos2β+sin2β=cos2β+sin2β=1。
16.(2019·杭州二中测试)若π2<α<π,化简cosα1-cos2α+sinα1-sin2α1-cos2α。
答案:解:因为π2<α<π,所以cos α=-1-sin2α,sin α=1-cos2α,所以原式=cosαsinα+sinα(-cosα)1-cos2α=cosαsinα-sinαcosαsin2α=cosαsinα-cosαsinα=0。
17.(2019·东北师大附中测试)已知tan θ=1-aa(0
∵sin2θ+cos2θ=1,∴a=cos2θ。
∴sin2θa+cosθ+sin2θa-cosθ=2asin2θa2-cos2θ=2cos2θsin2θcos4θ-cos2θ=2cos2θ(1-cos2θ)cos4θ-cos2θ=-2。
考点4 利用同角三角函数的基本关系求值问题
18.(2019·西南大学附中单元检测)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( )。
A.-1213 B.-513 C.513 D.1213
答案:A
解析: 因为α是第二象限角,所以cos α<0,故cos α=-1-sin2α=-1-5132=-1213。
19.(2019·山西大学附属中学高一上月考)已知tan α=3,求下列各式的值:
(1)4sinα-cosα3sinα+5cosα;
答案: ∵tan α=3,∴cos α≠0。
原式的分子、分母同除以cos α,得
原式=4tanα-13tanα+5=4×3-13×3+5=1114。
(2)sin2α-2sinαcosα-cos2α4cos2α-3sin2α;
答案: 原式的分子、分母同除以cos2α,得
原式=tan2α-2tanα-14-3tan2α=9-2×3-14-3×32=-223。
(3)34sin2α+12cos2α。
答案: 原式=34sin2α+12cos2αsin2α+cos2α=34tan2α+12tan2α+1=34×9+129+1=2940。
20.(2019·广东阳江一中单元测评)已知2cos2 α+3cos αsin α-3sin2α=1,α∈-3π2,-π。求:
(1)tan α;
答案: 2cos2α+3cos αsin α-3sin2α=
2cos2α+3cosαsinα-3sin2αsin2α+cos2α=2+3tanα-3tan2αtan2α+1=1,
即4tan2α-3tan α-1=0,解得tan α=-14或tan α=1。
∵α∈-3π2,-π,∴α为第二象限角,
∴tan α<0,∴tan α=-14。
(2)2sinα-3cosα4sinα-9cosα。
答案: 原式=2tanα-34tanα-9=720。
第4课时 同角三角函数的基本关系(2)
考点1 公式(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α的应用问题
1.(2019·北大附中月考)已知cos α-sin α=-12,则sin αcos α的值为( )。
A.38 B.±38 C.34 D.±34
答案:A
解析: 由已知得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=14,解得sin αcos α=38,故选A。
2.(2019·四川成都树德中学期末考试)已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=59,则sin θcos θ的值为( )。
A.23 B.-23 C.13 D.-13
答案:A
解析: 由sin4θ+cos4θ=59,得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=59,∴sin2θcos2θ=29。∵θ是第三象限角,∴sin θ<0,cos θ<0,∴sin θcos θ=23。
3.(2019·山西孝义高一上期末)若sin α+cos α=1,则sinnα+cosnα(n∈Z)的值为 。
答案:1
解析: ∵sin α+cos α=1,∴(sin α+cos α)2=1。
又∵sin2α+cos2α=1,∴sin αcos α=0,
∴sin α=0或cos α=0。
当sin α=0时,cos α=1,此时有sinnα+cosnα=1;
当cos α=0时,sin α=1,此时也有sinnα+cosnα=1。
∴sinnα+cosnα=1。
4.(2019·太原调考)已知θ∈(0,2π),且sin θ,cos θ是方程x2-kx+k+1=0的两个实数根,则实数k= ,θ= 。
答案: -1 π或3π2
解析: 依题意有sin θ+cos θ=k,①
sin θcos θ=k+1。②
又∵(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,∴k2-2k-3=0,
解得k=3或k=-1。
∵|sin θcos θ|=|k+1|≤1,∴k=-1。
代入①②,得sinθ+cosθ=-1,sinθcosθ=0。
解得sinθ=0,cosθ=-1或sinθ=-1,cosθ=0。又∵θ∈(0,2π),∴θ=π或3π2。
5.(2019·福建福州三中高一月考)若0<α<π2,则1-2sin α2cos α2+1+2sin α2cos α2= 。
答案: 2cos α2
解析: 原式=cos α2-sin α22+cos α2+sin α22=cos α2-sin α2+cos α2+sin α2,∵α∈0,π2,∴α2∈0,π4,∴cos α2-sin α2>0,sin α2+cos α2>0,∴原式=cos α2-sin α2+cos α2+sin α2=2cos α2。
6.(2019·黄冈中学单元检测)已知关于x的方程2x2-(3+1)x+2m=0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0,π)),求:
(1)m的值;
答案: 由一元二次方程根与系数的关系可知,
sin θ+cos θ=3+12,① sin θcos θ=m。②
将①式平方,得1+2sin θcos θ=2+32,
所以sin θcos θ=34,代入②得m=34。
(2)sinθ1-1tanθ+cosθ1-tanθ的值;
答案: sinθ1-1tanθ+cosθ1-tanθ=sin2θsinθ-cosθ+cos2θcosθ-sinθ=sin2θ-cos2θsinθ-cosθ=sin θ+cos θ=3+12。
(3)方程的两根及此时θ的值。
答案: 由(1)得m=34,所以原方程化为2x2-(3+1)x+32=0,解得x1=32,x2=12。
所以sinθ=32,cosθ=12或sinθ=12,cosθ=32。
又因为θ∈(0,π),所以θ=π3或π6。
考点2 三角形内同角三角函数关系式的应用问题
7.(2019·贵州遵义第四中学高一期末)已知角A是△ABC的一个内角,若sin A+cos A=713,则tan A等于( )。
A.1213 B.712 C.-512 D.-125
答案:D
解析: 利用sin2A+cos2A=1,可得sin Acos A=-60169,
可知A为钝角。解方程组
sinAcosA=-60169,sinA+cosA=713,得sinA=1213,cosA=-513,所以tan A=-125。
8.(2019·湖南师大附中月考)若△ABC的内角A满足sin Acos A=-18,则cos A-sin A的值为( )。
A.-32 B.±32 C. -52D.±52
答案:C
解析: ∵A为三角形的一个内角,且sin Acos A=-18,∴A为钝角,∴cos A-sin A<0,∴cos A-sin A=-(cosA-sinA)2=-sin2A+cos2A-2sinAcosA=-1+14=-52。
9.(2019·济南调考)若sin A=45,且A是三角形的一个内角,则5sinA+815cosA-7= 。
答案: 6或-34
解析: ∵sin A=45>0,∴A为锐角或钝角。
当A为锐角时,cos A=1-sin2A=35,∴5sinA+815cosA-7=5×45+815×35-7=6。
当A为钝角时,cos A=-1-sin2A=-35,∴5sinA+815cosA-7=5×45+815×-35-7=-34。
综上,5sinA+815cosA-7的值为6或-34。
10.(2019·深圳中学单元测试)已知在△ABC中,sin A+cos A=15。
(1)求sin Acos A的值;
答案: ∵sin A+cos A=15,①
两边平方,得1+2sin Acos A=125,∴sin Acos A=-1225。
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形;
答案: 由sin Acos A=-1225<0,且0
(3)求tan A的值。
答案: ∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+2425=4925,
又∵sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0,∴sin A-cos A=75。②
由①②可得sin A=45,cos A=-35,
∴tan A=sinAcosA=45-35=-43。
考点3 利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式解决问题
11.(2019·江西临川一中单元检测)求证:cosα1+sinα-sinα1+cosα=2(cosα-sinα)1+sinα+cosα。
答案: 证明:方法一
左边=cosα(1+cosα)-sinα(1+sinα)(1+sinα)(1+cosα)
=cos2α-sin2α+cosα-sinα1+sinα+cosα+sinαcosα
=(cosα-sinα)(cosα+sinα+1)12(cosα+sinα)2+sinα+cosα+12
=2(cosα-sinα)(cosα+sinα+1)(sinα+cosα+1)2
=2(cosα-sinα)1+sinα+cosα
=右边,
∴原式成立。
方法二 ∵cosα1+sinα=1-sinαcosα=cosα+1-sinα1+sinα+cosα,
sinα1+cosα=1-cosαsinα=sinα+1-cosα1+cosα+sinα,
∴cosα1+sinα-sinα1+cosα=2(cosα-sinα)1+cosα+sinα,
∴原式成立。
12.(2019·湖北仙桃中学同步练习)求证:
(1)1-cos2αsinα-cosα-sinα+cosαtan2α-1=sin α+cos α;
答案: 左边=sin2αsinα-cosα-sinα+cosαsin2αcos2α-1=sin2αsinα-cosα-sinα+cosαsin2α-cos2αcos2α=sin2αsinα-cosα-cos2α(sinα+cosα)sin2α-cos2α=sin2αsinα-cosα-cos2αsinα-cosα=sin2α-cos2αsinα-cosα=sin α+cos α=右边,∴原式成立。
(2)(2-cos2α)(2+tan2α)=(1+2tan2α)(2-sin2α)。
答案: ∵左边=4+2tan2α-2cos2α-sin2α=2+2tan2α+sin2α,
右边=(1+2tan2α)(1+cos2α)=1+2tan2α+cos2α+2sin2α=2+2tan2α+sin2α,∴左边=右边,∴原式成立。
考点4 同角三角函数的基本关系的综合问题
13.(2019·湖南长沙一中模拟考试)已知A为锐角,lg(1+sin A)=m,lg11-sinA=n,则lg(cos A)的值为( )。
A.m+1n B.12(m-n)
C.12m+1n D. 12m-1n
答案:B
解析: lg(1+sin A)=m,lg(1-sin A)=-n,所以lg(1-sin2A)=m-n,所以lg(cos2A)=m-n,所以lg(cos A)=12(m-n)。
14.(2019·吉林长春十一高中月考)化简:tan2x+1tanxsin2x= 。
答案: tan x
解析: 原式=tanx+1tanxsin2x=sinxcosx+cosxsinxsin2x=1sinxcosx·sin2x=sinxcosx=tan x。
15.(2019·东北三校联考)若tan α=3,则sin α+2cos α的值为 。
答案: 102或-102
解析: (sin α+2cos α)2=sin2α+4sin αcos α+4cos2α
=sin2α+4sinαcosα+4cos2αsin2α+cos2α
=tan2α+4tanα+4tan2α+1
=32+4×3+432+1=52,
又tan α=3>0,则sin α,cos α同号,
故sin α+2cos α=102或-102。
16.(2019·江西高安中学高一上期末考试)已知关于x的方程2x2-bx+14=0的两根为sin θ和cos θ,θ∈π4,3π4。
(1)求实数b的值;
答案: ∵sin θ,cos θ为关于x的方程2x2-bx+14=0的两根,
∴Δ=b2-2≥0,①sinθ+cosθ=b2,②sinθ·cosθ=18,③
由②③,得b24=1+14,解得b=±5,此时Δ=5-2>0,
又θ∈π4,3π4,∴由三角函数线知sin θ+cos θ>0,
∴b=5。
(2)求sinθ+cosθ+11-cosθ+sinθ的值。
答案:由(1),得sin θ+cos θ=52。又θ∈π4,3π4,
所以sin θ>cos θ,
∴sin θ-cos θ=(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=32,∴sinθ+cosθ+11-cosθ+sinθ=52+11+32=2+52+3=4+25-23-15。
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