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2021年陕西省部分学校中考数学八模试卷 word版，含解析
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这是一份2021年陕西省部分学校中考数学八模试卷 word版，含解析，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省部分学校中考数学八模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）如果温度上升1℃记作+1℃，那么温度下降5℃，应记作（ ）
A．+5℃ B．﹣5℃ C．+6℃ D．﹣6℃
2．（3分）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，AB∥CD，点F在直线CD上，若∠B＝100°，∠E＝90°，则∠EFD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4．（3分）正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣2，1），则它一定经过（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
5．（3分）据记载，“幻方”源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的矩阵．如图所示的幻方是由3×3的方格构成，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
6．（3分）直线l1：y＝x﹣2与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线l2与直线l1关于y轴对称，直线l2与x轴交于点C，△ABC的面积为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
7．（3分）如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则边BC的长是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
9．（3分）如图，点A、B、C、D均在⊙O上，AB＝AC，BD是⊙O的直径，连接CD，若∠A＝36°，则∠ACD的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．40°
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+x﹣a（a≠0）与y轴的交点在x轴的下方，下列说法中正确的是（ ）
A．该抛物线的顶点一定在第一象限
B．该抛物线的顶点一定在第二象限
C．该抛物线的顶点一定在第三象限
D．该抛物线的顶点所在象限不确定
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：a3•a3＝ ．
12．（3分）不等式2x＞3x﹣1的解集为 ．
13．（3分）抛物线y＝x2+2x的对称轴是 ．
14．（3分）已知一个正多边形的一个外角为72°，则它的内角和为 ．
15．（3分）直线y＝kx与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，若点A的纵坐标为4，则点B的坐标为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC．若点E、F分别在边AC、BD上运动，且EF平分▱ABDC的面积，当线段EF取最小时，AE的值为 ．
三、解答题（共11小题，共72分，解答应写出过程）
17．（5分）计算：×（﹣）+（﹣）﹣1﹣．
18．（5分）化简：（﹣1）÷．
19．（5分）如图，请用尺规在△ABC的边BC上找一点P，使得AP的长最小．（保留作图痕迹，不写作法）
20．（5分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
21．（7分）为增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展了疫情防控知识答题活动．为了解答题活动的得分情况（满分100分），随机抽取了部分参加答题活动的学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）图①中的m的值为 ；
（2）求该随机抽样获取的样本数据的平均数；
（3）若该校有360名学生参加了本次答题活动，估计其中获得满分的学生人数．
22．（7分）小蒋和小张拿着工具来测量学校操场一棵大树的高度．如图所示，小蒋拿着自制的直角三角形纸板DEF，不停移动，当他站在点C处用眼睛观察到此时斜边DF与点B恰在同一条直线上，且DE与水平地面平行；然后小蒋站立不动，小张在AC处放置一平面镜，移动平面镜至点G处时，小蒋刚好在平面镜内看到树顶端B的像，已知tan∠EDF＝，CD＝1.6m，CG＝0.8m，CD、AB均垂直于AC，求该树的高度AB．（平面镜的大小忽略不计）
23．（7分）甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，继续按原速前进．设汽车行驶的路程为y（千米），汽车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式；（不写x的取值范围）
（2）求汽车从甲地出发到达乙地时所用的时间．
24．（7分）相约西安，筑梦全运，为迎接十四运，学校开展了运动会志愿者选拔活动．小亮和小贾都很优秀，一同报名参加了选拔活动，但只有一个参加名额．现通过抽卡片的方式决定谁去参加，规则如下：现有两组卡片，第一组为正面分别写有字母X、Y、Z的三张卡片，第二组为正面分别写有字母X、Y、Y、Z的四张卡片，这些卡片除正面字母外其余均相同．将卡片正面朝下洗匀，随机抽一张，记下字母后放回，称为抽卡片一次．
（1）若小贾从第二组中抽卡片15次，其中9次抽出的卡片上写有字母Y，求这15次抽出的卡片上写有字母Y的频率；
（2）小亮从第一组中抽卡片一次，小贾从第二组中抽卡片一次，若两人抽出的卡片上的字母相同，则小亮去参加；否则，小贾去参加请问这种抽卡片的方式对两人是否公平？用列表或画树状图的方法说明理由．
25．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE的长为半径作圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知点H为⊙O上一点，＝2，OA＝3，⊙O的半径为，求弦HF的长．
26．（7分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝x2+4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为P．
（1）求点A、B、P的坐标；
（2）已知抛物线M与x轴的交点为C、D（点C在点D的左侧），其顶点为Q，以点A为位似中心，若△CDQ与△ABP位似，且相似比为2，求满足条件的抛物线M的表达式．
27．（10分）【问题情境】
如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，则△ABC的外接圆的半径值为 ．
【问题解决】
如图2，点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．
【问题解决】
如图3，正方形ABCD是一个边长为3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CE＝cm，点P是正方形ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120°，即∠BPE＝120°，点A、D为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距离和最小，试求QA+QD+QP的最小值．（保留根号或结果精确到1cm，参考数据≈1.7，10.52＝110.25）．
2021年陕西省部分学校中考数学八模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）如果温度上升1℃记作+1℃，那么温度下降5℃，应记作（ ）
A．+5℃ B．﹣5℃ C．+6℃ D．﹣6℃
【分析】根据用正数和负数表示具有相反意义的量的方法，即可得出答案．
【解答】解：∵温度上升1℃记作+1℃，
∴温度下降5℃记作﹣5℃，
故选：B．
2．（3分）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一个几何体有几个面，则截面最多为几边形，由于棱柱没有曲边，所以用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆．
【解答】解：用一个平面去截圆锥或圆柱，截面可能是圆，用一个平面去截球，截面是圆，但用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆．
故选：C．
3．（3分）如图，AB∥CD，点F在直线CD上，若∠B＝100°，∠E＝90°，则∠EFD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】过点E作EG∥AB，则可得∠BEG＝180°﹣∠B＝80°，EG∥CD，从而可求∠FEG的度数，再由平行线的性质可得∠EFD的度数．
【解答】解：过点E作EG∥AB，如图所示：
∠BEG＝180°﹣∠B，
∵AB∥CD，∠B＝100°，
∴∠BEG＝80°，EG∥CD，
∴∠FEG＝∠EFD，
∵∠E＝90°，
∴∠FEG＝10°，
∴∠EFD＝10°．
故选：A．
4．（3分）正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣2，1），则它一定经过（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
【分析】由正比例函数的性质可得出比例函数y＝kx的图象经过原点对称，结合正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣2，1），即可得出正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣1）．
【解答】解：∵比例函数y＝kx的图象经过原点对称，且正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣2，1），
∴正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣1）．
故选：D．
5．（3分）据记载，“幻方”源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的矩阵．如图所示的幻方是由3×3的方格构成，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【分析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等和图中的数据，可以得到方程4+（﹣3）+（﹣2）＝a+（﹣3）+1，然后求解即可．
【解答】解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，
∴4+（﹣3）+（﹣2）＝a+（﹣3）+1，
解得a＝1，
故选：D．
6．（3分）直线l1：y＝x﹣2与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线l2与直线l1关于y轴对称，直线l2与x轴交于点C，△ABC的面积为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【分析】由直线l1的解析式为y＝x﹣2即可求得A、B的坐标，然后根据中心对称求得C的坐标，根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：∵直线l1：y＝x﹣2与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴B（2，0），A（0，﹣2），
∵直线l2与直线l1关于y轴对称，
∴C（﹣2，0），
∴BC＝4，OA＝2，
∴S△ABC＝＝4，
故选：B．
7．（3分）如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用网格求出AC和AB的长，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，最后根据三角函数的意义求解即可．
【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD，
由网格可得，AC＝AB＝＝2，
∴AD⊥BC，
Rt△ABD中，
∵AD＝＝3，
∴sin∠ABC＝＝＝．
故选：D．
8．（3分）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则边BC的长是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边BC的长．
【解答】解：如图，点A的对应点为点M，点C的对应点为N，
由折叠可知：∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，
∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM＝×180°＝90°，
同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∴GH∥EF，GH＝EF，
∴∠GHN＝∠EFM，
在△GHN和△EFM中，
，
∴△GHN≌△EFM（AAS），
∴HN＝MF＝HD，
∴AD＝AH+HD＝HM+MF＝HF＝BC，
∵EH＝3，EF＝4，
∴HF＝＝＝5，
∴BC＝5，
故选：B．
9．（3分）如图，点A、B、C、D均在⊙O上，AB＝AC，BD是⊙O的直径，连接CD，若∠A＝36°，则∠ACD的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．40°
【分析】连接BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ACB，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，计算即可．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝×（180°﹣∠A）＝×（180°﹣36°）＝72°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣72°＝18°，
故选：A．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+x﹣a（a≠0）与y轴的交点在x轴的下方，下列说法中正确的是（ ）
A．该抛物线的顶点一定在第一象限
B．该抛物线的顶点一定在第二象限
C．该抛物线的顶点一定在第三象限
D．该抛物线的顶点所在象限不确定
【分析】把x＝0时，y＜0，得出关于a的不等式，得出a的取值范围后，利用二次函数的性质解答即可．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝﹣a＜0，
∴a＞0，
∴顶点为（﹣，），
∴x＜0，y＜0，
∴这条抛物线的顶点一定在第三象限，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：a3•a3＝ a6 ．
【分析】根据同底数幂乘法，底数不变指数相加，即可求出答案．
【解答】解：a3•a3＝a6．
故答案为：a6．
12．（3分）不等式2x＞3x﹣1的解集为 x＜1 ．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤，移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：2x＞3x﹣1，
移项得：2x﹣3x＞﹣1
合并得：﹣x＞﹣1，
解得：x＜1，
故答案为：x＜1．
13．（3分）抛物线y＝x2+2x的对称轴是 直线x＝﹣1 ．
【分析】先把一般式配成顶点式，根据二次函数的性质即可得到抛物线的对称轴．
【解答】解：y＝x2+2x＝（x2+2x+1）﹣1＝（x+1）2﹣1，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
故答案为直线x＝﹣1．
14．（3分）已知一个正多边形的一个外角为72°，则它的内角和为 540° ．
【分析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【解答】解：多边形的边数为：360°÷72°＝5，
正多边形的内角和的度数是：（5﹣2）•180°＝540°．
故答案为：540°．
15．（3分）直线y＝kx与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，若点A的纵坐标为4，则点B的坐标为 （﹣1，﹣4） ．
【分析】先求得A点坐标，再根据对称性可求得B点坐标；
【解答】解：令kx＝，解得x＝±1，
∵直线y＝kx与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，且A的纵坐标为4，
∴A坐标为（1，4），
又A、B关于原点对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣4），
故答案为：（﹣1，﹣4）．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC．若点E、F分别在边AC、BD上运动，且EF平分▱ABDC的面积，当线段EF取最小时，AE的值为 ．
【分析】由题意，EF经过BC的中点O，当EF⊥AC时，EF的值最小，利用相似三角形的性质求出CE，可得结论．
【解答】解：如图，
∵EF平分▱ABDC的面积，
∴EF经过BC的中点O，
当EF⊥AC时，EF的值最小，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝＝＝，
∵∠OCE＝∠ACB，∠OEC＝∠ABC＝90°，
∴△OEC∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝，
∴AE＝AC﹣EC＝﹣＝．
故答案为：．
三、解答题（共11小题，共72分，解答应写出过程）
17．（5分）计算：×（﹣）+（﹣）﹣1﹣．
【分析】直接利用二次根式的乘法以及负整数指数幂的性质、立方根的性质分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣4﹣2+3
＝﹣4+1．
18．（5分）化简：（﹣1）÷．
【分析】按异分母分式加减法法则先算括号里面，再把除法统一成乘法，求积．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝×
＝×
＝﹣（a﹣2）
＝2﹣a．
19．（5分）如图，请用尺规在△ABC的边BC上找一点P，使得AP的长最小．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】过A点作AP⊥BC于P，利用垂线段最短得到P点满足条件．
【解答】解：如图，点P为所作．
20．（5分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
【分析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF．
21．（7分）为增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展了疫情防控知识答题活动．为了解答题活动的得分情况（满分100分），随机抽取了部分参加答题活动的学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）图①中的m的值为 30 ；
（2）求该随机抽样获取的样本数据的平均数；
（3）若该校有360名学生参加了本次答题活动，估计其中获得满分的学生人数．
【分析】（1）根据得分为84分的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数，然后即可计算出m的值；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出平均数；
（3）根据扇形统计图中的数据，可以计算出获得满分的学生人数．
【解答】解：（1）本次随机抽样抽取的学生人数为：3÷10%＝30（人），
m%＝9÷30×100%＝30%，
即m的值是30，
故答案为：30；
（2）该随机抽样获取的样本数据的平均数是：＝93.2（分）；
（3）360×10%＝36（人），
答：估计其中获得满分的学生人数有36人．
22．（7分）小蒋和小张拿着工具来测量学校操场一棵大树的高度．如图所示，小蒋拿着自制的直角三角形纸板DEF，不停移动，当他站在点C处用眼睛观察到此时斜边DF与点B恰在同一条直线上，且DE与水平地面平行；然后小蒋站立不动，小张在AC处放置一平面镜，移动平面镜至点G处时，小蒋刚好在平面镜内看到树顶端B的像，已知tan∠EDF＝，CD＝1.6m，CG＝0.8m，CD、AB均垂直于AC，求该树的高度AB．（平面镜的大小忽略不计）
【分析】延长DE交AB于H，则DH＝AC，AH＝CD＝1.6米，根据反射原理可知∠DGC＝∠BGA，得tan∠DGC＝tan∠BGA＝2，设AG＝x，则AB＝2x，再由DH＝AG+CG，BH＝AB﹣AH，根据tan∠EDF＝列方程，进而求解即可．
【解答】解：如图，延长DE交AB于H，
∵DE∥AC，则CD⊥AC，AB⊥AC，
∴四边形ACDH是矩形，
∴DH＝AC，AH＝CD＝1.6米，
根据反射原理可知∠DGC＝∠BGA，
∵CD＝1.6米，CG＝0.8米，
∴tan∠DGC＝tan∠BGA＝＝＝2，
∴tan∠BGA＝＝2，
设AG＝x米，则AB＝2x米，
∴DH＝AC＝（0.8+x）米，BH＝AB﹣AH＝（2x﹣1.6）米，
∵tan∠EDF＝＝，
∴＝，
∴x＝4，
∴AB＝2×4＝8（米），
∴该树的高度8米．
23．（7分）甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，继续按原速前进．设汽车行驶的路程为y（千米），汽车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式；（不写x的取值范围）
（2）求汽车从甲地出发到达乙地时所用的时间．
【分析】（1）根据题意求出点E的横坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）根据点E的横坐标判断即可．
【解答】解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为80千米/小时；
休息后按原速继续前进行驶的时间为：（290﹣80）÷80＝（小时），
1.5+，
∴点E的坐标为（，290），
设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，则：
，
解得，
∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为：y＝80x﹣40；
（2）由（1）可得点E的坐标为（，290），
∴汽车从甲地出发到达乙地时所用的时间为小时．
24．（7分）相约西安，筑梦全运，为迎接十四运，学校开展了运动会志愿者选拔活动．小亮和小贾都很优秀，一同报名参加了选拔活动，但只有一个参加名额．现通过抽卡片的方式决定谁去参加，规则如下：现有两组卡片，第一组为正面分别写有字母X、Y、Z的三张卡片，第二组为正面分别写有字母X、Y、Y、Z的四张卡片，这些卡片除正面字母外其余均相同．将卡片正面朝下洗匀，随机抽一张，记下字母后放回，称为抽卡片一次．
（1）若小贾从第二组中抽卡片15次，其中9次抽出的卡片上写有字母Y，求这15次抽出的卡片上写有字母Y的频率；
（2）小亮从第一组中抽卡片一次，小贾从第二组中抽卡片一次，若两人抽出的卡片上的字母相同，则小亮去参加；否则，小贾去参加请问这种抽卡片的方式对两人是否公平？用列表或画树状图的方法说明理由．
【分析】（1）直接由频率的定义求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小亮和小贾两人抽出的卡片上的字母相同的结果有4种，两人抽出的卡片上的字母不相同的结果有8种，再求出两人去参加的概率，然后比较即可．
【解答】解：（1）若小贾从第二组中抽卡片15次，其中9次抽出的卡片上写有字母Y，
则这15次抽出的卡片上写有字母Y的频率为＝；
（2）这种抽卡片的方式对两人不公平，理由如下：
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小亮和小贾两人抽出的卡片上的字母相同的结果有4种，两人抽出的卡片上的字母不相同的结果有8种，
∴小亮去参加的概率＝，小贾去参加的概率为＝，
∵＜，
∴这种抽卡片的方式对两人不公平．
25．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE的长为半径作圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知点H为⊙O上一点，＝2，OA＝3，⊙O的半径为，求弦HF的长．
【分析】（1）作OK⊥AC，根据角平分线的性质证明K在圆上，即可证明AC是⊙O的切线；
（2）连接OH，通过证明△OEA≌△OKA得出∠EOF＝∠KOF，在Rt△AOE中根据已知条件求出sin∠AOE＝，再根据＝2，得到∠AOK＝∠KOH，OM⊥FH，M为FH的中点，求出FM即可．
【解答】（1）证明：作OK⊥AC，K为垂足，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OK⊥AC，
∴OE＝OK，
∴K在圆上，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OH，
由（1）知，∠OEA＝∠OKA，
在Rt△OEA和Rt△OKA中，
，
∴Rt△OEA≌Rt△OKA（HL），
∴∠EOF＝∠KOF，
∴＝，
∵，
∴K为的中点，
设OK与FH相交于点M，
则OM⊥FH，且M为FH的中点，
∵OA＝3，OE＝，
∴AE＝＝，
∴sin∠AOE＝＝，
∴FM＝OF•sin∠FOM＝×＝，
∴FH＝2FM＝2．
26．（7分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝x2+4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为P．
（1）求点A、B、P的坐标；
（2）已知抛物线M与x轴的交点为C、D（点C在点D的左侧），其顶点为Q，以点A为位似中心，若△CDQ与△ABP位似，且相似比为2，求满足条件的抛物线M的表达式．
【分析】（1）令y＝0，求出x的值，根据点A在点B的左侧，即可得出A、B两点的坐标，将抛物线解析式化成顶点式即可得出点P的坐标；
（2）根据（1）得△ABP为等腰三角形，AP＝BP，AB＝2，根据若△CDQ与△ABP位似，且相似比为2，可分两种情况进行讨论：①当＝＝＝时，根据相似比可求出C、D的坐标，根据中点公式可求出Q的坐标，利用待定系数法求出解析式即可；②当＝＝＝时，根据相似比可求出C、D的坐标，根据等腰三角形的性质可求出Q的坐标，利用待定系数法求出解析式即可．
【解答】解：（1）在y＝x2+4x+3中，令y＝0，得x2+4x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1，
∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），
∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴P（﹣2，﹣1）；
（2）由（1）得：A（﹣3，0），B（﹣1，0），P（﹣2，﹣1），
∴△ABP为等腰三角形，AP＝BP，AB＝2，
∵若△CDQ与△ABP位似，且相似比为2，
∴△CDQ为等腰三角形，CQ＝DQ，
①当＝＝＝时，
∵点A为位似中心，抛物线M与x轴的交点为C、D（点C在点D的左侧），其顶点为Q，
∴C1（﹣3，0），C1D1＝4，
∴D1（1，0），
即B为C1D1中点，则P为C1Q1中点，
∴Q1（﹣1，﹣2），
设抛物线M的表达式为y＝a（x﹣1）（x+3），把Q1（﹣1，﹣2）代入，得：a＝，
∴抛物线M的表达式为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+x﹣；
②当＝＝＝时，
∵点A为位似中心，抛物线M与x轴的交点为C、D（点C在点D的左侧），其顶点为Q，
∴D2（﹣3，0），C2D2＝4，
∴C2（﹣7，0），
∵C2Q2＝D2Q2，
∴Q2（﹣5，2），
设抛物线M的表达式为y＝a（x+7）（x+3），把Q2（﹣5，2）代入，
得：a（﹣5+7）（﹣5+3）＝2，
解得：a＝﹣，
∴抛物线M的表达式为y＝﹣（x+7）（x+3）＝﹣x2﹣5x﹣．
综上所述，满足条件的抛物线M的表达式为y＝x2+x﹣或y＝﹣x2﹣5x﹣．
27．（10分）【问题情境】
如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，则△ABC的外接圆的半径值为 5 ．
【问题解决】
如图2，点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．
【问题解决】
如图3，正方形ABCD是一个边长为3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CE＝cm，点P是正方形ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120°，即∠BPE＝120°，点A、D为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距离和最小，试求QA+QD+QP的最小值．（保留根号或结果精确到1cm，参考数据≈1.7，10.52＝110.25）．
【分析】（1）作出三角形的外接圆O，证明△OBA是等边三角形，利用三线合一性质计算即可；
（2 ）点P在以BC为直径的圆上，根据圆心，P，A三点共线时AP最小，计算即可；
（3）如图3，设∠BPE所在圆的圆心为点O，根据（1）可得∠BPE所在圆的半径，以点D为旋转中心，将△DQA顺时针旋转60°，得到△DFN，当N，F，Q，P，O共线时，QA+QD+QP最小，构造直角三角形求解即可．
【解答】解：（1）如图1，作△ABC的外接圆O，作直径AD，连接OB，
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，∠BAO＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OBA是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
设AD与BC交于点E，BE＝BC＝，
在直角三角形ABE中，
∵sin∠BAO＝，
∴sin60°＝＝，
∴AB＝5，
∴OA＝5，
故答案为：5；
（2 ）如图2，
∵∠BPC＝90°，
∴点在以BC为直径的圆上，设圆心为点O，
则OP＝BC＝2，
∴O，P，A三点线时AP最小，
在直角三角形ABO中，
AO＝＝2，
∵PO＝2，
∴AP的最小值为：AO﹣PO＝2﹣2；
（3）如图3，设∠BPE所在圆的圆心为点O，根据（1）可得∠BPE所在圆的半径为＝2，以点D为旋转中心，将△DQA顺时针旋转60°，得到△DFN，当N，F，Q，P，O共线时，QA+QD+QP最小，过点N作NG⊥AB交BA的延长线于点G，连接AN，则△AND是等边三角形，过点O作OM⊥GN于M交BC于点H，连接OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC∥GN，
∴OH⊥BC，
∵BE＝2，
∴BH＝，
∴OH＝＝1，
∵AD＝DN，∠ADN＝60°，
∴△AND是等边三形，且AN＝3，∠NAD＝60°，
∴∠GAN＝30°，
∴GN＝ANsin30°＝，AG＝ANcos30°＝，
∴OM＝OH+AB+AG＝+1+3＝+3，MN＝GN﹣BH＝﹣＝，
∴ON＝＝≈11，
∴QA+QD+QP最小值为：11﹣2＝9（cm）．
2021年陕西省部分学校中考数学八模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）如果温度上升1℃记作+1℃，那么温度下降5℃，应记作（ ）
A．+5℃ B．﹣5℃ C．+6℃ D．﹣6℃
2．（3分）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，AB∥CD，点F在直线CD上，若∠B＝100°，∠E＝90°，则∠EFD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4．（3分）正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣2，1），则它一定经过（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
5．（3分）据记载，“幻方”源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的矩阵．如图所示的幻方是由3×3的方格构成，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
6．（3分）直线l1：y＝x﹣2与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线l2与直线l1关于y轴对称，直线l2与x轴交于点C，△ABC的面积为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
7．（3分）如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则边BC的长是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
9．（3分）如图，点A、B、C、D均在⊙O上，AB＝AC，BD是⊙O的直径，连接CD，若∠A＝36°，则∠ACD的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．40°
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+x﹣a（a≠0）与y轴的交点在x轴的下方，下列说法中正确的是（ ）
A．该抛物线的顶点一定在第一象限
B．该抛物线的顶点一定在第二象限
C．该抛物线的顶点一定在第三象限
D．该抛物线的顶点所在象限不确定
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：a3•a3＝ ．
12．（3分）不等式2x＞3x﹣1的解集为 ．
13．（3分）抛物线y＝x2+2x的对称轴是 ．
14．（3分）已知一个正多边形的一个外角为72°，则它的内角和为 ．
15．（3分）直线y＝kx与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，若点A的纵坐标为4，则点B的坐标为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC．若点E、F分别在边AC、BD上运动，且EF平分▱ABDC的面积，当线段EF取最小时，AE的值为 ．
三、解答题（共11小题，共72分，解答应写出过程）
17．（5分）计算：×（﹣）+（﹣）﹣1﹣．
18．（5分）化简：（﹣1）÷．
19．（5分）如图，请用尺规在△ABC的边BC上找一点P，使得AP的长最小．（保留作图痕迹，不写作法）
20．（5分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
21．（7分）为增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展了疫情防控知识答题活动．为了解答题活动的得分情况（满分100分），随机抽取了部分参加答题活动的学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）图①中的m的值为 ；
（2）求该随机抽样获取的样本数据的平均数；
（3）若该校有360名学生参加了本次答题活动，估计其中获得满分的学生人数．
22．（7分）小蒋和小张拿着工具来测量学校操场一棵大树的高度．如图所示，小蒋拿着自制的直角三角形纸板DEF，不停移动，当他站在点C处用眼睛观察到此时斜边DF与点B恰在同一条直线上，且DE与水平地面平行；然后小蒋站立不动，小张在AC处放置一平面镜，移动平面镜至点G处时，小蒋刚好在平面镜内看到树顶端B的像，已知tan∠EDF＝，CD＝1.6m，CG＝0.8m，CD、AB均垂直于AC，求该树的高度AB．（平面镜的大小忽略不计）
23．（7分）甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，继续按原速前进．设汽车行驶的路程为y（千米），汽车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式；（不写x的取值范围）
（2）求汽车从甲地出发到达乙地时所用的时间．
24．（7分）相约西安，筑梦全运，为迎接十四运，学校开展了运动会志愿者选拔活动．小亮和小贾都很优秀，一同报名参加了选拔活动，但只有一个参加名额．现通过抽卡片的方式决定谁去参加，规则如下：现有两组卡片，第一组为正面分别写有字母X、Y、Z的三张卡片，第二组为正面分别写有字母X、Y、Y、Z的四张卡片，这些卡片除正面字母外其余均相同．将卡片正面朝下洗匀，随机抽一张，记下字母后放回，称为抽卡片一次．
（1）若小贾从第二组中抽卡片15次，其中9次抽出的卡片上写有字母Y，求这15次抽出的卡片上写有字母Y的频率；
（2）小亮从第一组中抽卡片一次，小贾从第二组中抽卡片一次，若两人抽出的卡片上的字母相同，则小亮去参加；否则，小贾去参加请问这种抽卡片的方式对两人是否公平？用列表或画树状图的方法说明理由．
25．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE的长为半径作圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知点H为⊙O上一点，＝2，OA＝3，⊙O的半径为，求弦HF的长．
26．（7分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝x2+4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为P．
（1）求点A、B、P的坐标；
（2）已知抛物线M与x轴的交点为C、D（点C在点D的左侧），其顶点为Q，以点A为位似中心，若△CDQ与△ABP位似，且相似比为2，求满足条件的抛物线M的表达式．
27．（10分）【问题情境】
如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，则△ABC的外接圆的半径值为 ．
【问题解决】
如图2，点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．
【问题解决】
如图3，正方形ABCD是一个边长为3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CE＝cm，点P是正方形ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120°，即∠BPE＝120°，点A、D为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距离和最小，试求QA+QD+QP的最小值．（保留根号或结果精确到1cm，参考数据≈1.7，10.52＝110.25）．
2021年陕西省部分学校中考数学八模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）如果温度上升1℃记作+1℃，那么温度下降5℃，应记作（ ）
A．+5℃ B．﹣5℃ C．+6℃ D．﹣6℃
【分析】根据用正数和负数表示具有相反意义的量的方法，即可得出答案．
【解答】解：∵温度上升1℃记作+1℃，
∴温度下降5℃记作﹣5℃，
故选：B．
2．（3分）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一个几何体有几个面，则截面最多为几边形，由于棱柱没有曲边，所以用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆．
【解答】解：用一个平面去截圆锥或圆柱，截面可能是圆，用一个平面去截球，截面是圆，但用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆．
故选：C．
3．（3分）如图，AB∥CD，点F在直线CD上，若∠B＝100°，∠E＝90°，则∠EFD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】过点E作EG∥AB，则可得∠BEG＝180°﹣∠B＝80°，EG∥CD，从而可求∠FEG的度数，再由平行线的性质可得∠EFD的度数．
【解答】解：过点E作EG∥AB，如图所示：
∠BEG＝180°﹣∠B，
∵AB∥CD，∠B＝100°，
∴∠BEG＝80°，EG∥CD，
∴∠FEG＝∠EFD，
∵∠E＝90°，
∴∠FEG＝10°，
∴∠EFD＝10°．
故选：A．
4．（3分）正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣2，1），则它一定经过（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
【分析】由正比例函数的性质可得出比例函数y＝kx的图象经过原点对称，结合正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣2，1），即可得出正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣1）．
【解答】解：∵比例函数y＝kx的图象经过原点对称，且正比例函数y＝kx的图象经过点（﹣2，1），
∴正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣1）．
故选：D．
5．（3分）据记载，“幻方”源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的矩阵．如图所示的幻方是由3×3的方格构成，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【分析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等和图中的数据，可以得到方程4+（﹣3）+（﹣2）＝a+（﹣3）+1，然后求解即可．
【解答】解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，
∴4+（﹣3）+（﹣2）＝a+（﹣3）+1，
解得a＝1，
故选：D．
6．（3分）直线l1：y＝x﹣2与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线l2与直线l1关于y轴对称，直线l2与x轴交于点C，△ABC的面积为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【分析】由直线l1的解析式为y＝x﹣2即可求得A、B的坐标，然后根据中心对称求得C的坐标，根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：∵直线l1：y＝x﹣2与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴B（2，0），A（0，﹣2），
∵直线l2与直线l1关于y轴对称，
∴C（﹣2，0），
∴BC＝4，OA＝2，
∴S△ABC＝＝4，
故选：B．
7．（3分）如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用网格求出AC和AB的长，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，最后根据三角函数的意义求解即可．
【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD，
由网格可得，AC＝AB＝＝2，
∴AD⊥BC，
Rt△ABD中，
∵AD＝＝3，
∴sin∠ABC＝＝＝．
故选：D．
8．（3分）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则边BC的长是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边BC的长．
【解答】解：如图，点A的对应点为点M，点C的对应点为N，
由折叠可知：∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，
∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM＝×180°＝90°，
同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∴GH∥EF，GH＝EF，
∴∠GHN＝∠EFM，
在△GHN和△EFM中，
，
∴△GHN≌△EFM（AAS），
∴HN＝MF＝HD，
∴AD＝AH+HD＝HM+MF＝HF＝BC，
∵EH＝3，EF＝4，
∴HF＝＝＝5，
∴BC＝5，
故选：B．
9．（3分）如图，点A、B、C、D均在⊙O上，AB＝AC，BD是⊙O的直径，连接CD，若∠A＝36°，则∠ACD的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．40°
【分析】连接BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ACB，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，计算即可．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝×（180°﹣∠A）＝×（180°﹣36°）＝72°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣72°＝18°，
故选：A．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+x﹣a（a≠0）与y轴的交点在x轴的下方，下列说法中正确的是（ ）
A．该抛物线的顶点一定在第一象限
B．该抛物线的顶点一定在第二象限
C．该抛物线的顶点一定在第三象限
D．该抛物线的顶点所在象限不确定
【分析】把x＝0时，y＜0，得出关于a的不等式，得出a的取值范围后，利用二次函数的性质解答即可．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝﹣a＜0，
∴a＞0，
∴顶点为（﹣，），
∴x＜0，y＜0，
∴这条抛物线的顶点一定在第三象限，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：a3•a3＝ a6 ．
【分析】根据同底数幂乘法，底数不变指数相加，即可求出答案．
【解答】解：a3•a3＝a6．
故答案为：a6．
12．（3分）不等式2x＞3x﹣1的解集为 x＜1 ．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤，移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：2x＞3x﹣1，
移项得：2x﹣3x＞﹣1
合并得：﹣x＞﹣1，
解得：x＜1，
故答案为：x＜1．
13．（3分）抛物线y＝x2+2x的对称轴是 直线x＝﹣1 ．
【分析】先把一般式配成顶点式，根据二次函数的性质即可得到抛物线的对称轴．
【解答】解：y＝x2+2x＝（x2+2x+1）﹣1＝（x+1）2﹣1，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
故答案为直线x＝﹣1．
14．（3分）已知一个正多边形的一个外角为72°，则它的内角和为 540° ．
【分析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【解答】解：多边形的边数为：360°÷72°＝5，
正多边形的内角和的度数是：（5﹣2）•180°＝540°．
故答案为：540°．
15．（3分）直线y＝kx与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，若点A的纵坐标为4，则点B的坐标为 （﹣1，﹣4） ．
【分析】先求得A点坐标，再根据对称性可求得B点坐标；
【解答】解：令kx＝，解得x＝±1，
∵直线y＝kx与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，且A的纵坐标为4，
∴A坐标为（1，4），
又A、B关于原点对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣4），
故答案为：（﹣1，﹣4）．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC．若点E、F分别在边AC、BD上运动，且EF平分▱ABDC的面积，当线段EF取最小时，AE的值为 ．
【分析】由题意，EF经过BC的中点O，当EF⊥AC时，EF的值最小，利用相似三角形的性质求出CE，可得结论．
【解答】解：如图，
∵EF平分▱ABDC的面积，
∴EF经过BC的中点O，
当EF⊥AC时，EF的值最小，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝＝＝，
∵∠OCE＝∠ACB，∠OEC＝∠ABC＝90°，
∴△OEC∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝，
∴AE＝AC﹣EC＝﹣＝．
故答案为：．
三、解答题（共11小题，共72分，解答应写出过程）
17．（5分）计算：×（﹣）+（﹣）﹣1﹣．
【分析】直接利用二次根式的乘法以及负整数指数幂的性质、立方根的性质分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣4﹣2+3
＝﹣4+1．
18．（5分）化简：（﹣1）÷．
【分析】按异分母分式加减法法则先算括号里面，再把除法统一成乘法，求积．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝×
＝×
＝﹣（a﹣2）
＝2﹣a．
19．（5分）如图，请用尺规在△ABC的边BC上找一点P，使得AP的长最小．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】过A点作AP⊥BC于P，利用垂线段最短得到P点满足条件．
【解答】解：如图，点P为所作．
20．（5分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
【分析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF．
21．（7分）为增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展了疫情防控知识答题活动．为了解答题活动的得分情况（满分100分），随机抽取了部分参加答题活动的学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）图①中的m的值为 30 ；
（2）求该随机抽样获取的样本数据的平均数；
（3）若该校有360名学生参加了本次答题活动，估计其中获得满分的学生人数．
【分析】（1）根据得分为84分的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数，然后即可计算出m的值；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出平均数；
（3）根据扇形统计图中的数据，可以计算出获得满分的学生人数．
【解答】解：（1）本次随机抽样抽取的学生人数为：3÷10%＝30（人），
m%＝9÷30×100%＝30%，
即m的值是30，
故答案为：30；
（2）该随机抽样获取的样本数据的平均数是：＝93.2（分）；
（3）360×10%＝36（人），
答：估计其中获得满分的学生人数有36人．
22．（7分）小蒋和小张拿着工具来测量学校操场一棵大树的高度．如图所示，小蒋拿着自制的直角三角形纸板DEF，不停移动，当他站在点C处用眼睛观察到此时斜边DF与点B恰在同一条直线上，且DE与水平地面平行；然后小蒋站立不动，小张在AC处放置一平面镜，移动平面镜至点G处时，小蒋刚好在平面镜内看到树顶端B的像，已知tan∠EDF＝，CD＝1.6m，CG＝0.8m，CD、AB均垂直于AC，求该树的高度AB．（平面镜的大小忽略不计）
【分析】延长DE交AB于H，则DH＝AC，AH＝CD＝1.6米，根据反射原理可知∠DGC＝∠BGA，得tan∠DGC＝tan∠BGA＝2，设AG＝x，则AB＝2x，再由DH＝AG+CG，BH＝AB﹣AH，根据tan∠EDF＝列方程，进而求解即可．
【解答】解：如图，延长DE交AB于H，
∵DE∥AC，则CD⊥AC，AB⊥AC，
∴四边形ACDH是矩形，
∴DH＝AC，AH＝CD＝1.6米，
根据反射原理可知∠DGC＝∠BGA，
∵CD＝1.6米，CG＝0.8米，
∴tan∠DGC＝tan∠BGA＝＝＝2，
∴tan∠BGA＝＝2，
设AG＝x米，则AB＝2x米，
∴DH＝AC＝（0.8+x）米，BH＝AB﹣AH＝（2x﹣1.6）米，
∵tan∠EDF＝＝，
∴＝，
∴x＝4，
∴AB＝2×4＝8（米），
∴该树的高度8米．
23．（7分）甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，继续按原速前进．设汽车行驶的路程为y（千米），汽车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式；（不写x的取值范围）
（2）求汽车从甲地出发到达乙地时所用的时间．
【分析】（1）根据题意求出点E的横坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）根据点E的横坐标判断即可．
【解答】解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为80千米/小时；
休息后按原速继续前进行驶的时间为：（290﹣80）÷80＝（小时），
1.5+，
∴点E的坐标为（，290），
设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，则：
，
解得，
∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为：y＝80x﹣40；
（2）由（1）可得点E的坐标为（，290），
∴汽车从甲地出发到达乙地时所用的时间为小时．
24．（7分）相约西安，筑梦全运，为迎接十四运，学校开展了运动会志愿者选拔活动．小亮和小贾都很优秀，一同报名参加了选拔活动，但只有一个参加名额．现通过抽卡片的方式决定谁去参加，规则如下：现有两组卡片，第一组为正面分别写有字母X、Y、Z的三张卡片，第二组为正面分别写有字母X、Y、Y、Z的四张卡片，这些卡片除正面字母外其余均相同．将卡片正面朝下洗匀，随机抽一张，记下字母后放回，称为抽卡片一次．
（1）若小贾从第二组中抽卡片15次，其中9次抽出的卡片上写有字母Y，求这15次抽出的卡片上写有字母Y的频率；
（2）小亮从第一组中抽卡片一次，小贾从第二组中抽卡片一次，若两人抽出的卡片上的字母相同，则小亮去参加；否则，小贾去参加请问这种抽卡片的方式对两人是否公平？用列表或画树状图的方法说明理由．
【分析】（1）直接由频率的定义求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小亮和小贾两人抽出的卡片上的字母相同的结果有4种，两人抽出的卡片上的字母不相同的结果有8种，再求出两人去参加的概率，然后比较即可．
【解答】解：（1）若小贾从第二组中抽卡片15次，其中9次抽出的卡片上写有字母Y，
则这15次抽出的卡片上写有字母Y的频率为＝；
（2）这种抽卡片的方式对两人不公平，理由如下：
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小亮和小贾两人抽出的卡片上的字母相同的结果有4种，两人抽出的卡片上的字母不相同的结果有8种，
∴小亮去参加的概率＝，小贾去参加的概率为＝，
∵＜，
∴这种抽卡片的方式对两人不公平．
25．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE的长为半径作圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知点H为⊙O上一点，＝2，OA＝3，⊙O的半径为，求弦HF的长．
【分析】（1）作OK⊥AC，根据角平分线的性质证明K在圆上，即可证明AC是⊙O的切线；
（2）连接OH，通过证明△OEA≌△OKA得出∠EOF＝∠KOF，在Rt△AOE中根据已知条件求出sin∠AOE＝，再根据＝2，得到∠AOK＝∠KOH，OM⊥FH，M为FH的中点，求出FM即可．
【解答】（1）证明：作OK⊥AC，K为垂足，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OK⊥AC，
∴OE＝OK，
∴K在圆上，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OH，
由（1）知，∠OEA＝∠OKA，
在Rt△OEA和Rt△OKA中，
，
∴Rt△OEA≌Rt△OKA（HL），
∴∠EOF＝∠KOF，
∴＝，
∵，
∴K为的中点，
设OK与FH相交于点M，
则OM⊥FH，且M为FH的中点，
∵OA＝3，OE＝，
∴AE＝＝，
∴sin∠AOE＝＝，
∴FM＝OF•sin∠FOM＝×＝，
∴FH＝2FM＝2．
26．（7分）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝x2+4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为P．
（1）求点A、B、P的坐标；
（2）已知抛物线M与x轴的交点为C、D（点C在点D的左侧），其顶点为Q，以点A为位似中心，若△CDQ与△ABP位似，且相似比为2，求满足条件的抛物线M的表达式．
【分析】（1）令y＝0，求出x的值，根据点A在点B的左侧，即可得出A、B两点的坐标，将抛物线解析式化成顶点式即可得出点P的坐标；
（2）根据（1）得△ABP为等腰三角形，AP＝BP，AB＝2，根据若△CDQ与△ABP位似，且相似比为2，可分两种情况进行讨论：①当＝＝＝时，根据相似比可求出C、D的坐标，根据中点公式可求出Q的坐标，利用待定系数法求出解析式即可；②当＝＝＝时，根据相似比可求出C、D的坐标，根据等腰三角形的性质可求出Q的坐标，利用待定系数法求出解析式即可．
【解答】解：（1）在y＝x2+4x+3中，令y＝0，得x2+4x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1，
∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），
∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴P（﹣2，﹣1）；
（2）由（1）得：A（﹣3，0），B（﹣1，0），P（﹣2，﹣1），
∴△ABP为等腰三角形，AP＝BP，AB＝2，
∵若△CDQ与△ABP位似，且相似比为2，
∴△CDQ为等腰三角形，CQ＝DQ，
①当＝＝＝时，
∵点A为位似中心，抛物线M与x轴的交点为C、D（点C在点D的左侧），其顶点为Q，
∴C1（﹣3，0），C1D1＝4，
∴D1（1，0），
即B为C1D1中点，则P为C1Q1中点，
∴Q1（﹣1，﹣2），
设抛物线M的表达式为y＝a（x﹣1）（x+3），把Q1（﹣1，﹣2）代入，得：a＝，
∴抛物线M的表达式为y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+x﹣；
②当＝＝＝时，
∵点A为位似中心，抛物线M与x轴的交点为C、D（点C在点D的左侧），其顶点为Q，
∴D2（﹣3，0），C2D2＝4，
∴C2（﹣7，0），
∵C2Q2＝D2Q2，
∴Q2（﹣5，2），
设抛物线M的表达式为y＝a（x+7）（x+3），把Q2（﹣5，2）代入，
得：a（﹣5+7）（﹣5+3）＝2，
解得：a＝﹣，
∴抛物线M的表达式为y＝﹣（x+7）（x+3）＝﹣x2﹣5x﹣．
综上所述，满足条件的抛物线M的表达式为y＝x2+x﹣或y＝﹣x2﹣5x﹣．
27．（10分）【问题情境】
如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，则△ABC的外接圆的半径值为 5 ．
【问题解决】
如图2，点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．
【问题解决】
如图3，正方形ABCD是一个边长为3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CE＝cm，点P是正方形ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120°，即∠BPE＝120°，点A、D为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距离和最小，试求QA+QD+QP的最小值．（保留根号或结果精确到1cm，参考数据≈1.7，10.52＝110.25）．
【分析】（1）作出三角形的外接圆O，证明△OBA是等边三角形，利用三线合一性质计算即可；
（2 ）点P在以BC为直径的圆上，根据圆心，P，A三点共线时AP最小，计算即可；
（3）如图3，设∠BPE所在圆的圆心为点O，根据（1）可得∠BPE所在圆的半径，以点D为旋转中心，将△DQA顺时针旋转60°，得到△DFN，当N，F，Q，P，O共线时，QA+QD+QP最小，构造直角三角形求解即可．
【解答】解：（1）如图1，作△ABC的外接圆O，作直径AD，连接OB，
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，∠BAO＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OBA是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
设AD与BC交于点E，BE＝BC＝，
在直角三角形ABE中，
∵sin∠BAO＝，
∴sin60°＝＝，
∴AB＝5，
∴OA＝5，
故答案为：5；
（2 ）如图2，
∵∠BPC＝90°，
∴点在以BC为直径的圆上，设圆心为点O，
则OP＝BC＝2，
∴O，P，A三点线时AP最小，
在直角三角形ABO中，
AO＝＝2，
∵PO＝2，
∴AP的最小值为：AO﹣PO＝2﹣2；
（3）如图3，设∠BPE所在圆的圆心为点O，根据（1）可得∠BPE所在圆的半径为＝2，以点D为旋转中心，将△DQA顺时针旋转60°，得到△DFN，当N，F，Q，P，O共线时，QA+QD+QP最小，过点N作NG⊥AB交BA的延长线于点G，连接AN，则△AND是等边三角形，过点O作OM⊥GN于M交BC于点H，连接OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC∥GN，
∴OH⊥BC，
∵BE＝2，
∴BH＝，
∴OH＝＝1，
∵AD＝DN，∠ADN＝60°，
∴△AND是等边三形，且AN＝3，∠NAD＝60°，
∴∠GAN＝30°，
∴GN＝ANsin30°＝，AG＝ANcos30°＝，
∴OM＝OH+AB+AG＝+1+3＝+3，MN＝GN﹣BH＝﹣＝，
∴ON＝＝≈11，
∴QA+QD+QP最小值为：11﹣2＝9（cm）．
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