6、北京人大附中2019-2020学年高一上学期期中数学试卷（教师版）

这是一份6、北京人大附中2019-2020学年高一上学期期中数学试卷（教师版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019~2020学年度高一年级模块检测试题

高一数学
满分150分　时间:120分钟

第Ⅰ卷(共17题,满分100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每个题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)
1.(★)集合X={x∈Z|-3 A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}
关键点　必修1第一章集合与函数的概念1.1集合.
考向　集合间的运算.
分析　根据题意先分别化简集合X,Y,再由交集的定义求出X∩Y.
解析　∵X={x∈Z|-3 答案　B
点评　本题考查集合的表示方法及集合的交集运算.
2.(★★)下列各组函数是同一函数的是(　　)
A.y=|x|x与y=1 B.y=(x-1)2与y=x-1
C.y=x2x与y=x D.y=x3+xx2+1与y=x
关键点　必修1第一章集合与函数的概念1.2函数及其表示.
考向　同一函数的判断.
解析　A中,y=|x|x=1,x>0,-1,x<0与y=1的定义域和对应关系都不同,故A不符合题意.
B中,y=(x-1)2=|x-1|=x-1,x≥1,1−x,x<1　与y=x-1的对应关系不同,故B不符合题意.
C中,y=x2x的定义域为{x|x≠0},y=x的定义域为R,两个函数的定义域不同,故C不符合题意.
D中,y=x3+xx2+1的定义域为R,且y=x3+xx2+1=x(x2+1)x2+1=x,与y=x的定义域和对应关系都相同,是同一函数,故D符合题意.故选D.
答案　D
点评　判断两个函数是不是同一函数可以先从定义域进行分析,若定义域不同,则不是同一函数,若定义域相同,再分析对应关系,若对应关系相同,则为同一函数,若对应关系不同,则不是同一函数.
3.(★★)下列函数中,在区间(0,2)上是增函数的是(　　)
A.y=-x+1 B.y=x2-4x+5
C.y=x D.y=1x
关键点　必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质.
考向　利用函数单调性的定义判断函数的单调性.
解析　A中,y=-x+1是一次函数,在(0,2)上为减函数;
B中,y=x2-4x+5是二次函数,其图象的对称轴是x=2,所以在(0,2)上为减函数;
C中,y=x=x12是幂函数,在(0,2)上是增函数;
D中,y=1x是反比例函数,在(0,2)上为减函数.故选C.
答案　C
点评　要熟练掌握基本初等函数的单调性,一次函数单调性的判断:y=kx+b(k≠0).当k>0时,函数在R上为增函数,当k<0时,函数在R上为减函数.二次函数单调性的判断:y=ax2+bx+c(a≠0),当a>0时,函数在-∞,-b2a上递减,在-b2a,+∞上递增,当a<0时,函数在-∞,-b2a上递增,在-b2a,+∞上递减.幂函数y=xa,当a>0时,函数在(0,+∞)上是增函数,当a<0时,在(0,+∞)上为减函数.
4.(★★)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为(　　)
A.对任意x∈R,都有x2<0 B.不存在x∈R,使得x2<0
C.存在x∈R,使得x2≥0 D.存在x∈R,使得x2<0
关键点　选修2-1,第一章常用逻辑用法1.4全称量词与存在量词.
考向　全称量词命题的否定.
分析　根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断即可.
解析　全称量词命题的否定是先改变量词,再对结论进行否定,所以命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x∈R,使得x2<0”,故选D.
答案　D
5.(★★)已知函数f(x)的图象是两条线段(如图,不含端点),则ff13=(　　)

A.-13 B.13 C.-23 D.23
关键点　必修1第一章集合与函数概念1.2函数及其表示.
考向　分段函数的有关计算.
分析　先根据函数的图象写出函数的解析式,再根据解析式由内向外求出函数值.
解析　由函数图象可得f(x)=x+1,−1 则f-23=-23+1=13,∴ff13=f-23=13.故选B.
答案　B
点评　本题考查分段函数求值,首先通过图象求出函数解析式,再计算函数值.
6.(★★)已知a,b是实数,则“a>b>0且c>d>0”是“ad>bc”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
关键点　必修5第3章3.1不等式关系与不等式,选修2-1第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件.
考向　考查不等式的性质和充分、必要条件的判断.
解析　根据不等式的性质可知,由“a>b>0且c>d>0”可推出“ad>bc”,但“ad>bc”不能推出“a>b>0且c>d>0”,例如a=1,d=2,c=-3,b=4,满足“ad>bc”,推不出“a>b>0且c>d>0”,所以是充分不必要条件,故选A.
答案　A
7.(★★)下图是吴老师散步时离家距离y与行走时间x之间的函数关系的图象,若用黑点表示吴老师家的位置,则吴老师散步行走的路线可能是(　　)



关键点　必修1第一章集合与函数概念1.2函数表示法.
考向　本题考查了函数的概念及读图识图能力.
分析　由所给图象可知,吴老师刚开始一段时间离家越来越远,然后有一段时间离家的距离不变,然后离家越来越近,结合图象逐项排除.
解析　根据函数图象可知,吴老师离家越来越远,有一段时间离家距离不变,说明他走的是一段弧线,然后离家越来越近直至回家,分析四个选项可知只有D符合,故选D.
答案　D
点评　本题考查实际问题中对应函数图象问题,体现直观想象的数学素养.
8.(★★)已知集合M={x∈R|5-|2x-3|为正整数},则M的所有非空真子集的个数是(　　)
A.30 B.31 C.510 D.511
关键点　必修1第一章集合与函数概念1.1集合.
考向　集合的表示方法以及真子集的概念.
分析　根据5-|2x-3|为正整数可计算出集合M中的元素,然后根据非空真子集个数的计算公式2n-2(n是元素个数)计算出结果.
解析　由5-|2x-3|为正整数可得|2x-3|的值为0,1,2,3,4,所以2x-3的值为0,±1,±2,±3,±4,共9个值,对应的x为32,2,1,52,12,3,0,72,-12,共9个值.
∴M=-12,0,12,1,32,2,52,3,72,有9个元素,所以M的非空真子集的个数为29-2=510,故选C.
答案　C
点评　本题考查用列举法表示集合以及计算集合的非空真子集的个数.一个集合中含有n个元素,则集合的子集的个数为2n;集合的真子集的个数为2n-1;非空真子集的个数为2n-2.
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,请把结果填在答题纸上的相应位置)
9.(★)方程组3x+y=2,2x-3y=27的解用列举法表示为　　　　. 
关键点　必修1第一章集合与函数的概念1.1集合.
考向　二元一次方程组的解法及用列举法表示集合.
答案　{(3,-7)}
解析　∵3x+y=2,2x-3y=27,∴x=3,y=−7.∴用列举法表示为{(3,-7)}.
10.(★★)已知函数f(x)=x+2,x≤0,-x+2,x>0,则方程f(x)=x2的解为　　　　. 
关键点　必修1第三章函数的应用3.1函数与方程.
考向　分段函数以及函数与方程的简单应用.
分析　考虑x≤0和x>0时f(x)=x2的解,求出解后注意判断是否满足定义域的要求.
解析　当x≤0时,f(x)=x+2,代入f(x)=x2得x+2=x2,即x2-x-2=0,解得x=-1或x=2,
∵x=2不满足x≤0,故舍去,此时方程的解为x=-1.
当x>0时,f(x)=-x+2,代入f(x)=x2得-x+2=x2,即x2+x-2=0,解得x=1或x=-2(舍).综上,原方程的解为{-1,1}.
答案　{-1,1}
点评　本题考查函数与方程的简单应用,已知f(x)是分段函数,求方程f(x)=x2的解时,可分段考虑,求出每一段符合要求的解,最后得出结果.
11.(★★)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/吨,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总费用之和最小,则x的值是　　　　. 
关键点　必修1第三章函数的应用3.2函数模型及其应用,必修5第三章不等式3.4基本不等式:ab≤a+b2.
考向　利用函数模型以及基本不等式解决实际问题并求出实际问题的最优解.
分析　列出一年的总费用与总存储费用之和的表达式,利用基本不等式即可得出.
解析　由题意可得,一年的总费用包括一年的总运费与总存储费用之和.
∴总费用=600x×6+4x=4x+900x≥4×2900=240(万元),
当且仅当x=900x,即x=30时等号成立,故答案为30.
答案　30
点评　在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中一正,二定,三相等,否则会出现错误.
12.(★★)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(1,4)上不是单调函数,那么实数a的取值范围是　　　　. 
关键点　必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质.
考向　二次函数单调性的应用.
答案　(-3,0)
解析　函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的图象开口向上,且对称轴为x=1-a.
∵函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(1,4)上不是单调函数,
∴1<1-a<4,解得-3 点评　判断二次函数的单调性,可以通过二次函数图象的开口方向以及对称轴来进行分析:图象开口向上,在对称轴左侧单调递减,在对称轴右侧单调递增;图象开口向下,在对称轴左侧单调递增,在对称轴右侧单调递减.
13.(★★★)几位同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时给出了下面几个结论:
①函数f(x)的值域为(-1,1);
②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);
③f(x)在(0,+∞)上是增函数;
④若规定f1(x)=f(x),且对任意正整数n都有:fn+1(x)=f(fn(x)),则fn(x)=x1+n|x|对任意n∈N*成立.
上述结论中正确结论的序号为　　　　　　　. 
关键点　必修1集合与函数概念1.3函数的基本性质.
考向　函数的值域、单调性、奇偶性的综合运用.
分析　函数f(x)=x1+|x|满足f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,求当x≥0时的值域,单调性即可判断出①②③是否正确,再利用归纳推理判断④是否正确.
解析　∵f(x)=x1+|x|满足f(-x)=-x1+|−x|=-x1+|x|=-f(x),
∴函数f(x)=x1+|x|为奇函数.
又∵x≥0时,f(x)=x1+x=1-11+x∈[0,1),
∴函数f(x)的值域为(-1,1),故①正确.
∵x≥0,f(x)=x1+x=1-11+x在[0,+∞)上是单调递增函数,∴由奇函数的性质知,函数f(x)=x1+|x|在R上是单调增函数,
∴若x1≠x2则一定有f(x1)≠f(x2).
f2(x)=f(f1(x))=x1+|x|1+|x|1+|x|=x1+2|x|,同理,可求得f3(x)=x1+3|x|,由归纳推理可得fn(x)=x1+n|x|对任意n∈N*成立,所以④正确.故答案为①②③④.
答案　①②③④
点评　本题考查函数的值域、单调性、奇偶性的综合应用,可以先判断函数的奇偶性,利用函数的奇偶性来简化有关求函数值域、单调性等问题.本题还考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
14.(★★★)函数f(x)=2x2-4x+1,g(x)=2x+a,若存在x1,x2∈12,2,使得f(x1)=g(x2),则a的取值范围是　　　　. 

关键点　必修1第三章函数的应用3.1函数与方程.
考向　函数的值域、函数与方程的综合问题.
答案　[-5,0]
解析　因为f(x)=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,所以当x1∈12,2时,f(x1)∈[-1,1].
因为g(x)=2x+a,所以当x2∈12,2时,g(x2)∈[a+1,a+4].
当[-1,1]∩[a+1,a+4]=⌀时,有a+1>1或a+4<-1,得a>0或a<-5.
故当[-1,2]∩[a+1,a+4]≠⌀时,-5≤a≤0,故答案为[-5,0].
点评　本题考查根据函数值域的关系求解参数的取值范围.当两个函数的值域的交集不为空集时,若从正面分析参数的取值范围较复杂,可考虑交集为空集时对应参数的取值范围,再求其补集,从而得到所求结果,体现了“正难则反”的数学思想方法的应用.
三、解答题(本大题共3小题,每题10分,共30分,解答应写出文字说明过程或演算步骤,请将答案写在答题纸上的相应位置)
15.(★★)设全集是实数集R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}.
(1)当a=-4时,求A∩B和A∪B;
(2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围.
关键点　必修1第一章集合与函数概念1.1集合.
考向　集合的运算以及一元二次不等式的解法.
分析　(1)当a=-4时,求出集合B,然后根据交集、并集的定义即可求出.
(2)由(∁RA)∩B=B,可得B⊆∁RA,即可求解.
解析　(1)由题意得A=x12≤x≤3.
当a=-4时,B={x|-2 ∴A∩B=x12≤x<2,A∪B={x|-2 (2)由(1)得∁RA=xx<12或x>3,由(∁RA)∩B=B,得B⊆∁RA.
①当B=⌀,即a≥0时,满足B⊆∁RA.
②当B≠⌀,即a<0时,B={x|--a 要使B⊆∁RA,需-a≤12,解得-14≤a,又a<0,所以-14≤a<0.
综上可得,实数a的取值范围是aa≥−14.
点评　本题重点考查集合的交集、并集、补集的运算.需要注意的是在求解第(2)问时需分集合B=⌀和B≠⌀两种情况讨论.体现了分类讨论数学思想的应用.
16.(★★)已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R).
(1)已知f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤1},求实数b,c的值;
(2)已知c=b2+2b+3,设x1,x2是关于x的方程f(x)=0的两根,且(x1+1)(x2+1)=8,求实数b的值;
(3)已知f(x)满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内,求实数b的取值范围.
关键点　必修1第三章函数的应用3.1函数与方程.
考向　一元二次方程根与系数关系的应用,三个“二次”关系在解题中的应用.
解析　(1)因为f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤1},所以-1和1是方程x2+2bx+c=0的两根,则-2b=−1+1,c=(−1)×1,所以b=0,c=-1.
(2)∵c=b2+2b+3,∴f(x)=x2+2bx+b2+2b+3.
由题意得x2+2bx+b2+2b+3=0,∴x1+x2=-2b,x1x2=b2+2b+3.
∵(x1+1)(x2+1)=8,∴x1x2+(x1+x2)+1=8,∴b2+2b+3-2b+1=8,
∴b2=4,∴b=±2.
当b=-2时,f(x)=x2-4x+3,符合题意.
当b=2时,f(x)=x2+4x+11,此时f(x)=0无解,所以不符合题意.
综上,b=-2.
(3)因为f(1)=0,所以1+2b+c=0,所以c=-1-2b.
记g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x+b+c=x2+(2b+1)x-(b+1).
∵g(x)=0的两根分别在区间(-3,-2),(0,1)内,
∴g(-3)=5-7b>0,g(-2)=1-5b<0,g(0)=-(1+b)<0,g(1)=b+1>0,解得b∈15,57,
则b的取值范围是15,57.
点评　本题考查由一元二次不等式的解集求参数以及二次函数的零点分布问题.
(1)一元二次不等式的解集的端点值对应一元二次方程的根.
(2)一元二次方程根的分布问题可转化为二次函数零点分布问题.
(3)利用根与系数关系解决与一元二次方程根有关问题时,要注意前提条件是一元二次方程必须有根,所以需要对结果进行检验.
17.(★★)已知函数f(x)=x+4x.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)指出该函数在区间(0,2]上的单调性,并用函数单调性的定义证明;
(3)已知函数g(x)=f(x),x>0,5,x=0,-f(x),x<0,当x∈[-1,t]时,g(x)的取值范围是[5,+∞).求实数t的取值范围.(只需写出答案)
关键点　必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质.
考向　函数的奇偶性,函数的单调性,分段函数性质的应用.
分析　(1)先求函数的定义域,然后根据奇偶性的定义判断函数f(x)的奇偶性.
(2)利用单调性的定义,证明f(x)在(0,2]上的单调性即可.
(3)作出g(x)的图象,根据图象求t的取值范围.
解析　(1)由题意得f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
∵f(-x)=(-x)+4(-x)=-x-4x=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)f(x)在(0,2]上单调递减.
证明:任取x1,x2∈(0,2]且x1 则f(x1)-f(x2)=x1+4x1-x2+4x2=(x1-x2)+4x1-4x2
=(x1-x2)+4(x2-x1)x1x2=(x1-x2)(x1x2-4)x1x2.
∵0 ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(0,2]上单调递减.
(3)t∈[0,1].
提示:∵f(x)=x+4x是“对勾函数”,∴作出g(x)的图象,如图.

从图中可以得出当值域为[5,+∞)时,t∈[0,1].
点评　(1)判断函数的奇偶性时,首先判断函数的定义域是否关于原点对称,若不对称,则是非奇非偶函数,若对称,再判断f(x)与f(-x)的关系,由此得到函数的奇偶性,有时也会利用变式来判断:奇函数需满足f(-x)+f(x)=0,偶函数需满足f(-x)-f(x)=0.
(2)用定义法证明函数单调性的一般步骤:取值,作差,变形,判断符号,得结论.
(3)要掌握对勾函数f(x)=x+ax(a>0)的单调性,增区间为(-∞,-a),(a,+∞),减区间为(-a,0),(0,a).
第Ⅱ卷(共7道题,满分50分)
四、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
18.(★★)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:
x
1
2
3
f(x)
2
1
3

x
1
2
3
g(x)
3
2
1

则方程g[f(x)]=x+1的解为(　　)
A.{1} B.{2} C.{1,2} D.{1,2,3}
关键点　必修1第一章集合与函数概念1.2函数及其表示.
考向　函数的定义,复合函数的概念.
分析　把x=1、2、3分别代入方程g[f(x)]=x+1进行检验,若满足,则是方程的解,若不满足,则不是方程的解.
解析　当x=1时,g[f(1)]=g(2)=2=1+1,∴x=1是方程的解.
当x=2时,g[f(2)]=g(1)=3=2+1,∴x=2是方程的解.
当x=3时,g[f(3)]=g(3)=1≠3+1,∴x=3不是方程的解,故选C.
答案　C
点评　本题考查根据函数的自变量与函数值的对应关系求方程的解,求形如f[g(x)]的复合函数值时,可先计算出内层函数g(x)的值,然后根据g(x)的值,计算外层函数f[g(x)]的值.
19.(★★)已知f(x)是定义在(-4,4)上的偶函数,且在(-4,0]上是增函数,若f(a) A.(-3,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞)
C.(-4,-3) D.(-4,-3)∪(3,4)
关键点　必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质.
考向　函数单调性,奇偶性的综合应用.
分析　由函数f(x)是定义在(-4,4)上的偶函数,可得f(-x)=f(x)=f(|x|),再结合f(x)的单调性,即可求得实数a的取值范围.
解析　∵f(x)是定义在(-4,4)上的偶函数,
∴f(-x)=f(x)=f(|x|),∴f(a) 又∵f(x)在(-4,0]上是增函数,
∴|a|>3,-4 ∴a的取值范围是(-4,-3)∪(3,4).故选D.
答案　D
点评　本题考查根据函数的单调性,奇偶性求解参数的范围,利用f(-x)=f(x)=f(|x|)的转化可避免对参数的讨论.
20.(★★★)已知函数f(x)=x2-2ax+5在x∈[1,3]上有零点,则正数a的所有可能的值的集合为(　　)
A.73,3 B.[5,+∞) D.[5,3] D.(0,5]
关键点　必修1第三章函数的应用3.1函数与方程.
考向　与二次函数零点有关的分类讨论问题.
分析　考虑函数f(x)在区间[1,3]上有一个零点,有两个零点进行讨论.即可解出正数a的所有可能的值的集合.
解析　①当f(x)在R上仅有一个零点时,Δ=4a2-20=0(a>0),∴a=5,
此时零点x=5∈[1,3],所以a=5成立.
②当f(x)在R上有两个零点时,其中有一个零点在[1,3]上,此时f(1)·f(3)≤0,
即(6-2a)(14-6a)≤0,解得73≤a≤3.
当f(x)在[1,3]上有两个零点时,需满足条件Δ=4a2-20>0,1 综上所述,正数a的取值集合为[5,3].故选C.
答案　C
点评　二次函数零点分布的问题一般从判别式,图象的对称轴位置,区间端点函数值等方面来考虑.
五、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
21.(★★)已知函数f(x)=1−x+x+3,则函数f(x)的最大值为　　　　,函数f(x)的最小值为　　　　. 
关键点　必修1第一章集合函数概念1.3函数的基本性质.
考向　求函数的最值.
答案　22;2
解析　[f(x)]2=(1−x+x+3)2=4+24−(x+1)2,x∈[-3,1].
当x=-1时,[f(x)]2取得最大值8,所以f(x)max=22.
当x=-3或1时,[f(x)]2取得最小值4,所以f(x)min=2.
点评　本题考查含根式函数的取值,一般有两种题型:若只有一个根式,则可考虑使用换元法求解函数的值域或最值;若是多个根式,则可考虑函数本身的特点,通过平方、配凑等方法处理、转化为易求出最值或值域的函数.
22.(★★★)关于x的方程g(x)=t(t∈R)的实数根个数为f(t).
(1)若g(x)=x+1,则f(t)=　　　　; 
(2)已知g(x)=x,x≤0,-x2+2ax+a,x>0(a∈R).若存在t,使得f(t+2)>f(t)成立,则a的取值范围是　　　　. 
关键点　必修1第三章函数的应用,3.1函数与方程.
考向　函数的定义,函数与方程的综合应用.
答案　1;(1,+∞)
解析　(1)因为g(x)=x+1,所以函数g(x)的值域为R,且函数g(x)为单调函数,故方程g(x)=t有且只有一个根,故f(t)=1.
(2)g(x)=x,x≤0,-x2+2ax+a(a∈R),x>0.
当t≤0时,利用图象分析可知,f(t)=1.
当a≤0时,g(x)的图象如图:

此时f(t+2)≤f(t),∴不存在t,使得f(t+2)>f(t)成立.
当a>0时,g(x)的图象如图:

此时存在t,使得f(t+2)>f(t)成立.
则x>0时,函数的最大值大于2,
即-4a-4a2-4>2,解得a>1.
当t>0时,若a≤0,
则不存在t,使得f(t+2)>f(t)成立.
若a>0,g(x)的图象如图.

若存在t,使得f(t+2)>f(t)成立,
则x>0时,函数的最大值大于2,
即-4a-4a2-4>2,解得a>1.
综上,a∈(1,+∞).
23.(★★★)对于区间[a,b](a ①f(x)在区间[a,b]上是单调函数;
②函数y=f(x),x∈[a,b]的值域是[a,b].
则称区间[a,b]为函数f(x)的“保值”区间.
(1)写出函数y=x2的一个“保值”区间:　　　　; 
(2)若函数y=x2+m(m≠0)存在“保值”区间,则实数m的取值范围为　　　　　　　　. 
关键点　必修1集合与函数的概念1.3函数的基本性质子.
考向　函数的值域,单调性及新定义问题.
答案　[0,1];-1,-34∪0,14
分析　(1)由条件可知f(x)在区间[a,b]上是单调函数,根据y=x2的值域是[0,+∞),可得[a,b]⊆[0,+∞),从而y=x2在区间[a,b]上单调递增,由此得f(a)=a,f(b)=b,从而解出a,b的值,得出结果.
(2)根据已知中“保值”区间的定义,分函数y=x2+m在区间[a,b]上单调递增和函数y=x2+m在区间[a,b]上单调递减两种情况讨论,即可得出m的取值范围.
解析　(1)∵函数y=x2的值域是[0,+∞)且y=x2在[a,b]的值域是[a,b],
∴[a,b]⊆[0,+∞),∴a≥0,从而函数y=x2在区间[a,b]上单调递增,∴a2=a,b2=b,解得a=0,b=1,∴函数y=x2的一个“保值”区间为[0,1].
(2)若a ∴a2+m=b,b2+m=a,消去m得a2-b2=b-a,整理得(a-b)(a+b+1)=0.
∵a ∴m=-b2+a=-b2-b-1=-b+122-34∈-1,-34.
若b>a≥0,则函数y=x2+m在区间[a,b]上单调递增,
∴a2+m=a,b2+m=b,消去m得a2-b2=a-b,整理得(a-b)(a+b-1)=0.
∵aa,解得0≤a<12,
∴m=-a2+a=-a-122+14∈0,14.又∵m≠0,∴m∈0,14.
综上,可知m的取值范围是-1,-34∪0,14.
故答案为[0,1];-1,-34∪0,14.
点评　本题考查新定义背景下的二次函数的定义域,值域与单调性的综合问题.解决此题的关键是将新定义与已学知识产生联系,运用所学知识解决问题.本题中的“保值”区间实际就是定义域,值域以及函数单调性的结合.
六、解答题(本大题共1小题,满分14分,解答应写出文字说明过程或演算步骤)
24.(★★★)已知x为实数,用[x]表示不超过x的最大整数.
(1)若函数f(x)=[x],求f(1.2),f(-1.2)的值;
(2)若函数f(x)=x+12-x2(x∈R),求f(x)的值域;
(3)若存在m∈R且m∉Z,使得f(m)=f([m]),则称函数f(x)是Ω函数,若函数f(x)=x+ax是Ω函数,求a的取值范围.
关键点　必修1第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质.
考向　函数的值域,单调性等以及新定义的应用.
解析　(1)∵[x]表示不超过x的最大整数,f(x)=[x],
∴f(1.2)=[1.2]=1,f(-1.2)=[-1.2]=-2.
(2)∵x+12=x2或x+12=x2+1,
∴f(x)=x+12-x2(x∈R)的值域为{0,1}.
(3)当a=0时,f(x)=x,显然f(x)不是Ω函数.
当a<0时,f(x)=x+ax是一个增函数,在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递增.
此时不存在m<0,使得f(m)=f([m]),同理不存在m>0,使得f(m)=f([m]).
又∵m[m]≥0,即不会出现[m]<0 ∴f(x)=x+ax不是Ω函数.
当a>0时,假设f(m)=f([m]),∴m+am=[m]+a[m],
∴a=m[m],其中[m]≠0.
当m>0时,
∵[m] ∴[m]2 当m<0时,[m]<0,
∵[m]m[m]>([m]+1)[m],
∴[m]2>a>([m]+1)[m].
记k=[m].综上可以得到:a>0且对任意k∈N*,a≠k2且a≠k(k+1).
点评　本题考查新定义背景下的取整函数问题,主要考查学生的运算和推理能力,取整函数是一个比较常考的函数,实际上可以看作是一个分段函数,其图象的每一段都是平行于x轴的,本题考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.