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5、山东省滕州市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（学生版）
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这是一份5、山东省滕州市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（学生版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省滕州市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 17
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
满分:150分 时间:120分钟
第Ⅰ卷(选择题,共52分)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★)设集合M={0,1},N={-1,0,1},则M∩N= ( )
A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.{-1,0,-1}
2.(★★)命题“∀x∈R,2x≥x+1”的否定是 ( )
A.∀x∈R,2x
C.∀x∉R,2x
A.y=(x)2与y=x
B.y=(3x)3与y=x
C.y=x2与y=(x)2
D.y=3x3与y=x2x
5.(★★)已知a,b∈R,则下列四个条件中,使a>b成立的必要不充分条件是 ( )
A.a3>b3 B.a>b-1
C.a>b+1 D.|a|>|b|
6.(★★)已知x>-2,则x+4x+2的最小值为 ( )
A.-2 B.-1
C.2 D.4
7.(★★)函数y=x-2x-1的图象是 ( )
8.(★★)关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是 ( )
A.(-1,3) B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
9.(★★)已知函数f(x)=(a-3)x+5,x≤1,2ax,x>1是R上的减函数,则a的取值范围是 ( )
A.(0,3) B.(0,3]
C.(0,2) D.(0,2]
10.(★★★)已知f(x)为定义在R上的奇函数,g(x)=f(x)-x,且对任意的x1,x2∈[0,+∞),当x1
C.[3,+∞) D.(-∞,3)
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
11.(★★)设a,b∈R,下列不等式恒成立的有 ( )
A.a2+b2≥2ab B.a2b+b≥2a
C.a+b2≥ab D.a+b22≥ab
12.(★★)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上是增函数的有 ( )
A.y=2-|x| B.y=x23
C.y=x2-1 D.y=x3
13.(★★★)定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足:f(x)+g(x)=4x,下列结论正确的有 ( )
A.f(x)=4x-4-x2,且0
C.∀x∈R,总有f(-x)g(-x)+f(x)g(x)=0
D.∃x0∈R,使得f(2x0)>2f(x0)g(x0)
第Ⅱ卷(非选择题,98分)
三、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
14.(★★)y=a2x-1+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则A点坐标为 .
15.(★★)已知f(x)=x2,x>0,ax+1,x≤0,若f(-1)=4,则
f(f(-2))= .
16.(★★)已知2a+3b=1(a>0,b>0),则3a+2b的最小值为 .
17.(★★★)已知函数f(x),对于任意实数x∈[a,b],当a≤x0≤b时,记|f(x)-f(x0)|的最大值为D[a,b](x0).
(1)若f(x)=(x-1)2,则D[0,3](2)= ;
(2)若f(x)=-x2-2x,x≤0,2-|x-1|,x>0,则D[a,a+2](-1)的取值范围是 .
四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(★★)已知实数集R,集合A={x|-6≤x<3},B={x|x2≤16},C={x|3x+m<0}.
(1)求A∩B,∁R(A∪B);
(2)若x∈C是x∈A的必要条件,求实数m的取值范围.
19.(★★)(1)求值:80.25×42+(32×3)6-5823+1.6-13×-14130;
(2)已知10m=2,10n=3,求103m-2n2的值.
20.(★★) 已知不等式ax2-3x+2<0的解集为{x|1
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc≥0(c∈R).
21.(★★) 已知函数f(x)=xax2+bx+1,a,b为常数.
(1)若a=1,b=0,判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)若a=0,b=1,用定义证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
22.(★★)2019年滕州市某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2500万元.每生产x(百辆)新能源汽车,需另投入成本C(x)万元,且C(x)=10x2+100x,0
(2)2019年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
23.(★★)已知函数f(x)=2x-a2x(a∈R).
(1)若函数f(x)为奇函数,求实数a的值;
(2)设函数g(x)=2-2x-2+a2x-2,且h(x)=f(x)+g(x),已知h(x)>2+3a对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范围.
山东省滕州市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 17
答案全解全析
1.考向 集合的运算
思路分析 直接根据交集定义即可得到所求集合.
解析 集合M={0,1},N={-1,0,1},
由交集的定义,得M∩N={0,1},故选C.
答案 C
点评 本题考查集合运算中的交集运算,熟练掌握集合的基础知识是解答好集合题目的关键.
2.考向 全称命题的否定
思路分析 直接利用全称量词命题的否定是存在量词命题,写出命题的否定命题即可.
解析 因为全称量词命题的否定是存在量词命题,
所以命题“∀x∈R,2x≥x+1”的否定是“∃x0∈R,2x0
答案 D
点评 本题易错点在于误认为存在量词命题与全称量词命题的否定只改变命题量词,或只否定结论导致错误.全称量词命题与存在量词命题的否定,可以将条件和结论看成两部分,分别进行处理,同时在否定结论时注意结论的否定形式,“>”的否定就是“≤”,“<”的否定就是“≥”.
3.考向 不等式性质的应用
思路分析 通过取特殊值举反例或利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论.
解析 A选项,∵a0,∴a(-a)ab,故正确;
B选项,∵a0,∴a(-b)b2,故错误;
C选项,当c=0时,ac2=bc2,故错误;
D选项,取a=-2,b=-1时,1a>1b,故错误.
故选A.
答案 A
点评 判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简便、准确,如果认为一个命题正确,一定要有简单证明,如果认为一个命题错误,最好能举出反例或者能证明一定不成立,以培养思维的严谨性.
4.考向 函数的概念
思路分析 根据定义域和对应关系完全相同的函数才是同一函数,对选项的定义域、对应关系一一进行分析判断,即可得到结果.
解析 对于A,y=(x)2=x(x≥0)与y=x(x∈R),两个函数的定义域不同,故不是同一函数;
对于B,y=(3x)3=x(x∈R)与y=x(x∈R),两个函数的定义域、对应关系均相同,是同一函数;
对于C,y=x2=|x|(x∈R)与y=(x)2=x(x≥0), 两个函数的定义域不同,故不是同一函数;
对于D,y=3x3=x(x∈R)与y=x2x=x(x≠0),两个函数的定义域不同,故不是同一函数.
故选B.
答案 B
点评 判断两个函数是否为同一函数,可以先从定义域进行分析,若定义域不同,则不是同一函数,定义域相同,再分析对应关系,如果对应关系相同,则为同一函数,如果对应关系不同,则不是同一函数.
5.考向 充分条件与必要条件的判断;一元二次方程根的讨论
思路分析 欲求a>b成立的必要不充分条件,即选择一个“a>b”能推出的条件,但反之不能推出“a>b”的条件,对选项逐一分析即可.
解析 对于A,a>b能推出a3>b3,反过来,a3>b3也能推出a>b,所以a3>b3是a>b成立的充要条件,故不符合要求;
对于B,a>b能推出a>b-1,反过来,a>b-1不能推出a>b,所以a>b-1是a>b成立的必要不充分条件,故符合要求;
对于C,a>b不能推出a>b+1,反过来,a>b+1能推出a>b,所以a>b+1是a>b成立的充分不必要条件,故不符合要求;
对于D,a>b不能推出|a|>|b|,反过来,|a|>|b|也不能推出a>b,所以|a|>|b|是a>b成立的即不充分也不必要条件,故不符合要求.
故选B.
答案 B
点评 本题主要考查充分必要条件的判断,首先要准确理解和掌握充分必要条件的定义:
若P⇒Q,Q⇒/P,则P是Q的充分不必要条件,Q是P的必要不充分条件;如果P⇔Q,则P是Q的充要条件.对于不等式问题可以理解为“小范围可以推出大范围,反之则不成立”.
6.考向 基本不等式应用
思路分析 根据基本不等式成立的条件,通过简单的变形,即可得到所求的最小值.
解析 ∵x>-2,∴x+2>0,
∴x+4x+2=(x+2)+4x+2-2
≥2(x+2)·4x+2-2=4-2=2,
当且仅当x+2=4x+2,即x=0时,取得等号.
所以x+4x+2的最小值为2.
故选C.
答案 C
点评 本题考查利用基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中①“正”(各项均为正数)、②“定”(各项之和或各项之积为定值)、③“等”(验证等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
7.考向 函数的概念;函数图象的变换规律
思路分析 根据题意,y=x-2x-1=1-1x-1,先作出反比例函数y=-1x的图象,再根据图象平移的知识,经过向右平移一个单位,向上平移一个单位即可得到所求函数的图象.
解析 ∵y=x-2x-1=1-1x-1,所以将反比例函数y=-1x的图象先向右平移1个单位得到y=-1x-1的图象,将得到的图象再向上平移1个单位得到y=-1x-1+1的图象,即为所求函数y=x-2x-1的图象,对比选项得到只有B选项符合.故选B.
答案 B
点评 本题考查函数的图象与图象变换,掌握图象变换规律是解题的关键,解题过程中还可以根据定义域以及代入特殊点进行判断,排除不正确选项.
8.考向 一元二次不等式及其解法
思路分析 根据不等式ax-b<0的解集是(1,+∞)得出a=b<0,再化简不等式(ax+b)(x-3)>0,通过解一元二次不等式求得结果.
解析 由关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),
即不等式ax
所以不等式(ax+b)(x-3)>0可以化为(x+1)(x-3)<0,
解得-1
故选A.
答案 A
点评 本题考查一元一次不等式和一元二次不等式的解法,在对不等式进行变形时要考虑最高次项系数的正负,这也是易错点,需要牢记.
9.考向 函数的单调性;分段函数的性质
思路分析 根据题意,函数f(x)=(a-3)x+5,x≤1,2ax,x>1是(-∞,+∞)上的减函数,则分段函数在每一段上都是单调递减的,且在分界点处也是单调递减的,由此得到关于a的不等式组,进而求得a的取值范围.
解析 由函数f(x)=(a-3)x+5,x≤1,2ax,x>1是(-∞,+∞)上的减函数,
得当x≤1时,f(x)=(a-3)x+5单调递减,
则有a-3<0,解得a<3,
当x>1时,f(x)=2ax单调递减,则有a>0,
又函数在(-∞,+∞)上是减函数,所以f(1)≥2a,
即(a-3)+5≥2a,解得a≤2,
综上可得0
点评 本题主要考查分段函数的单调性,本题首先要保证分段函数在每一段上的单调性相同,还要保证分段函数在分界点处也是单调的才可以,这也是同学们容易错的地方,此外熟练掌握基本初等函数的性质是正确解题的关键.
10.考向 函数的奇偶性;函数的单调性
思路分析 根据题意可知f(x)为定义在R上的奇函数,则g(x)=f(x)-x也是定义在R上的奇函数,又因为g(x)在[0,+∞)上为增函数,可得g(x)在R上为增函数,再根据g(x)=f(x)-x,将不等式f(2x-1)-f(x+2)≥x-3转化为g(2x-1)≥g(x+2),利用g(x)的单调性得到2x-1≥x+2,解出x的范围即可.
解析 ∵f(x)为定义在R上的奇函数,则f(-x)=-f(x),
又g(x)=f(x)-x,
∴g(-x)=f(-x)-(-x)=-f(x)+x=-[f(x)-x]=-g(x),
所以g(x)为奇函数,
由对任意的x1,x2∈[0,+∞),当x1
由f(2x-1)-f(x+2)≥x-3⇒f(2x-1)-(2x-1)≥f(x+2)-(x+2),即g(2x-1)≥g(x+2)⇒2x-1≥x+2,解得x≥3,
即不等式的解集为[3,+∞).
故选C.
答案 C
点评 本题考查抽象函数奇偶性、单调性的综合应用.除了掌握单调性的定义外,还经常会用到变式,任取x1,x2∈[a,b]且x1≠x2,那么f(x)在[a,b]上是增函数⇔f(x2)-f(x1)x2-x1>0⇔[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0;题中还涉及到g(x)、f(x)奇偶性和单调性的转化,其中分析条件完成f(2x-1)-f(x+2)≥x-3⇒f(2x-1)-(2x-1)≥f(x+2)-(x+2)⇒g(2x-1)≥g(x+2)的转化是解题的关键,注意体会.本题主要通过逻辑推理能力进行分析解答,体现了数学抽象、逻辑推理的核心素养.
11.考向 基本不等式的应用
思路分析 直接利用基本不等式的性质逐一分析每个选项即可得到答案.
解析 A选项,a2+b2-2ab=(a-b)2≥0对任意a,b∈R恒成立所以对a,b∈R,a2+b2≥2ab恒成立;
B选项,当a=2,b=-1时,a2b+b≥2a显然不成立;
C选项,当a=2,b=-1时,不等式无意义,显然不成立;
D选项,a+b22-ab=a2+2ab+b24-ab=a2-2ab+b24=a-b22≥0对任意a,b∈R恒成立,
所以对a,b∈R,a+b22≥ab恒成立.
故选AD.
答案 AD
点评 本题考查证明不等式的常用方法:比较法、综合法,对于多选题,要判断一个命题正确,应该给出简单证明,要判断一个命题错误,要能够举出反例,这样才能保证结果的准确性,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.
12.考向 函数的图象和性质;函数的奇偶性;函数的单调性
思路分析 根据基本初等函数的性质,结合函数奇偶性的定义、函数单调性的判断规律,对每个选项逐步排除,一一筛选,即可得出结果.
解析 对于A,y=2-|x|=12|x|,在(0,+∞)上是减函数,故不符合;
对于B,f(x)=x23=3x2,
因为f(-x)=3(-x)2=3x2=f(x),
所以f(x)是偶函数,根据幂函数的性质,f(x)=x23在(0,+∞)上是增函数,故符合;
对于C,f(x)=x2-1,
因为f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),
所以f(x)是偶函数,根据二次函数的性质,
f(x)=x2-1在(0,+∞)上是增函数,故符合;
对于D,f(x)=x3,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),
所以f(x)是奇函数,故不符合.
故选BC.
答案 BC
点评 本题主要考查了函数奇偶性的定义以及基本初等函数的性质,综合的知识点较多,着重考查了分析问题和解决问题的能力.
13.考向 函数的单调性;函数的奇偶性
思路分析 由题意知,定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=4x,根据奇函数和偶函数的性质,我们易得关于f(x)、g(x)的另一个方程:-f(x)+g(x)=4-x,然后通过解方程组求出f(x)、g(x)的解析式,根据f(x)、g(x)的解析式对选项分别进行判断即可.
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
因为g(x)是定义在R上的偶函数,
所以g(-x)=g(x),
由f(x)+g(x)=4x, ①
得f(-x)+g(-x)=4-x,
即-f(x)+g(x)=4-x, ②
由①②联立,解得f(x)=12(4x-4-x),g(x)=12(4x+4-x).
A选项,f(1)=12×(41-4-1),g(2)=12×(42+4-2),
显然0
C选项,∀x∈R,总有f(-x)g(-x)+f(x)g(x)=-f(x)g(x)+f(x)g(x)=0,故C正确;
D选项,f(2x)=12(42x-4-2x),
2f(x)g(x)=2×12(4x-4-x)×12(4x+4-x)=12(42x-4-2x),
所以∀x∈R,都有f(2x)=2f(x)g(x),
则∃x0∈R,使得f(2x0)>2f(x0)g(x0)为假命题,
故D错误.
故选ABC.
答案 ABC
点评 本题考查函数的奇偶性,单调性应用以及计算能力,解题过程中利用函数的奇偶性,通过构造方程联立解方程组的方法求函数解析式,注意体会并掌握这一方法,本题综合性较强,考查分析问题解决问题的能力.
14.考向 指数的图象和性质
思路分析 根据指数函数y=ax的图象恒过定点(0,1),令2x-1=0,求出A点坐标即可.
解析 指数函数y=ax的图象恒过定点(0,1),
令2x-1=0,解得x=12,此时y=2,
所以y=a2x-1+1的图象恒过定点A12,2.
答案 12,2
点评 本题主要考查指数函数的图象和性质,熟练掌握基本初等函数的性质是正确解决此类问题的关键.
15.考向 分段函数的概念;函数的周期性;指数函数
思路分析 根据题意,函数f(x)=x2,x>0,ax+1,x≤0,将x=-1,x=-2代入分段函数的解析式即可.
解析 ∵函数f(x)=x2,x>0,ax+1,x≤0,
∴f(-1)=a-1+1=1a+1=4,∴a=13,
∴f(-2)=13-2+1=10,
∴f(f(-2))=f(10)=102=100.
答案 100
点评 本题主要考查了分段函数求值问题以及幂指数的运算,要加强对分段函数的理解,分段函数是指在定义域的不同阶段上的对应法则不同,因此分段函数求函数值时,一定要判断自变量属于哪一段,代入相应的解析式求值,准确进行幂指数运算是完成解答的关键,考查了运算能力.
16.考向 基本不等式的应用
思路分析 根据题意,由已知2a+3b=1(a>0,b>0),代入有3a+2b=(3a+2b)2a+3b,展开并结合基本不等式的性质可得答案.
解析 ∵2a+3b=1(a>0,b>0),
∴3a+2b=(3a+2b)2a+3b
=6+4ba+9ab+6=12+4ba+9ab
≥12+24ba·9ab=24,
当且仅当4ba=9ab,即a=4,b=6时等号成立,所以3a+2b的最小值为24.
答案 24
点评 本题属于条件最值问题,如何使用条件是解题的关键,考查利用基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中①“正”(各项均为正数)、②“定”(各项之和或各项之和为定值)、③“等”(验证等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
17.考向 分段函数的性质;函数的值域;数形结合思想
思路分析 (1)先根据定义求出f(2)=1,将绝对值函数表示成分段函数形式,利用数形结合进行求解即可.
(2)先求出f(-1)=1,将函数表示成分段函数形式,结合a≤-1≤a+2,讨论区间对应函数的最值进行求解即可.
解析 (1)当0≤x≤3时,f(2)=1,
令g(x)=|f(x)-f(x0)|,则
g(x)=|f(x)-f(x0)|=|(x-1)2-1|
=|x(x-2)|=-x(x-2),0≤x≤2,x(x-2),2
即D[0,3](2)=3.
(2)由题意知,f(-1)=-1+2=1,a≤-1≤a+2,
所以-3≤a≤-1,
当-3≤a≤-2时,a≤x≤a+2,
令h(x)=|f(x)-f(x0)|,则h(x)=|f(x)-f(x0)|=|-x2-2x-1|=(x+1)2,h(x)max=4,
当-2
当0
答案 3;[1,4]
点评 本题考查函数新定义的理解和运用,根据题中所给函数的性质合理进行分类讨论,转化为二次函数或者一次函数在闭区间求最值问题,体现了分类讨论、转化与化归思想方法的运用.
18.考向 集合的运算;充分必要条件应用
思路分析 (1)求化简集合B后,根据交集、并集、补集的定义求得结果;
(2)根据题意可知A⊆C,进而可得结果.
解析 (1)因为B={x|-4≤x≤4},
所以A∩B={x|-4≤x<3},
A∪B={x|-6≤x≤4},
故∁R(A∪B)={x|x<-6或x>4}.
(2)由已知得C=xx<-m3,
因为x∈C是x∈A的必要条件,所以A⊆C,
所以-m3≥3,解得m≤-9,
故所求实数m的取值范围为{m|m≤-9}.
点评 本题考查集合的交集、并集、补集的运算,由集合的包含关系求解参数取值范围,关键是能够将“若x∈C是x∈A的必要条件”转化为集合的包含关系,建立含参数的不等式再求解,体现了转化与化归的数学思想.
19.考向 幂指数运算性质的运用
思路分析 (1)化根式为分数指数幂,然后利用幂指数的运算性质化简即可;(2)直接运用幂指数的运算性质化简即可.
解析 (1)80.25×42+(32×3)6-5823+1.6-13×-14130
=234×214+4×27-5813+5813×1=2+108=110.
(2)103m-2n2=103m2-n=103m2÷10n
=(10m)32÷10n=232÷3=223.
点评 本题主要考查幂指数的运算性质:(1)aras=ar+s;
(2)(ar)s=ars;(3)(ab)r=arbr;(4)a-mn=1amn(其中a>0),这些运算性质必须熟记,也是我们准确进行幂指数运算的关键.
20.考向 解一元二次不等式 根与系数关系的综合应用
思路分析 (1)由一元二次不等式与一元二次方程的关系,可得1和b是相应方程的两个实数根,由根与系数的关系,建立关于a、b的方程组,解之即可得到实数a、b的值.
(2)由(1)得所求不等式为x2-(c+2)x+2c≥0,再讨论实数c与2的大小关系,即可得到不等式在各种情况下的解集,得到本题答案.
解析 (1)根据题意,得方程ax2-3x+2=0的两根为1和b,
所以由根与系数的关系,
得1+b=3a,1×b=2a,解得a=1,b=2.
(2)由(1)可得所求不等式为x2-(c+2)x+2c≥0,
因式分解,得(x-2)(x-c)≥0,
当c=2时,不等式为(x-2)2≥0,可得解集为R;
当c>2时,不等式的解集为{x|x≤2或x≥c};
当c<2时,不等式的解集为{x|x≤c或x≥2}.
点评 本题主要考查含参数的一元二次不等式问题,体现了分类讨论思想的应用,理解并掌握“三个二次”的关系,结合判别式以及根与系数的关系不难解决.
21.考向 函数的奇偶性;函数的单调性
思路分析 (1)根据函数奇偶性的定义直接判断即可;
(2)根据函数单调性的定义证明即可.
解析 (1)f(x)为奇函数.
证明如下:当a=1,b=0时,
函数f(x)=xx2+1,定义域为R,
因为∀x∈R,都有-x∈R,且
f(-x)=(-x)(-x)2+1=-xx2+1=-f(x).
所以函数f(x)为奇函数.
(2)证明:当a=0,b=1时,f(x)=xx+1,
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1
=x1(x2+1)-x2(x1+1)(x1+1)(x2+1)
=x1-x2(x1+1)(x2+1),
∵x1,x2∈(0,+∞),且x1
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)
点评 本题考查了奇函数的定义、增函数的定义,奇函数和增函数的证明过程,考查了推理能力和计算能力.
22.考向 函数应用题;二次函数;基本不等式
思路分析 (1)通过利润=销售收入-成本,分0
当x≥40时,
L(x)=5×100x-501x-10000x+4500-2500
=2000-x+10000x.
所以L(x)=-10x2+400x-2500,0
当x≥40时,L(x)=2000-x+10000x≤2000-2x·10000x=2000-200=1800.
当且仅当x=10000x,即x=100时,“=”成立
因为1800>1500,
所以,当x=100时,即2019年生产100百辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为1800万元.
点评 本题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,考查二次函数、基本不等式求最值有关问题的求解,着重考查了分析问题和解决问题的能力,体现了数学建模的核心素养.
23.考向 函数的奇偶性;二次函数的图象和性质
思路分析 (1)利用奇函数的定义可得a的值;
(2)根据题意,利用换元法以及二次函数的性质,通过分类讨论来解决,或者通过参变分离的方法,利用基本不等式求最值即可.
解析 (1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即2-x-a2-x=-2x-a2x,
即2x+12x(a-1)=0对任意x都成立,
故a=1.
(2)h(x)=f(x)+g(x)=34·2x+3a2x+2,
∵h(x)>2+3a,
∴14·2x+a2x>a,
设t=2x,∵x∈(0,+∞),∴t∈(1,+∞).
14·2x+a2x>a可化为14t+at>a,
即t2-4at+4a>0.
以下分两种解法:
解法一:h(x)>2+3a对任意的x∈(0,+∞)恒成立,
即对任意的t∈(1,+∞),t2-4at+4a>0恒成立.
记m(t)=t2-4at+4a,对称轴方程为t=2a,
①当a≤12时,2a≤1,
则m(t)=t2-4at+4a>m(1)=1>0恒成立,
故a≤12成立.
②当a>12时,2a>1,
则m(t)=t2-4at+4a≥m(2a)=-4a2+4a>0,
解得0
故12
解法二:h(x)>2+3a对任意的x∈(0,+∞)恒成立,
即对任意的t∈(1,+∞),t2-4at+4a>0恒成立,
即a
当且仅当t-1=1t-1,即t=2时,“=”成立,∴a<1.
即a的取值范围为(-∞,1).
点评 本题考查函数奇偶性的应用,以及双变量不等式恒成立问题,两种解法分别涉及二次函数通过讨论对称轴和所给区间的关系求最值来解决,或者通过“参变分离”的方法,转化为基本不等式求最值问题;不等式在某个区间上恒成立(或存在性成立)问题的转化方法:首先是“参变分离”,化为(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a;存在x使f(x)≥a成立(或者是f(x)≥a有解)⇔f(x)max≥a;
(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b;存在x使f(x)≤b成立(或者是f(x)≤b有解)⇔f(x)min≤b.
山东省滕州市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 17
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
满分:150分 时间:120分钟
第Ⅰ卷(选择题,共52分)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★)设集合M={0,1},N={-1,0,1},则M∩N= ( )
A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.{-1,0,-1}
2.(★★)命题“∀x∈R,2x≥x+1”的否定是 ( )
A.∀x∈R,2x
C.∀x∉R,2x
A.y=(x)2与y=x
B.y=(3x)3与y=x
C.y=x2与y=(x)2
D.y=3x3与y=x2x
5.(★★)已知a,b∈R,则下列四个条件中,使a>b成立的必要不充分条件是 ( )
A.a3>b3 B.a>b-1
C.a>b+1 D.|a|>|b|
6.(★★)已知x>-2,则x+4x+2的最小值为 ( )
A.-2 B.-1
C.2 D.4
7.(★★)函数y=x-2x-1的图象是 ( )
8.(★★)关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是 ( )
A.(-1,3) B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
9.(★★)已知函数f(x)=(a-3)x+5,x≤1,2ax,x>1是R上的减函数,则a的取值范围是 ( )
A.(0,3) B.(0,3]
C.(0,2) D.(0,2]
10.(★★★)已知f(x)为定义在R上的奇函数,g(x)=f(x)-x,且对任意的x1,x2∈[0,+∞),当x1
C.[3,+∞) D.(-∞,3)
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
11.(★★)设a,b∈R,下列不等式恒成立的有 ( )
A.a2+b2≥2ab B.a2b+b≥2a
C.a+b2≥ab D.a+b22≥ab
12.(★★)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上是增函数的有 ( )
A.y=2-|x| B.y=x23
C.y=x2-1 D.y=x3
13.(★★★)定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足:f(x)+g(x)=4x,下列结论正确的有 ( )
A.f(x)=4x-4-x2,且0
C.∀x∈R,总有f(-x)g(-x)+f(x)g(x)=0
D.∃x0∈R,使得f(2x0)>2f(x0)g(x0)
第Ⅱ卷(非选择题,98分)
三、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
14.(★★)y=a2x-1+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则A点坐标为 .
15.(★★)已知f(x)=x2,x>0,ax+1,x≤0,若f(-1)=4,则
f(f(-2))= .
16.(★★)已知2a+3b=1(a>0,b>0),则3a+2b的最小值为 .
17.(★★★)已知函数f(x),对于任意实数x∈[a,b],当a≤x0≤b时,记|f(x)-f(x0)|的最大值为D[a,b](x0).
(1)若f(x)=(x-1)2,则D[0,3](2)= ;
(2)若f(x)=-x2-2x,x≤0,2-|x-1|,x>0,则D[a,a+2](-1)的取值范围是 .
四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(★★)已知实数集R,集合A={x|-6≤x<3},B={x|x2≤16},C={x|3x+m<0}.
(1)求A∩B,∁R(A∪B);
(2)若x∈C是x∈A的必要条件,求实数m的取值范围.
19.(★★)(1)求值:80.25×42+(32×3)6-5823+1.6-13×-14130;
(2)已知10m=2,10n=3,求103m-2n2的值.
20.(★★) 已知不等式ax2-3x+2<0的解集为{x|1
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc≥0(c∈R).
21.(★★) 已知函数f(x)=xax2+bx+1,a,b为常数.
(1)若a=1,b=0,判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)若a=0,b=1,用定义证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
22.(★★)2019年滕州市某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2500万元.每生产x(百辆)新能源汽车,需另投入成本C(x)万元,且C(x)=10x2+100x,0
(2)2019年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
23.(★★)已知函数f(x)=2x-a2x(a∈R).
(1)若函数f(x)为奇函数,求实数a的值;
(2)设函数g(x)=2-2x-2+a2x-2,且h(x)=f(x)+g(x),已知h(x)>2+3a对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范围.
山东省滕州市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 17
答案全解全析
1.考向 集合的运算
思路分析 直接根据交集定义即可得到所求集合.
解析 集合M={0,1},N={-1,0,1},
由交集的定义,得M∩N={0,1},故选C.
答案 C
点评 本题考查集合运算中的交集运算,熟练掌握集合的基础知识是解答好集合题目的关键.
2.考向 全称命题的否定
思路分析 直接利用全称量词命题的否定是存在量词命题,写出命题的否定命题即可.
解析 因为全称量词命题的否定是存在量词命题,
所以命题“∀x∈R,2x≥x+1”的否定是“∃x0∈R,2x0
答案 D
点评 本题易错点在于误认为存在量词命题与全称量词命题的否定只改变命题量词,或只否定结论导致错误.全称量词命题与存在量词命题的否定,可以将条件和结论看成两部分,分别进行处理,同时在否定结论时注意结论的否定形式,“>”的否定就是“≤”,“<”的否定就是“≥”.
3.考向 不等式性质的应用
思路分析 通过取特殊值举反例或利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论.
解析 A选项,∵a
B选项,∵a
C选项,当c=0时,ac2=bc2,故错误;
D选项,取a=-2,b=-1时,1a>1b,故错误.
故选A.
答案 A
点评 判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简便、准确,如果认为一个命题正确,一定要有简单证明,如果认为一个命题错误,最好能举出反例或者能证明一定不成立,以培养思维的严谨性.
4.考向 函数的概念
思路分析 根据定义域和对应关系完全相同的函数才是同一函数,对选项的定义域、对应关系一一进行分析判断,即可得到结果.
解析 对于A,y=(x)2=x(x≥0)与y=x(x∈R),两个函数的定义域不同,故不是同一函数;
对于B,y=(3x)3=x(x∈R)与y=x(x∈R),两个函数的定义域、对应关系均相同,是同一函数;
对于C,y=x2=|x|(x∈R)与y=(x)2=x(x≥0), 两个函数的定义域不同,故不是同一函数;
对于D,y=3x3=x(x∈R)与y=x2x=x(x≠0),两个函数的定义域不同,故不是同一函数.
故选B.
答案 B
点评 判断两个函数是否为同一函数,可以先从定义域进行分析,若定义域不同,则不是同一函数,定义域相同,再分析对应关系,如果对应关系相同,则为同一函数,如果对应关系不同,则不是同一函数.
5.考向 充分条件与必要条件的判断;一元二次方程根的讨论
思路分析 欲求a>b成立的必要不充分条件,即选择一个“a>b”能推出的条件,但反之不能推出“a>b”的条件,对选项逐一分析即可.
解析 对于A,a>b能推出a3>b3,反过来,a3>b3也能推出a>b,所以a3>b3是a>b成立的充要条件,故不符合要求;
对于B,a>b能推出a>b-1,反过来,a>b-1不能推出a>b,所以a>b-1是a>b成立的必要不充分条件,故符合要求;
对于C,a>b不能推出a>b+1,反过来,a>b+1能推出a>b,所以a>b+1是a>b成立的充分不必要条件,故不符合要求;
对于D,a>b不能推出|a|>|b|,反过来,|a|>|b|也不能推出a>b,所以|a|>|b|是a>b成立的即不充分也不必要条件,故不符合要求.
故选B.
答案 B
点评 本题主要考查充分必要条件的判断,首先要准确理解和掌握充分必要条件的定义:
若P⇒Q,Q⇒/P,则P是Q的充分不必要条件,Q是P的必要不充分条件;如果P⇔Q,则P是Q的充要条件.对于不等式问题可以理解为“小范围可以推出大范围,反之则不成立”.
6.考向 基本不等式应用
思路分析 根据基本不等式成立的条件,通过简单的变形,即可得到所求的最小值.
解析 ∵x>-2,∴x+2>0,
∴x+4x+2=(x+2)+4x+2-2
≥2(x+2)·4x+2-2=4-2=2,
当且仅当x+2=4x+2,即x=0时,取得等号.
所以x+4x+2的最小值为2.
故选C.
答案 C
点评 本题考查利用基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中①“正”(各项均为正数)、②“定”(各项之和或各项之积为定值)、③“等”(验证等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
7.考向 函数的概念;函数图象的变换规律
思路分析 根据题意,y=x-2x-1=1-1x-1,先作出反比例函数y=-1x的图象,再根据图象平移的知识,经过向右平移一个单位,向上平移一个单位即可得到所求函数的图象.
解析 ∵y=x-2x-1=1-1x-1,所以将反比例函数y=-1x的图象先向右平移1个单位得到y=-1x-1的图象,将得到的图象再向上平移1个单位得到y=-1x-1+1的图象,即为所求函数y=x-2x-1的图象,对比选项得到只有B选项符合.故选B.
答案 B
点评 本题考查函数的图象与图象变换,掌握图象变换规律是解题的关键,解题过程中还可以根据定义域以及代入特殊点进行判断,排除不正确选项.
8.考向 一元二次不等式及其解法
思路分析 根据不等式ax-b<0的解集是(1,+∞)得出a=b<0,再化简不等式(ax+b)(x-3)>0,通过解一元二次不等式求得结果.
解析 由关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),
即不等式ax
所以不等式(ax+b)(x-3)>0可以化为(x+1)(x-3)<0,
解得-1
故选A.
答案 A
点评 本题考查一元一次不等式和一元二次不等式的解法,在对不等式进行变形时要考虑最高次项系数的正负,这也是易错点,需要牢记.
9.考向 函数的单调性;分段函数的性质
思路分析 根据题意,函数f(x)=(a-3)x+5,x≤1,2ax,x>1是(-∞,+∞)上的减函数,则分段函数在每一段上都是单调递减的,且在分界点处也是单调递减的,由此得到关于a的不等式组,进而求得a的取值范围.
解析 由函数f(x)=(a-3)x+5,x≤1,2ax,x>1是(-∞,+∞)上的减函数,
得当x≤1时,f(x)=(a-3)x+5单调递减,
则有a-3<0,解得a<3,
当x>1时,f(x)=2ax单调递减,则有a>0,
又函数在(-∞,+∞)上是减函数,所以f(1)≥2a,
即(a-3)+5≥2a,解得a≤2,
综上可得0
点评 本题主要考查分段函数的单调性,本题首先要保证分段函数在每一段上的单调性相同,还要保证分段函数在分界点处也是单调的才可以,这也是同学们容易错的地方,此外熟练掌握基本初等函数的性质是正确解题的关键.
10.考向 函数的奇偶性;函数的单调性
思路分析 根据题意可知f(x)为定义在R上的奇函数,则g(x)=f(x)-x也是定义在R上的奇函数,又因为g(x)在[0,+∞)上为增函数,可得g(x)在R上为增函数,再根据g(x)=f(x)-x,将不等式f(2x-1)-f(x+2)≥x-3转化为g(2x-1)≥g(x+2),利用g(x)的单调性得到2x-1≥x+2,解出x的范围即可.
解析 ∵f(x)为定义在R上的奇函数,则f(-x)=-f(x),
又g(x)=f(x)-x,
∴g(-x)=f(-x)-(-x)=-f(x)+x=-[f(x)-x]=-g(x),
所以g(x)为奇函数,
由对任意的x1,x2∈[0,+∞),当x1
由f(2x-1)-f(x+2)≥x-3⇒f(2x-1)-(2x-1)≥f(x+2)-(x+2),即g(2x-1)≥g(x+2)⇒2x-1≥x+2,解得x≥3,
即不等式的解集为[3,+∞).
故选C.
答案 C
点评 本题考查抽象函数奇偶性、单调性的综合应用.除了掌握单调性的定义外,还经常会用到变式,任取x1,x2∈[a,b]且x1≠x2,那么f(x)在[a,b]上是增函数⇔f(x2)-f(x1)x2-x1>0⇔[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0;题中还涉及到g(x)、f(x)奇偶性和单调性的转化,其中分析条件完成f(2x-1)-f(x+2)≥x-3⇒f(2x-1)-(2x-1)≥f(x+2)-(x+2)⇒g(2x-1)≥g(x+2)的转化是解题的关键,注意体会.本题主要通过逻辑推理能力进行分析解答,体现了数学抽象、逻辑推理的核心素养.
11.考向 基本不等式的应用
思路分析 直接利用基本不等式的性质逐一分析每个选项即可得到答案.
解析 A选项,a2+b2-2ab=(a-b)2≥0对任意a,b∈R恒成立所以对a,b∈R,a2+b2≥2ab恒成立;
B选项,当a=2,b=-1时,a2b+b≥2a显然不成立;
C选项,当a=2,b=-1时,不等式无意义,显然不成立;
D选项,a+b22-ab=a2+2ab+b24-ab=a2-2ab+b24=a-b22≥0对任意a,b∈R恒成立,
所以对a,b∈R,a+b22≥ab恒成立.
故选AD.
答案 AD
点评 本题考查证明不等式的常用方法:比较法、综合法,对于多选题,要判断一个命题正确,应该给出简单证明,要判断一个命题错误,要能够举出反例,这样才能保证结果的准确性,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.
12.考向 函数的图象和性质;函数的奇偶性;函数的单调性
思路分析 根据基本初等函数的性质,结合函数奇偶性的定义、函数单调性的判断规律,对每个选项逐步排除,一一筛选,即可得出结果.
解析 对于A,y=2-|x|=12|x|,在(0,+∞)上是减函数,故不符合;
对于B,f(x)=x23=3x2,
因为f(-x)=3(-x)2=3x2=f(x),
所以f(x)是偶函数,根据幂函数的性质,f(x)=x23在(0,+∞)上是增函数,故符合;
对于C,f(x)=x2-1,
因为f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),
所以f(x)是偶函数,根据二次函数的性质,
f(x)=x2-1在(0,+∞)上是增函数,故符合;
对于D,f(x)=x3,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),
所以f(x)是奇函数,故不符合.
故选BC.
答案 BC
点评 本题主要考查了函数奇偶性的定义以及基本初等函数的性质,综合的知识点较多,着重考查了分析问题和解决问题的能力.
13.考向 函数的单调性;函数的奇偶性
思路分析 由题意知,定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=4x,根据奇函数和偶函数的性质,我们易得关于f(x)、g(x)的另一个方程:-f(x)+g(x)=4-x,然后通过解方程组求出f(x)、g(x)的解析式,根据f(x)、g(x)的解析式对选项分别进行判断即可.
解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
因为g(x)是定义在R上的偶函数,
所以g(-x)=g(x),
由f(x)+g(x)=4x, ①
得f(-x)+g(-x)=4-x,
即-f(x)+g(x)=4-x, ②
由①②联立,解得f(x)=12(4x-4-x),g(x)=12(4x+4-x).
A选项,f(1)=12×(41-4-1),g(2)=12×(42+4-2),
显然0
C选项,∀x∈R,总有f(-x)g(-x)+f(x)g(x)=-f(x)g(x)+f(x)g(x)=0,故C正确;
D选项,f(2x)=12(42x-4-2x),
2f(x)g(x)=2×12(4x-4-x)×12(4x+4-x)=12(42x-4-2x),
所以∀x∈R,都有f(2x)=2f(x)g(x),
则∃x0∈R,使得f(2x0)>2f(x0)g(x0)为假命题,
故D错误.
故选ABC.
答案 ABC
点评 本题考查函数的奇偶性,单调性应用以及计算能力,解题过程中利用函数的奇偶性,通过构造方程联立解方程组的方法求函数解析式,注意体会并掌握这一方法,本题综合性较强,考查分析问题解决问题的能力.
14.考向 指数的图象和性质
思路分析 根据指数函数y=ax的图象恒过定点(0,1),令2x-1=0,求出A点坐标即可.
解析 指数函数y=ax的图象恒过定点(0,1),
令2x-1=0,解得x=12,此时y=2,
所以y=a2x-1+1的图象恒过定点A12,2.
答案 12,2
点评 本题主要考查指数函数的图象和性质,熟练掌握基本初等函数的性质是正确解决此类问题的关键.
15.考向 分段函数的概念;函数的周期性;指数函数
思路分析 根据题意,函数f(x)=x2,x>0,ax+1,x≤0,将x=-1,x=-2代入分段函数的解析式即可.
解析 ∵函数f(x)=x2,x>0,ax+1,x≤0,
∴f(-1)=a-1+1=1a+1=4,∴a=13,
∴f(-2)=13-2+1=10,
∴f(f(-2))=f(10)=102=100.
答案 100
点评 本题主要考查了分段函数求值问题以及幂指数的运算,要加强对分段函数的理解,分段函数是指在定义域的不同阶段上的对应法则不同,因此分段函数求函数值时,一定要判断自变量属于哪一段,代入相应的解析式求值,准确进行幂指数运算是完成解答的关键,考查了运算能力.
16.考向 基本不等式的应用
思路分析 根据题意,由已知2a+3b=1(a>0,b>0),代入有3a+2b=(3a+2b)2a+3b,展开并结合基本不等式的性质可得答案.
解析 ∵2a+3b=1(a>0,b>0),
∴3a+2b=(3a+2b)2a+3b
=6+4ba+9ab+6=12+4ba+9ab
≥12+24ba·9ab=24,
当且仅当4ba=9ab,即a=4,b=6时等号成立,所以3a+2b的最小值为24.
答案 24
点评 本题属于条件最值问题,如何使用条件是解题的关键,考查利用基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中①“正”(各项均为正数)、②“定”(各项之和或各项之和为定值)、③“等”(验证等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
17.考向 分段函数的性质;函数的值域;数形结合思想
思路分析 (1)先根据定义求出f(2)=1,将绝对值函数表示成分段函数形式,利用数形结合进行求解即可.
(2)先求出f(-1)=1,将函数表示成分段函数形式,结合a≤-1≤a+2,讨论区间对应函数的最值进行求解即可.
解析 (1)当0≤x≤3时,f(2)=1,
令g(x)=|f(x)-f(x0)|,则
g(x)=|f(x)-f(x0)|=|(x-1)2-1|
=|x(x-2)|=-x(x-2),0≤x≤2,x(x-2),2
即D[0,3](2)=3.
(2)由题意知,f(-1)=-1+2=1,a≤-1≤a+2,
所以-3≤a≤-1,
当-3≤a≤-2时,a≤x≤a+2,
令h(x)=|f(x)-f(x0)|,则h(x)=|f(x)-f(x0)|=|-x2-2x-1|=(x+1)2,h(x)max=4,
当-2
当0
答案 3;[1,4]
点评 本题考查函数新定义的理解和运用,根据题中所给函数的性质合理进行分类讨论,转化为二次函数或者一次函数在闭区间求最值问题,体现了分类讨论、转化与化归思想方法的运用.
18.考向 集合的运算;充分必要条件应用
思路分析 (1)求化简集合B后,根据交集、并集、补集的定义求得结果;
(2)根据题意可知A⊆C,进而可得结果.
解析 (1)因为B={x|-4≤x≤4},
所以A∩B={x|-4≤x<3},
A∪B={x|-6≤x≤4},
故∁R(A∪B)={x|x<-6或x>4}.
(2)由已知得C=xx<-m3,
因为x∈C是x∈A的必要条件,所以A⊆C,
所以-m3≥3,解得m≤-9,
故所求实数m的取值范围为{m|m≤-9}.
点评 本题考查集合的交集、并集、补集的运算,由集合的包含关系求解参数取值范围,关键是能够将“若x∈C是x∈A的必要条件”转化为集合的包含关系,建立含参数的不等式再求解,体现了转化与化归的数学思想.
19.考向 幂指数运算性质的运用
思路分析 (1)化根式为分数指数幂,然后利用幂指数的运算性质化简即可;(2)直接运用幂指数的运算性质化简即可.
解析 (1)80.25×42+(32×3)6-5823+1.6-13×-14130
=234×214+4×27-5813+5813×1=2+108=110.
(2)103m-2n2=103m2-n=103m2÷10n
=(10m)32÷10n=232÷3=223.
点评 本题主要考查幂指数的运算性质:(1)aras=ar+s;
(2)(ar)s=ars;(3)(ab)r=arbr;(4)a-mn=1amn(其中a>0),这些运算性质必须熟记,也是我们准确进行幂指数运算的关键.
20.考向 解一元二次不等式 根与系数关系的综合应用
思路分析 (1)由一元二次不等式与一元二次方程的关系,可得1和b是相应方程的两个实数根,由根与系数的关系,建立关于a、b的方程组,解之即可得到实数a、b的值.
(2)由(1)得所求不等式为x2-(c+2)x+2c≥0,再讨论实数c与2的大小关系,即可得到不等式在各种情况下的解集,得到本题答案.
解析 (1)根据题意,得方程ax2-3x+2=0的两根为1和b,
所以由根与系数的关系,
得1+b=3a,1×b=2a,解得a=1,b=2.
(2)由(1)可得所求不等式为x2-(c+2)x+2c≥0,
因式分解,得(x-2)(x-c)≥0,
当c=2时,不等式为(x-2)2≥0,可得解集为R;
当c>2时,不等式的解集为{x|x≤2或x≥c};
当c<2时,不等式的解集为{x|x≤c或x≥2}.
点评 本题主要考查含参数的一元二次不等式问题,体现了分类讨论思想的应用,理解并掌握“三个二次”的关系,结合判别式以及根与系数的关系不难解决.
21.考向 函数的奇偶性;函数的单调性
思路分析 (1)根据函数奇偶性的定义直接判断即可;
(2)根据函数单调性的定义证明即可.
解析 (1)f(x)为奇函数.
证明如下:当a=1,b=0时,
函数f(x)=xx2+1,定义域为R,
因为∀x∈R,都有-x∈R,且
f(-x)=(-x)(-x)2+1=-xx2+1=-f(x).
所以函数f(x)为奇函数.
(2)证明:当a=0,b=1时,f(x)=xx+1,
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1
=x1(x2+1)-x2(x1+1)(x1+1)(x2+1)
=x1-x2(x1+1)(x2+1),
∵x1,x2∈(0,+∞),且x1
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)
点评 本题考查了奇函数的定义、增函数的定义,奇函数和增函数的证明过程,考查了推理能力和计算能力.
22.考向 函数应用题;二次函数;基本不等式
思路分析 (1)通过利润=销售收入-成本,分0
当x≥40时,
L(x)=5×100x-501x-10000x+4500-2500
=2000-x+10000x.
所以L(x)=-10x2+400x-2500,0
当x≥40时,L(x)=2000-x+10000x≤2000-2x·10000x=2000-200=1800.
当且仅当x=10000x,即x=100时,“=”成立
因为1800>1500,
所以,当x=100时,即2019年生产100百辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为1800万元.
点评 本题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,考查二次函数、基本不等式求最值有关问题的求解,着重考查了分析问题和解决问题的能力,体现了数学建模的核心素养.
23.考向 函数的奇偶性;二次函数的图象和性质
思路分析 (1)利用奇函数的定义可得a的值;
(2)根据题意,利用换元法以及二次函数的性质,通过分类讨论来解决,或者通过参变分离的方法,利用基本不等式求最值即可.
解析 (1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即2-x-a2-x=-2x-a2x,
即2x+12x(a-1)=0对任意x都成立,
故a=1.
(2)h(x)=f(x)+g(x)=34·2x+3a2x+2,
∵h(x)>2+3a,
∴14·2x+a2x>a,
设t=2x,∵x∈(0,+∞),∴t∈(1,+∞).
14·2x+a2x>a可化为14t+at>a,
即t2-4at+4a>0.
以下分两种解法:
解法一:h(x)>2+3a对任意的x∈(0,+∞)恒成立,
即对任意的t∈(1,+∞),t2-4at+4a>0恒成立.
记m(t)=t2-4at+4a,对称轴方程为t=2a,
①当a≤12时,2a≤1,
则m(t)=t2-4at+4a>m(1)=1>0恒成立,
故a≤12成立.
②当a>12时,2a>1,
则m(t)=t2-4at+4a≥m(2a)=-4a2+4a>0,
解得0
故12
解法二:h(x)>2+3a对任意的x∈(0,+∞)恒成立,
即对任意的t∈(1,+∞),t2-4at+4a>0恒成立,
即a
当且仅当t-1=1t-1,即t=2时,“=”成立,∴a<1.
即a的取值范围为(-∞,1).
点评 本题考查函数奇偶性的应用,以及双变量不等式恒成立问题,两种解法分别涉及二次函数通过讨论对称轴和所给区间的关系求最值来解决,或者通过“参变分离”的方法,转化为基本不等式求最值问题;不等式在某个区间上恒成立(或存在性成立)问题的转化方法:首先是“参变分离”,化为(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a;存在x使f(x)≥a成立(或者是f(x)≥a有解)⇔f(x)max≥a;
(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b;存在x使f(x)≤b成立(或者是f(x)≤b有解)⇔f(x)min≤b.
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