3、山东省滕州市第一中学2019-2020学年高一上学期12月(期末模拟)数学试题（学生版）

这是一份3、山东省滕州市第一中学2019-2020学年高一上学期12月(期末模拟)数学试题（学生版），共13页。试卷主要包含了Ⅱ卷在答题纸上作答，下列函数中,最小正周期为π的有，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。


高一数学
注意事项:
1.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.
2.Ⅱ卷在答题纸上作答.答题前,考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚.
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★)sin5π3的值为( )
A.12B.-32
C.32D.-12
2.(★★)设函数y=2+x的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( )
A.(1,2)B.(1,2]
C.(-2,1)D.[-2,1)
3.(★★)命题“∀x∈R,x2+2x+2>0”的否定是( )
A.∀x∈R,x2+2x+2≤0
B.∀x∈R,x2+2x+2<0
C.∃x∈R,x2+2x+2≤0
D.∃x∈R,x2+2x+2<0
4.(★★)设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( )
A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2)D.不能确定
5.(★★)已知a>0,b>0,a+b=2,则1a+4b的最小值是( )
A.92B.4
C.72D.5
6.(★★)设a=lg2e,b=ln2,c=lg1213,则a,b,c的大小关系是( )
A.b>a>cB.a>b>c
C.c>b>aD.c>a>b
7.(★★★)函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),f(x2)-f(x1)x2-x1<0恒成立,且函数f(x+1)为偶函数,则( )
A.f(-2)C.f(-2)8.(★★★)围棋棋盘共19行19列,361个格点,每个格点上可能出现黑、白、空三种情况,因此有3361种不同的情况,我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即1000052,下列最接近33611000052的是(lg3≈0.477)( )
A.10-26B.10-35
C.10-36D.10-25
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.(★★)下列函数中,最小正周期为π的有( )
A.y=sin|x|B.y=|sinx|
C.y=2csx-1D.y=sinπ3-2x
10.(★★)下列结论正确的是( )
A.sin103°15'>sin164°30'
B.sin508°>sin144°
C.cs-3π10>cs-4π9
D.cs44π9>cs47π10
11.(★★)已知函数f(x)=lgax(a>0,a≠1)的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有( )
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若012.(★★★)定义运算a?b=a(a≥b),b(aA.f(x)的值域为[1,+∞)
B.f(x)的值域为(0,1]
C.不等式f(x+1)D.不等式f(x+1)第Ⅱ卷(非选择题,60分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷必须使用0.5mm黑色签字笔作答.
2.请将答案书写在答题纸的相应位置,直接答在试卷上无效.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(★★)A={x|lg2(x+2)>1},B=xx-3x+1≤0,则A∪B= .
14.(★★)已知3a=5b=A,且b+a=2ab,则A的值是 .
15.(★★)设f(x)=asin(πx+α)+bcs(πx+β)+2,其中a、b、α、β为非零常数.若f(2019)=1,则f(2020)= .
16.(★★★)若关于x的方程11+|x|-x2+a=0有两个不等的实数解,则a的取值范围是 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(★★)(本小题共10分)计算下列各式的值:
(1)sin(-1395°)cs1110°+cs(-1020°)sin750°;
(2)(lg43+lg83)(lg32+lg92)+2lg21.
18.(★★)(本小题共12分)
(1)已知2sinα-csα=0,求sin2(π-α)+2sinα·sin3π2-α的值;
(2)已知sinπ6+θ=13,π3<θ<5π6,求csθ的值.
19.(★★)(本小题共12分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.
(1)求a、b的值;
(2)设f(x)=g(x)x-2,若不等式f(x)-k>0在x∈(2,5]上恒成立,求实数k的取值范围.
20.(★★)(本小题共12分)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈[14,40]时,曲线是函数y=lga(t-5)+83(a>0,且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于或等于80时听课效果最佳.
(1)试求p=f(t)的函数关系式;
(2)一道数学难题,讲解需要22分钟,问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完?请说明理由.
21.(★★)(本小题共12分)已知函数f(x)=23sinxcsx+2sin2x-1.
(1)求函数f(x)的周期和单调增区间;
(2)若x∈0,π2,求函数f(x)的值域;
(3)把函数f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位,所得到的图象对应的函数g(x)是奇函数,求φ的最小值.
22.(★★★)(本小题共12分)已知f(x)=lg(102x+1)-kx是偶函数.
(1)求k的值;
(2)当a>0时,设g(x)=lg(a·10x-2a),若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
3、山东省滕州市第一中学2019-2020学年高一12月月考(期末模拟)数学试题
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
答案全解全析
1.考向 三角函数的诱导公式
思路分析 根据三角函数的诱导公式化简求值即可.
解析 sin5π3=sin2π-π3=-sinπ3=-32.
故选B.
答案 B
点评 本题主要考查利用三角函数诱导公式化简求值,熟练掌握三角函的数诱导公式,简记为“奇变偶不变,符号看象限”.
2.1.2 函数及其表示
考向 集合的运算 函数的定义域
思路分析 根据幂函数、对数函数的定义域的求解求出集合A,B,然后求出A∩B即可.
解析 由2+x≥0,得x≥-2,所以A={x|x≥-2},
由1-x>0,解得x<1,所以B={x|x<1},
所以A∩B={x|-2≤x<1}=[-2,1).
故选D.
答案 D
点评 本题考查具体函数定义域的求解,解题时要熟悉一些常见基本初等函数求定义域的原则:分式(分母不为0)、二次根式(二次根式里面的整体大于或等于0)、对数(对数的底数大于0且不等于 1、真数大于0)、零指数幂的底数不等于0.
3.考向 全称命题的否定
思路分析 直接利用全称命题的否定是特称命题,写出命题的否定即可.
解析 因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“∀x∈R,x2+2x+2>0”的否定是“∃x∈R,x2+2x+2≤0”,故选C.
答案 C
点评 本题主要考查了含有一个量词的否定,本题的易错点是误认为全称命题与特称命题的否定只改变命题量词,或只否定结论导致错误.全称命题与特称命题的否定,可以将条件和结论看成两部分,分别进行处理.
4.考向 函数零点的概念 二分法的应用
思路分析 根据函数零点存在性定理,由f(1)与f(1.5)的值异号,得到函数f(x)在区间(1,1.5)内有零点,同理可得函数f(x)在区间(1.25,1.5)内有零点.
解析 ∵f(1)<0,f(1.5)>0,
∴在区间(1,1.5)内,函数f(x)=3x+3x-8存在一个零点,
又∵f(1.25)<0,f(1.5)>0,
∴在区间(1.25,1.5)内,函数f(x)=3x+3x-8存在一个零点.
故选B.
答案 B
点评 本题主要考查函数零点的存在性定理的应用:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
5.考向 基本不等式的应用
思路分析 根据题意,先将a+b=2变形为a+b2=1,再进行乘“1”运算,使用基本不等式即可求解.
解析 因为a+b=2,所以a+b2=1,又a,b是正数.
所以1a+4b=1a+4ba+b2
=52+b2a+2ab≥52+2b2a·2ab=52+2=92,
当且仅当b2a=2ab,即a=23,b=43时,取得等号,
所以1a+4b的最小值为92.
故选A.
答案 A
点评 本题考查基本不等式的应用,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,解题中注意“1”的应用,本题将条件进行转化其目的就是使其满足基本不等式中一正二定三相等.
6.考向 对数函数的图象和性质
思路分析 根据对数函数的性质,先把a,c化为同底的对数比较大小,然后判断a,b,c的取值范围即可得结果.
解析 由对数函数的性质知,c=lg1213=lg23,
∵y=lg2x为增函数,
∴1=lg22又∵ln2∴c>a>b,故选D.
答案 D
点评 本题考查函数值的大小比较,解题的关键是利用对数函数的性质,常见的做法:对于底数不同、真数不同的对数函数值的大小比较,不便于直接利用单调性,则可以借助中间量,比如“1”“0”或“-1”等来进行大小比较.
7.考向 函数的对称性 函数的单调性
思路分析 由题意知f(x)在[1,+∞)上是减函数,又函数f(x+1)为偶函数,则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,根据对称性和单调性即可得出f(-2),f(1),f(3)的大小关系.
解析 ∵对任意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),f(x2)-f(x1)x2-x1<0恒成立,
∴设x1,x2为区间[1,+∞)上的任意两个值,且x1f(x2),
∴f(x)在[1,+∞)上是减函数.
∵函数f(x+1)为偶函数,即f(x+1)=f(1-x),
∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴f(-2)=f(4),
∵1<3<4,且f(x)在[1,+∞)上单调递减,
∴f(4)故选A.
答案 A
点评 本题考查函数奇偶性、单调性的应用,除了掌握单调性的定义外,还经常会用到变式,设∀x1,x2∈[a,b]且x1≠x2,那么f(x)在[a,b]上是减函数⇔f(x2)-f(x1)x2-x1<0⇔[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0,本题还涉及函数图象的对称性:若函数的图象关于x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x),掌握这些常用的结论,有助于我们快速解决一些较难的问题,对于函数值比较大小问题,还要注意利用奇偶性(或者对称性)将自变量转化到同一单调区间再比较大小.
8.考向 对数函数的运算性质
思路分析 根据题意,对33611000052取常用对数,分析选项可得答案.
解析 根据题意,对33611000052取常用对数可得,
lg33611000052=lg3361-lg1000052=361×lg3-52×4≈-35.8,
即可得33611000052≈10-35.8,结合选项只有10-36与33611000052最接近,故选C.
答案 C
点评 本题考查对数的运算性质,一定要熟练掌握对数的运算性质,如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1)lga(M·N)=lgaM+lgaN;(2)lgaMN=lgaM-lgaN;(3)lgaMn=nlgaM;(4)algaN=N.
9.考向 三角函数的图象和性质
思路分析 根据三角函数的图象和函数y=Asin(ωx+φ),y=Acs(ωx+φ)的最小正周期的公式可得出答案.
解析 选项A,y=sin|x|为偶函数,图象关于y轴对称,其图象如下,不是周期函数,所以A不正确;
选项B,作出函数y=|sinx|的图象如下,观察可得其最小正周期为π,所以B正确;
选项C,由周期的计算公式T=2π|ω|可得y=2csx-1的最小正周期为2π,所以C不正确;
选项D,由周期的计算公式T=2π|ω|可得y=sinπ3-2x的最小正周期为π,所以D正确.
故选BD.
答案 BD
点评 本题主要考查三角函数的图象和性质,准确把握函数周期性的定义以及图象变换是解题的关键.
10.考向 三角函数的图象和性质
思路分析 利用三角函数的诱导公式以及正、余弦函数的单调性即可判断.
解析 对于A,因为正弦函数在区间π2,π上为减函数,
且90°<103°15'<164°30'<180°,
所以sin103°15'>sin164°30',故A正确;
对于B,因为sin508°=sin(360°+148°)=sin148°,
且正弦函数在区间π2,π上为减函数,
故sin148°对于C,因为余弦函数为偶函数,且在区间0,π2上为减函数,
0<3π10<4π9<π2,故cs3π10>cs4π9,
即cs-3π10>cs-4π9,故C正确;
对于D,cs44π9=cs4π+8π9=cs8π9,
cs47π10=cs4π+7π10=cs7π10,
因为π2<7π10<8π9<π,且余弦函数在区间π2,π上为减函数,
所以cs8π9故选AC.
答案 AC
点评 本题主要考查三角函数的诱导公式,然后根据三角函数的单调性比较大小,要求熟练掌握三角函数的诱导公式,简记为“奇变偶不变,符号看象限”;对于函数值比较大小问题,还要注意利用奇偶性(或者对称性)将自变量转化到同一单调区间,再比较大小.
11.考向 对数函数的运算性质
思路分析 根据函数f(x)=lgax(a>0,a≠1)的图象经过点(4,2),可以得到函数f(x)的解析式,再根据对数函数的图象和性质分析每个选项即可.
解析 根据题意,函数f(x)=lgax(a>0,a≠1)的图象经过点(4,2),即2=lga4,解得a=2,所以f(x)=lg2x.
对于A,函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,故A正确;
对于B,函数f(x)的定义域为(0,+∞),函数没有奇偶性,故B错误;
对于C,当x>1时,f(x)=lg2x>lg22=1,故C正确;
对于D,当0因为当0x1·x2,
所以lg2x1+x22>lg2x1·x2,
即fx1+x22>f(x1)+f(x2)2,故D正确.
故选ACD.
答案 ACD
点评 本题考查对数函数的图象和性质,D选项所给出的性质本质上是函数的凹凸性:设f(x)在区间D上连续,如果对D上的任意两点x1,x2恒有fx1+x22>f(x1)+f(x2)2,那么称f(x)在D上的图象是凸的;如果恒有fx1+x2212.考向 函数的新定义 函数的图像和性质
思路分析 根据题中给出的新定义求出函数f(x)的解析式,然后做出函数f(x)的图象,根据图象对每个选项进行分析即可.
解析 ∵a?b=a(a≥b),b(a由函数f(x)=1?2-x,得f(x)=1(1≥2-x),2-x(1<2-x),
即f(x)=2-x(x<0),1(x≥0),作出函数f(x)的图象如下,
根据函数图象知f(x)的值域为[1,+∞),
若不等式f(x+1)则2x所以不等式f(x+1)故选AC.
答案 AC
点评 本题考查在函数新定义条件下解决与函数的图象和性质有关的问题,关键是真正理解新定义并能够正确使用.
13.考向 集合的运算 对数不等式 分式不等式
思路分析 通过解对数不等式化简集合A,解分式不等式化简集合B,然后根据并集运算即可得到所求集合.
解析 由lg2(x+2)>1,得lg2(x+2)>lg22,即x+2>2,解得x>0,所以A={x|x>0},
由x-3x+1≤0得(x-3)(x+1)≤0,x+1≠0,解得-1所以B={x|-1所以A∪B={x|x>0}∪{x|-1答案 (-1,+∞)
点评 本题考查集合运算中的并集运算以及解对数不等式和分式不等式,在解对数不等式时要注意考虑对数函数的定义域,解分式不等式通常把分式不等式等价转化为整式不等式来解,在转化过程中要注意分母不为 0.
14.考向 对数函数的运算性质
思路分析 根据题意,把指数式化为对数式,再利用对数的运算性质计算即可.
解析 ∵3a=5b=A,∴当a=b=0时,A=1,满足条件b+a=2ab,
当a,b都不等于0时,lg3a=lgA,lg5b=lgA,
∴a=lgAlg3,b=lgAlg5,
又∵b+a=2ab,∴1a+1b=2,
∴1a+1b=lg3lgA+lg5lgA=lg3+lg5lgA=lg15lgA=2,
∴2lgA=lg15,∴A2=15,又A>0,∴A=15.
综上,A的值是15或1.
答案 15或1
点评 本题考查对数的运算性质,一定要熟练掌握对数的运算性质,如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1)lga(M·N)=lgaM+lgaN;(2)lgaMN=lgaM-lgaN;(3)lgaMn=nlgaM;(4)algaN=N.本题的易错点是容易忽略a=b=0的情况,一定要注意培养思维的严谨性.
15.考向 三角函数的诱导公式
思路分析 因为f(x)=asin(πx+α)+bcs(πx+β)+2,f(2019)=1,所以asinα+bcsβ=1,将其代入f(2020)=asinα+bcsβ+2即可得到答案.
解析 因为f(x)=asin(πx+α)+bcs(πx+β)+2,f(2019)=1,
所以f(2019)=asin(2019π+α)+bcs(2019π+β)+2
=asin(π+α)+bcs(π+β)+2=-asinα-bcsβ+2=1,
所以asinα+bcsβ=1,
所以f(2020)=asin(2020π+α)+bcs(2020π+β)+2
=asinα+bcsβ+2=3.
答案 3
点评 本题主要考查三角函数的诱导公式的应用以及三角函数的条件求值问题,熟练运用三角函数的诱导公式找到所求函数值和已知函数值之间的关系,然后整体代入,体现了数学运算的核心素养.
16.考向 函数与方程关系的应用
思路分析 关于x的方程11+|x|-x2+a=0有两个不等的实数解,等价于函数y1=11+|x|的图象和函数y2=x2-a的图象有两个不同的交点,结合图象即可得到a的取值范围.
解析 关于x的方程11+|x|-x2+a=0有两个不等的实数解,等价于函数y1=11+|x|的图象和函数y2=x2-a的图象有两个不同的交点,如图所示,M点的坐标为(0,-a),要使两个函数的图象有两个不同的交点,则需要-a<1,即a>-1,所以a的取值范围是(-1,+∞).
答案 (-1,+∞)
点评 本题考查函数与方程的应用,题中把一个方程有两个不等的实数解的问题转化为研究两个函数图象交点的问题,注意转化的原则:尽可能使转化后的两个函数都是基本初等函数或者由基本初等函数经过简单的变换得到的函数,体现了数形结合思想方法的应用.
17.必修4 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式
考向 对数函数的运算性质 三角函数的诱导公式
思路分析 (1)先利用诱导公式进行化简,然后利用特殊角的三角函数值计算即可得到答案.
(2)利用换底公式进行化简,即可得结果.
解析 (1)sin(-1395°)cs1110°+cs(-1020°)sin750°
=sin(-1440°+45°)·cs(1080°+30°)+cs(-1080°+60°)·sin(720°+30°)
=sin45°cs30°+cs60°sin30°
=22×32+12×12=6+14.
(2)(lg43+lg83)(lg32+lg92)+2lg21
=lg3lg4+lg3lg8lg2lg3+lg2lg9+1=lg32lg2+lg33lg2lg2lg3+lg22lg3+1
=5lg36lg2·3lg22lg3+1=54+1=94.
点评 本题主要考查利用三角函数的诱导公式和对数的换底公式进行化简求值,熟练掌握这些公式是正确解题的关键,三角函数诱导公式,可以简记为“奇变偶不变,符号看象限”; 对数的换底公式:lgab=lgcblgca,由对数换底公式得到的性质:lgab=1lgba、lgambn=nmlgab.
18.第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切
考向 同角三角函数的基本关系 三角函数的诱导公式 两角差的余弦公式
思路分析 (1)根据题意,利用同角三角函数的基本关系式化简求出tanα,将要求的代数式转化为关于tanα的形式,将tanα的值代入即可.
(2)由条件根据同角三角函数的基本关系式求得csπ6+θ的值,csθ可以变形为csπ6+θ-π6,然后利用两角差的余弦公式求得结果.
解析 (1)因为2sinα-csα=0,所以2sinα=csα,
所以tanα=12,
所以sin2(π-α)+2sinαsin3π2-α
=sin2α-2sinαcsα=sin2α-2sinαcsαsin2α+cs2α
=tan2α-2tanαtan2α+1=14-114+1=-35.
(2)因为π3<θ<5π6,所以π2<π6+θ<π,
又sinπ6+θ=13,所以csπ6+θ=-223.
所以csθ=csπ6+θ-π6=csπ6+θcsπ6+sinπ6+θsinπ6
=-223×32+13×12=1-266.
点评 本题考查利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式以及两角差的余弦公式进行化简求值,化简过程注意平方关系式sin2α+cs2α=1的灵活应用,尤其是平方关系式的逆向使用,也就是“1”的转化,熟练掌握三角函数的诱导公式,简记为“奇变偶不变,符号看象限”;还有 “变角”技巧的应用:如θ=π6+θ-π6,α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等.
19.考向 二次函数的性质 基本不等式的应用
思路分析 (1)由题意知函数g(x)的图象开口向上,且对称轴为直线 x=1,所以g(x)在[2,3]上单调递增,根据已知列出方程组,即可解得a、b的值.
(2)由题意,只需k解析 (1)∵g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0),
∴g(x)的图象开口向上,且对称轴为直线x=1,
∴g(x)在[2,3]上单调递增,
∴g(x)min=g(2)=4a-4a+1+b=1,g(x)max=g(3)=9a-6a+1+b=4,
解得a=1,b=0.
(2)∵f(x)-k>0在x∈(2,5]上恒成立,∴只需k由(1)知f(x)=x2-2x+1x-2=x+1x-2=x-2+1x-2+2≥2(x-2)·1x-2+2=4,
当且仅当x-2=1x-2,即x=3(x=1舍去)时等号成立,即f(x)min=4,
∴k<4.
点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值以及利用基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,目的就是使其满足基本不等式中一正、二定、三相等不等式在某个区间上恒成立(或存在性)问题的转化方法是“参变分离”,化为(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a;存在x使f(x)≥a成立(或者是f(x)≥a有解)⇔f(x)max≥a;(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b;存在x使f(x)≤b成立(或者是f(x)≤b有解)⇔f(x)min≤b.
20.考向 函数的应用 基本不等式
思路分析 (1)分类讨论:当t∈(0,14]时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),把点(14,81)代入即可求出解析式;当t∈[14,40]时,y=lga(t-5)+83(a>0,且a≠1),把(14,81)代入即可求出解析式.
(2)由(1)求出的解析式,结合题设条件,列出不等式,即能得出老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完.
解析 (1)当t∈(0,14]时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),
将点(14,81)代入得c=-14,
所以当t∈[0,14]时,p=f(t)=-14(t-12)2+82;
当t∈[14,40]时,将点(14,81)代入y=lga(t-5)+83,得a=13.
所以p=f(t)=-14(t-12)2+82,t∈(0,14],lg13(t-5)+83,t∈(14,40].
(2)当t∈(0,14]时,令-14(t-12)2+82≥80,
解得12-22≤t≤12+22,
所以t∈[12-22,14];
当t∈(14,40]时,令lg13(t-5)+83≥80,
解得5综上,t∈[12-22,32]时学生听课效果最佳,
此时Δt=32-(12-22)=20+22>22,
所以老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完.
点评 本题考查了待定系数法求函数解析式以及分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.
21.第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切
考向 三角函数的图象与性质 两角和与差的正弦、余弦公式
思路分析 (1)根据题意,利用降幂公式与倍角公式化简f(x)的解析式,再求函数f(x)的周期和单调增区间.
(2)由(1)得f(x)=2sin2x-π6,根据x∈0,π2,求得2x-π6的范围,再求函数的值域.
(3)先求得图象平移后对应的函数解析式,再利用奇函数求得三角函数中对应的角满足的关系式,分析即可求得φ的最小值.
解析 (1)f(x)=23sinxcsx+2sin2x-1
=3sin2x-cs2x=2sin2x-π6,
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.
令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2,k∈Z,
可得kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z,
所以函数f(x)的单调增区间为kπ-π6,kπ+π3,k∈Z.
(2)因为x∈0,π2,所以2x-π6∈-π6,5π6,
所以-12≤sin2x-π6≤1,
所以-1≤2sin2x-π6≤2,故函数f(x)的值域为[-1,2].
(3)把函数f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位,所得到的图象对应的函数解析式为g(x)=2sin2(x-φ)-π6=2sin2x-2φ-π6,
因为函数g(x)是奇函数,所以函数g(x)的图象关于原点对称,
所以2φ+π6=kπ,即φ=kπ2-π12,k∈Z,
又φ>0,所以φ的最小值为5π12.
点评 本题考查三角函数的降幂公式、倍角公式的应用,以及三角函数的图象变换和三角函数性质的灵活应用.
22.第三章 函数的应用 3.1 函数与方程
考向 对数的运算性质 函数与方程的应用
思路分析 (1)根据f(x)为偶函数,可得f(-x)=f(x),代入化简即可得到k的值.
(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,则方程f(x)=g(x)有且只有一个实根,令t=10x(t>2),则方程(a-1)·t2-2at-1=0在(2,+∞)上有且只有一个实根,对a进行分类讨论,即可求出实数a的取值范围.
解析 (1)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),
即lg(10-2x+1)+kx=lg(102x+1)-kx,
所以2kx=lg102x+110-2x+1=lg102x=2x,所以k=1.
(2)由题意知,方程lg(a·10x-2a)=lg102x+1-x=lg102x+110x有且只有一个实根,
所以a(10x-2)=102x+110x有且只有一个实根,
整理得(a-1)102x-2a·10x-1=0,因为a·10x-2a>0,所以10x>2,令t=10x(t>2),则方程(a-1)t2-2at-1=0在(2,+∞)上有且只有一个实根.
当a=1时,方程的解为t=-12,不满足题意,舍去.
当a≠1时,设方程对应的二次函数为u(t)=(a-1)t2-2at-1,
若a>1,则二次函数的图象开口向上,对称轴为直线t=aa-1>0,且u(0)=-1<0,
要使方程在(2,+∞)上有且只有一个实根,只需u(2)<0.
而u(2)=-5<0,所以a>1时满足题意;
若0对称轴为直线t=aa-1<0,且u(0)=-1<0,
此时方程无大于2的实根.
综上,a>1.
点评 本题主要考查对数的运算以及一元二次方程根的分布问题,熟练掌握“三个二次”的关系,根据二次函数的图象讨论一元二次方程根的分布,主要考虑以下几个方面:①真假二次;②图象的开口方向;③图象的对称轴的位置;④区间端点函数值等,确定分类标准进行分类讨论,体现了数学运算的核心素养.