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2021学年5.7 三角函数的应用教学课件ppt
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这是一份2021学年5.7 三角函数的应用教学课件ppt，共35页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，ωx+φ，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。
1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)中，A、ω、φ的物理意义(1)A、ω、φ的物理意义：①简谐运动的振幅就是__；②简谐运动的周期T=___；③简谐运动的频率f= ；④_______称为相位；⑤x=0时的相位___称为初相.(2)本质：A、ω、φ有各自的物理意义，各自决定了函数性质中的一部分.(3)应用：根据A、ω、φ的物理意义，在解题时能比较简单地求出函数解析式.
【思考】在函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)中，A，b与函数的最值有何关系？提示：A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：(1)ymax=A+b，ymin=-A+b；
2.解三角函数应用题的基本步骤(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y=Asin(ωx+φ)的初相为φ.( )(2)“五点法”作函数y=2sin 在一个周期上的简图时，第一个点为 .( )提示：(1)×.当A>0，ω>0时，y=Asin(ωx+φ)的初相才是φ.(2)×.“五点法”作y=2sin 在一个周期上的简图时，令x+ =0，所以第一个点为 .
2.函数y= 的周期、振幅、初相分别是( ) A.3π， B.6π， C.3π，3，- D.6π，3， 【解析】选B.y= 的周期T= =6π，振幅为 ，初相为 .
3.(教材二次开发：例题改编)如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要_______s往返一次. 【解析】观察图象可知此简谐运动的周期T=0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次.答案：0.8
类型一 简谐运动中常见物理量的运算(数学建模、数学运算)【题组训练】1.函数y=Asin(ωx+φ)+k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是( ) A.A=3，T= B.A=3，T= C.A= ，T= D.A= ，T=
2.已知某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin(160πt)+115.其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数(即频率)为( )A.60B.70C.80D.903.如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数解析式为s=5sin ，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为( )A.2sB.1sC.
【解析】1.选D.因为A= ，所以T= .2.选C.因为T= ，所以f= =80.3.选C.由题意，知周期T= =1(s).单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为 s.
【解题策略】简谐运动中常见物理量的确定方法 (1)A表示简谐运动离开平衡位置的最大距离，也可以用最大值减最小值除以2得到；(2)周期T= 表示简谐运动往返运动一次所需要的时间；频率f= 表示运动物体在单位时间内往返运动的次数；(3)初相φ是相位ωx+φ(ω>0)在x=0时的值.
【补偿训练】1.函数y=3sin 的频率为_______，相位为_______，初相为_______. 2.某地一天内的温度变化曲线满足y=3sin(0.2x+25)+15，则在一天内，该地的最大温差是___. 【解析】1.频率为 相位为 ，初相为- .答案： 2.因为函数y=3sin(0.2x+25)+15的振幅为A=3，可以判断该地的最大温差是2A=6.答案：6
类型二 三角函数图象类问题(直观想象、数学抽象)【典例】1.函数y=x+sin|x|，x∈ 的大致图象是( )
2.(2020·新乡高一检测)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0( ，- )，角速度为1 rad/s，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )
【思路导引】1.根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断.2.根据题意，选择几个特殊的点马上就能找到答案.
【解析】1.选C.y=x+sin |x|是非奇非偶函数，图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，故选C.2.选C.通过分析可知当t=0时，点P到x轴的距离d为 ，于是可以排除选项A，D，再根据当t= 时，可知点P在x轴上，此时点P到x轴的距离d为0，排除选项B.
【解题策略】解决函数图象与解析式对应问题的策略可以按照定义域、奇偶性、单调性、特殊值的顺序进行判断，即先由定义域确定图象的范围，由奇偶性确定图象的对称性，由单调性确定图象的变化趋势等判断；也可以用特殊点(值)判断.
【跟踪训练】 函数f(x)=2sin x(x∈ )的图象大致为( )【解析】选A.f(-π)=2sin(-π)=20=1，f =2-1=0.5，f(0)=2sin 0=20=1，f =2，f(π)=2sin π=20=1.由此知选项A符合要求.
类型三 三角函数模型的应用(数学建模) 角度1 三角函数模型在物理中的应用 【典例】已知电流I(单位：A)与时间t(单位：s)的关系为I=A (1)如图是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；(2)如果t在任意一段 s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？【思路导引】可先由图象确定电流I的解析式，再由函数的性质确定ω的最小值.
【解析】(1)由题图知A=300，周期T= ，所以ω= =150π.又当t= 时，I=0，即sin =0，而|φ|< ，所以φ= .故所求的解析式为I=300sin (2)依题意，周期T≤ 所以ω≥300π，故ω的最小值为300π.
【解题策略】利用三角函数处理物理学问题的策略(1)三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题，解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示方法.(2)将图形语言转化成符号语言，根据图形信息利用待定系数法，求函数模型y=Asin(ωx+φ)中的未知参数后，再由解析式及性质解决具体问题.
【变式探究】典例中条件不变，最大电流值第一次出现与第二次出现的时间间隔为_______秒. 【解析】由典例知电流的解析式为I=300sin ，最大电流值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期T= (秒).答案：
角度2 三角函数模型在生活中的应用 【典例】一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点P在风车的最低点，求：(1)点P离地面距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数解析式.(2)在第一圈的什么时间段点P离地面的高度超过14米？ 【思路导引】(1)根据题目给出的条件，选出适当的函数模型，设出函数解析式，根据半径、旋转一周所用的时间、最低点距离地面的距离等条件，求出函数的解析式.(2)距离地面超过14米，即函数值h(t)>14，代入计算即可.
【解析】(1)设h(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0，ω>0，|φ|<π)，由题意得：A=8，T=12，b=10，则ω= ，当t=0时，h=2，即sin φ=-1，因为|φ|<π，所以φ=- ，所以h(t)=8sin +10，t≥0.(2)由题意：h(t)>14，即8sin +10>14，则cs ，又因为0≤t≤12，所以4
【题组训练】1.(2020·三门峡高一检测)在一个港口，相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h，低潮时水深9 m，高潮时水深15 m.每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y=Asin(ωt+φ)+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是( ) A.y=3sin t+12B.y=-3sin t+12C.y=3sin t+12D.y=3cs t+12【解析】选A.根据题意，由ω= ，排除选项C，D.当t=3时，3sin =3sin +12=15，符合题意，-3sin =-3sin +12=9.不符合题意，故选项B错误.
2.已知某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h=40·sin +50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续_______分钟. 【解析】依题意，即40sin +50≥70，即cs ≤- ，从而在一个周期内持续的时间为 ，4≤t≤8，即持续时间为4分钟.答案：4
3.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s=3cs ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l=_______cm. 【解析】由已知得 =1，所以 =2π，所以 =4π2，l= .答案：
1.简谐运动y=4sin 的相位、初相、频率是( ) A.5x- B.5x- ，4， C.5x- ，- D.4， ，2π【解析】选C.相位是5x- ，当x=0时的相位为初相即- ，周期T= ，频率f= .
2.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1=5sin ，s2=10cs2t确定，则当t= s时，s1与s2的大小关系是( )A.s1>s2B.s13.(教材二次开发：练习改编)函数f(x)=2sin(ωx+φ) 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A.2，- B.2，- C.4，- D.4， 【解析】选A.由图象可知 ，所以T= =π，所以ω=2.因为 是五点作图的第二个点，所以2× +φ= ，所以φ=- .
4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )【解析】选C.由2kπ- ≤2kπ+ ，k∈Z，知函数F(t)的增区间为 ，k∈Z.当k=1时，t∈
1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)中，A、ω、φ的物理意义(1)A、ω、φ的物理意义：①简谐运动的振幅就是__；②简谐运动的周期T=___；③简谐运动的频率f= ；④_______称为相位；⑤x=0时的相位___称为初相.(2)本质：A、ω、φ有各自的物理意义，各自决定了函数性质中的一部分.(3)应用：根据A、ω、φ的物理意义，在解题时能比较简单地求出函数解析式.
【思考】在函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)中，A，b与函数的最值有何关系？提示：A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：(1)ymax=A+b，ymin=-A+b；
2.解三角函数应用题的基本步骤(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y=Asin(ωx+φ)的初相为φ.( )(2)“五点法”作函数y=2sin 在一个周期上的简图时，第一个点为 .( )提示：(1)×.当A>0，ω>0时，y=Asin(ωx+φ)的初相才是φ.(2)×.“五点法”作y=2sin 在一个周期上的简图时，令x+ =0，所以第一个点为 .
2.函数y= 的周期、振幅、初相分别是( ) A.3π， B.6π， C.3π，3，- D.6π，3， 【解析】选B.y= 的周期T= =6π，振幅为 ，初相为 .
3.(教材二次开发：例题改编)如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要_______s往返一次. 【解析】观察图象可知此简谐运动的周期T=0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次.答案：0.8
类型一 简谐运动中常见物理量的运算(数学建模、数学运算)【题组训练】1.函数y=Asin(ωx+φ)+k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是( ) A.A=3，T= B.A=3，T= C.A= ，T= D.A= ，T=
2.已知某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin(160πt)+115.其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数(即频率)为( )A.60B.70C.80D.903.如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数解析式为s=5sin ，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为( )A.2sB.1sC.
【解析】1.选D.因为A= ，所以T= .2.选C.因为T= ，所以f= =80.3.选C.由题意，知周期T= =1(s).单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为 s.
【解题策略】简谐运动中常见物理量的确定方法 (1)A表示简谐运动离开平衡位置的最大距离，也可以用最大值减最小值除以2得到；(2)周期T= 表示简谐运动往返运动一次所需要的时间；频率f= 表示运动物体在单位时间内往返运动的次数；(3)初相φ是相位ωx+φ(ω>0)在x=0时的值.
【补偿训练】1.函数y=3sin 的频率为_______，相位为_______，初相为_______. 2.某地一天内的温度变化曲线满足y=3sin(0.2x+25)+15，则在一天内，该地的最大温差是___. 【解析】1.频率为 相位为 ，初相为- .答案： 2.因为函数y=3sin(0.2x+25)+15的振幅为A=3，可以判断该地的最大温差是2A=6.答案：6
类型二 三角函数图象类问题(直观想象、数学抽象)【典例】1.函数y=x+sin|x|，x∈ 的大致图象是( )
2.(2020·新乡高一检测)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0( ，- )，角速度为1 rad/s，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )
【思路导引】1.根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断.2.根据题意，选择几个特殊的点马上就能找到答案.
【解析】1.选C.y=x+sin |x|是非奇非偶函数，图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，故选C.2.选C.通过分析可知当t=0时，点P到x轴的距离d为 ，于是可以排除选项A，D，再根据当t= 时，可知点P在x轴上，此时点P到x轴的距离d为0，排除选项B.
【解题策略】解决函数图象与解析式对应问题的策略可以按照定义域、奇偶性、单调性、特殊值的顺序进行判断，即先由定义域确定图象的范围，由奇偶性确定图象的对称性，由单调性确定图象的变化趋势等判断；也可以用特殊点(值)判断.
【跟踪训练】 函数f(x)=2sin x(x∈ )的图象大致为( )【解析】选A.f(-π)=2sin(-π)=20=1，f =2-1=0.5，f(0)=2sin 0=20=1，f =2，f(π)=2sin π=20=1.由此知选项A符合要求.
类型三 三角函数模型的应用(数学建模) 角度1 三角函数模型在物理中的应用 【典例】已知电流I(单位：A)与时间t(单位：s)的关系为I=A (1)如图是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；(2)如果t在任意一段 s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？【思路导引】可先由图象确定电流I的解析式，再由函数的性质确定ω的最小值.
【解析】(1)由题图知A=300，周期T= ，所以ω= =150π.又当t= 时，I=0，即sin =0，而|φ|< ，所以φ= .故所求的解析式为I=300sin (2)依题意，周期T≤ 所以ω≥300π，故ω的最小值为300π.
【解题策略】利用三角函数处理物理学问题的策略(1)三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题，解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示方法.(2)将图形语言转化成符号语言，根据图形信息利用待定系数法，求函数模型y=Asin(ωx+φ)中的未知参数后，再由解析式及性质解决具体问题.
【变式探究】典例中条件不变，最大电流值第一次出现与第二次出现的时间间隔为_______秒. 【解析】由典例知电流的解析式为I=300sin ，最大电流值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期T= (秒).答案：
角度2 三角函数模型在生活中的应用 【典例】一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点P在风车的最低点，求：(1)点P离地面距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数解析式.(2)在第一圈的什么时间段点P离地面的高度超过14米？ 【思路导引】(1)根据题目给出的条件，选出适当的函数模型，设出函数解析式，根据半径、旋转一周所用的时间、最低点距离地面的距离等条件，求出函数的解析式.(2)距离地面超过14米，即函数值h(t)>14，代入计算即可.
【解析】(1)设h(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0，ω>0，|φ|<π)，由题意得：A=8，T=12，b=10，则ω= ，当t=0时，h=2，即sin φ=-1，因为|φ|<π，所以φ=- ，所以h(t)=8sin +10，t≥0.(2)由题意：h(t)>14，即8sin +10>14，则cs ，又因为0≤t≤12，所以4
【题组训练】1.(2020·三门峡高一检测)在一个港口，相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h，低潮时水深9 m，高潮时水深15 m.每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y=Asin(ωt+φ)+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是( ) A.y=3sin t+12B.y=-3sin t+12C.y=3sin t+12D.y=3cs t+12【解析】选A.根据题意，由ω= ，排除选项C，D.当t=3时，3sin =3sin +12=15，符合题意，-3sin =-3sin +12=9.不符合题意，故选项B错误.
2.已知某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h=40·sin +50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续_______分钟. 【解析】依题意，即40sin +50≥70，即cs ≤- ，从而在一个周期内持续的时间为 ，4≤t≤8，即持续时间为4分钟.答案：4
3.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s=3cs ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l=_______cm. 【解析】由已知得 =1，所以 =2π，所以 =4π2，l= .答案：
1.简谐运动y=4sin 的相位、初相、频率是( ) A.5x- B.5x- ，4， C.5x- ，- D.4， ，2π【解析】选C.相位是5x- ，当x=0时的相位为初相即- ，周期T= ，频率f= .
2.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1=5sin ，s2=10cs2t确定，则当t= s时，s1与s2的大小关系是( )A.s1>s2B.s1
4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )【解析】选C.由2kπ- ≤2kπ+ ，k∈Z，知函数F(t)的增区间为 ，k∈Z.当k=1时，t∈
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