5、山东省潍坊市2019-2020学年高一上学期期末数学试题（教师版）

这是一份5、山东省潍坊市2019-2020学年高一上学期期末数学试题（教师版），共11页。试卷主要包含了Ⅱ卷在答题纸上作答，若p等内容，欢迎下载使用。


高一数学
注意事项:
1.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
2.Ⅱ卷在答题纸上作答。答题前,考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★)命题p:∀x∈R,x2≥1的否定是( )
A.∀x∈R,x2<1B.∃x∈R,x2<1
C.∀x∉R,x2≥1D.∃x∉R,x2<1
考向 全称命题的否定
分析 直接利用全称命题的否定是特称命题,写出命题的否定即可.
解析 因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“∀x∈R,x2≥1”的否定是“∃x∈R,x2<1”,故选B.
答案 B
点评 本题主要考查了含有一个量词的命题的否定,熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键,本题的易错点是误认为全称命题与特称命题的否定只改变量词,或只否定结论,从而导致错误.全称命题与特称命题的否定,可以将条件和结论看成两部分,分别进行处理,同时在否定结论时注意结论的否定形式.
2.(★)已知集合A={2,4,6},B={x|(x-2)(x-6)=0},则A∩B=( )
A.⌀B.{2}C.{6}D.{2,6}
考向 集合的运算
分析 通过解一元二次方程化简集合B,再根据交集的定义求出A∩B即可.
解析 集合A={2,4,6},集合B={x|(x-2)(x-6)=0}={2,6},所以A∩B={2,6},故选D.
答案 D
点评 本题考查解一元二次方程以及集合运算中的交集运算,熟练掌握集合的基础知识是解答好该类问题的关键.
3.(★)若p:x>1,q:|x|>1,则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
考向 充分条件与必要条件的判断 解绝对值不等式
分析 先通过解绝对值不等式对条件中的不等式进行化简,然后利用充分性和必要性的定义来判断.
解析 解法一:由|x|>1,解得x>1或x<-1,
故x>1可以推出|x|>1,反之不成立,
所以p是q的充分不必要条件.
解法二:由|x|>1,解得x>1或x<-1,
由于(1,+∞)⫋(-∞,-1)∪(1,+∞),
所以p是q的充分不必要条件.
故选A.
答案 A
点评 对于有关不等式充分、必要条件的判断可以转化为集合之间的包含关系:条件 p 表示的不等式记为集合A,条件q表示的不等式记为集合B,若A⫋B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件,通俗的说“小范围可以推出大范围,反之则不成立”,若A=B,则p是q的充要条件.
4.(★★)口袋中有若干个红球、黄球与蓝球,若摸出红球的概率为0.4,摸出红球或黄球的概率为0.62,则摸出红球或蓝球的概率为( )
C.0.6
考向 互斥事件的概率计算
分析 根据题意,摸出哪种颜色的球的事件之间是互斥的,故可由互斥事件的公式计算出各种颜色的球被摸出的概率,再利用概率加法公式求摸出红球或蓝球的概率.
解析 因为摸出红球的概率为0.4,摸出红球或黄球的概率为0.62,所以摸出蓝球的概率为1-0.62=0.38,所以摸出红球或蓝球的概率为0.4+0.38=0.78.
故选D.
答案 D
点评 本题考查互斥事件的概率计算,注意准确理解 “独立事件”“互斥事件”“对立事件”这些概念.
5.(★★)已知点(2,9)在指数函数y=f(x)的图象上,则f-1(27)=( )
A.14B.13C.3D.4
考向 指数函数的定义 反函数的概念
分析 根据点(2,9)在指数函数y=f(x)的图象上,先求出指数函数y=f(x)的解析式,再求出其反函数,进而求出f-1(27).
解析 设指数函数y=f(x)=ax(a>0,且a≠1),因为点(2,9)在指数函数y=f(x)的图象上.
故9=a2,所以a=3.所以f(x)=3x.故f-1(x)=lg3x.
故f-1(27)=lg327=3.
故选C
答案 C
点评 本题考查了利用待定系数法求函数的解析式,需要熟练掌握常用基本初等函数的一般表达式,还要知道指数函数y=ax(a>0,且a≠1)和对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)互为反函数.
6.(★★)函数f(x)=12x-x3-2在区间(-1,0)内的零点个数是( )
A.0B.1C.2D.3
考向 函数零点的概念
分析 直接利用函数零点存在定理,根据函数的单调性,以及函数在区间端点处的函数值符号判断即可.
解析 根据指数函数和幂函数的性质可得f(x)=12x-x3-2为单调减函数,
又f(-1)=12-1-(-1)3-2=1>0,
f(0)=120-03-2=-1<0.
故f(x)在区间(-1,0)内的零点个数是1.
故选B.
答案 B
点评 本题主要考查函数零点存在定理的应用:如果函数y=f(x)在区间[a,b]内的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
7.(★★)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,并五关所税,适重一斤,问本持金几何?”其意思为今有人持金出五关,第1关收税金为持金的12,第2关收税金为剩余金的13,第3关收税金为剩余金的14,第4关收税金为剩余金的15,第5关收税金为剩余金的16,5关所收税金之和恰好重1斤,则此人总共持金( )
A.2斤B.75 斤C.65 斤D.1110 斤
考向 函数概念的应用
分析 把实际问题转化为数学问题,设总共持金x斤,再根据题意列式求解即可.
解析 设总共持金x斤,再根据过5关后剩(x-1)斤列式计算即可.
由题意得,x×1-12×1-13×1-14×1-15×1-16=x-1,
即x×12×23×34×45×56=x-1,所以x=65.
故选C.
答案 C
点评 本题主要考查方程思想在实际生活中的运用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,通过解数学问题得到实际问题的解,体现了数学建模的核心素养.
8.(★★★)已知函数y=xa,y=bx,y=lgcx的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为( )
A.aC.a考向 指数函数的图象和性质 对数函数的图象和性质 幂函数的图象和性质
分析 根据指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质,判断a,b,c的范围即可.
解析 根据指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质,由图可知,当x=1时,y=b∈(1,2),当y=1时,1=lgcx⇒x=c∈(2,3),又幂函数y=xa为增函数且上凸,故a∈(0,1).所以a故选A.
答案 A
点评 本题主要考查指数函数的图象和性质、对数函数的图象和性质以及幂函数的图象和性质的应用,熟练掌握这些性质是解题的关键.因为a1=a,所以对于指数函数图象中底数范围的判断,通常作出直线x=1;因为lgaa=1,所以对于对数函数图象中底数范围的判断,通常作出直线y=1.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分)
9.(★★)设a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式成立的是( )
A.ac2>bc2B.1a2<1b2
C.a-c>b-cD.e-a考向 不等式性质的应用
分析 通过取特殊值、举反例或利用不等式的基本性质即可得出结论.
答案 CD
解析 A选项,当c=0时,ac2=bc2,所以ac2>bc2不成立,故A错误;
B选项,当a=-1,b=-2时,1a2<1b2不成立,故B错误;
C选项,因为a>b,所以两边同时加上-c有a-c>b-c成立,故C正确;
D选项,因为a>b,所以-a<-b,又y=ex为增函数,故e-a故选CD.
点评 判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定限制条件的选择题,用特殊值验证的方法更简便、准确,如果认为一个命题正确,一定要有简单证明,如果认为一个命题错误,可以举出反例或者能证明一定不成立.
10.(★★)已知函数f(x)=x2-2x+a有两个零点x1,x2,以下结论正确的是( )
A.a<1
B.若x1x2≠0,则1x1+1x2=2a
C.f(-1)=f(3)
D.函数y=f(|x|)有四个零点
考向 函数零点的概念 一元二次方程根与系数的关系
分析 根据 “三个二次”的关系,结合一元二次方程根与系数的关系以及二次函数的图象分析即可.
答案 ABC
解析 A选项,因为f(x)=x2-2x+a有两个零点,所以判别式Δ=(-2)2-4a>0⇒a<1.故A正确;
B选项,由根与系数的关系知x1+x2=2,x1x2=a,故1x1+1x2=x1+x2x1x2=2a.故B正确;
C选项,因为f(-1)=3+a,f(3)=3+a,所以f(-1)=f(3)成立.故C正确;
D选项,当a=0时,令y=f(|x|)=|x|2-2|x|=0,则|x|(|x|-2)=0有三个根,x=0,2,-2.故D错误.
故选ABC.
点评 本题主要考查含参数的二次函数的零点问题,理解并掌握“三个二次”的关系,结合判别式以及根与系数的关系不难解决.本题考查逻辑推理能力.
11.(★★)在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,则一定符合该标志的是( )
甲地:中位数为2,极差为5;
乙地:总体平均数为2,众数为2;
丙地:总体平均数为1,总体方差大于0;
丁地:总体平均数为2,总体方差为3.
A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地
考向 极差和标准差的计算
分析 根据题意,由题中所给中位数、平均数、极差、众数、方差等条件逐个分析选项是否一定满足每天新增疑似病例不超过 7 人即可.
答案 AD
解析 A选项,因为甲地过去10日,每天新增疑似病例的中位数为2,极差为5,所以每天新增疑似病例的最大值不会大于2+5=7.故A符合;
B选项,若乙地过去10日每天新增疑似病例的人数分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8,则满足总体平均数为2,众数为2,但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故B不符合;
C选项,若丙地过去10日每天新增疑似病例的人数分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9,则满足总体平均数为1,总体方差大于0,但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故 C不符合;
D选项,利用反证法,若至少有一天疑似病例超过7人,则方差大于110×(8-2)2=3.6>3.与题设矛盾,故连续10天,每天新增疑似病例不超过7人.故D符合.
点评 本题考查平均数、极差、中位数、方差的概念和计算公式,准确理解这些概念并熟记这些公式是解题的关键.
12.(★★★)已知函数f(x)=|x+1|-1,x<0,f(x-2),x≥0.则以下结论正确的是( )
A.f(2020)=0
B.方程 f(x)=14x-1有三个实根
C.当x∈[4,6)时,f(x)=|x-5|-1
D.若函数y=f(x)-t在(-∞,6)上有8个零点xi(i=1,2,3,…,8),则∑i=18xif(xi)的取值范围为(-16,0)
考向 函数零点的概念
分析 根据分段函数的性质以及数形结合思想方法对选项逐个分析判断即可.
答案 ACD
解析 A选项,f(2020)=f(2018)=…=f(0)=f(-2)=|-2+1|-1=0.故A正确.
B选项,画出f(x)=|x+1|-1,x<0,f(x-2),x≥0及y=14x-1的图象,如下:
故f(x)=14x-1有四个实根.故B错误.
C选项,当x∈[4,6)时,x-6∈[-2,0),f(x)=f(x-2)=f(x-4)=f(x-6)=|x-6+1|-1=|x-5|-1.故C正确.
D选项,画出图像,y=f(x)-t有8个零点,即y=f(x)与y=t有8个交点.
此时∑i=18xif(xi)=t∑i=18xi=16t.
又t∈(-1,0).
故16t∈(-16,0).即∑i=18xif(xi)的取值范围为(-16,0).故D正确.
故选ACD.
点评 本题考查分段函数以及函数与方程的应用,题中把一个方程有实数解的问题转化为研究两个函数图象交点的问题,注意转化的原则:尽可能转化后的两个函数都是基本初等函数或者由基本初等函数经过简单的变换得到的函数,体现了数形结合思想的运用.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷必须使用0.5mm黑色签字笔作答.
2.请将答案书写在答题纸的相应位置,直接答在试卷上无效.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(★★)82713+12lg23= .
考向 对数的运算 指数幂的运算
分析 根据对数的运算性质和分数指数幂的运算性质即可求解.
答案 1
解析 82713+12lg23=23313+2-lg23=23+2lg213=23+13=1.
点评 本题主要考查分数指数幂的运算性质以及对数运算的性质,如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1)lga(M·N)=lgaM+lgaN;(2)lgaMN=lgaM-lgaN;(3)lgaMn=nlgaM;(4)algaN=N,这些对数运算性质必须熟记,也是我们准确进行对数运算的关键;考查学生的计算能力.
14.(★★)数据:18,26,27,28,30,32,34,40的75%分位数为 .
考向 百分位数的概念
分析 根据题意,该组数据一共有8个,8×75%=6,再分析75%分位数即可.
答案 33
解析 该组数据一共有8个,8×75%=6,故75%分位数是从小到大第6,7个数的平均数,即32+342=33.
点评 本题主要考查了统计中百分位数的概念和计算,准确理解概念是解题的关键.
15.(★★)设函数f(x)=1ex+aex(a为常数).若f(x)为偶函数,则实数a= ;若∀x∈R,f(x)≥1恒成立,则实数a的取值范围是 .
考向 指数幂的运算性质 函数的单调性、奇偶性
分析 (1)由f(x)为偶函数,得f(x)=f(-x)恒成立,即可求得a的值;(2)由f(x)≥1恒成立,通过参变分离转化为求函数的最值问题.
答案 (1)1 (2)a|a≥14
解析 (1)因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)恒成立,
即1ex+aex=1e-x+ae-x恒成立,即1ex+aex=ex+aex恒成立,即(a-1)ex-1ex=0恒成立,故a=1.
(2)因为1ex+aex≥1恒成立,所以a≥1ex-1e2x恒成立.设t=1ex(t>0),则a≥t-t2在(0,+∞)上恒成立,
设y=t-t2(t>0),所以a≥ymax,
又y=t-t2=-t-122+14≤14,即ymax=14,所以a≥14.
所以实数a的取值范围是a|a≥14.
点评 本题主要考查了指数型函数的奇偶性以及不等式恒成立问题,不等式在某个区间上恒成立(或存在)问题的转化方法:首先是“参变分离”,化为(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a;存在x,使得f(x)≥a成立(或者是f(x)≥a有解)⇔f(x)max≥a;(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b;存在x,使得f(x)≤b成立(或者是f(x)≤b有解)⇔f(x)min≤b.
16.(★★★)已知函数f(x)=2x2+(k+2)x+2x2+x+1(x>0),∀a,b,c>0,以f(a),f(b),f(c)的值为边长可构成一个三角形,则实数k的取值范围为 .
考向 基本不等式的应用
分析 根据题意可知,∀a,b,c>0,f(a)+f(b)>f(c)恒成立,再对k分情况讨论即可.
答案 [-3,6]
解析 ∀a,b,c>0,以f(a),f(b),f(c)的值为边长可构成一个三角形,等价于∀a,b,c>0,f(a)+f(b)>f(c)恒成立,
又f(x)=2x2+(k+2)x+2x2+x+1=2x2+2x+2+kxx2+x+1=2+kxx2+x+1=2+kx+1+1x(x>0).
当k=0时,f(x)=2,显然成立.
当k>0时,因为函数y=x+1+1x在(0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
所以y=x+1+1x∈[3,+∞).所以y=2+kx+1+1x∈2,2+k3.
又∀a,b,c>0,f(a)+f(b)>f(c)恒成立,所以2+2≥2+k3⇒k≤6.又k>0,所以0当k<0时,同2有y=x+1+1x∈[3,+∞),所以y=2+kx+1+1x∈k3+2,2
此时2×k3+2≥2⇒k≥-3.又k<0,所以-3≤k<0.
综上所述,k的取值范围为[-3,6].
点评 本题主要考查了函数值域的综合问题,需要根据题意列出函数最值满足的关系式,同时也需要对函数的分离常数法、化简等有所掌握,解题过程涉及基本不等式求最值,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中一正,二定,三相等的条件,完成答题需要多次转化,也体现了转化思想的运用.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(★★)已知集合A=[3,6],B=[a,8].
(1)在①a=7,②a=5,③a=4这三个条件中选择一个,使得A∩B≠⌀,并求A∩B;
(2)已知A∪B=[3,8],求实数a的取值范围.
考向 集合的运算
分析 (1)根据交集的定义直接进行运算即可;(2)根据集合的并集运算分析区间端点满足的关系式即可.
解析 (1)选择条件②a=5(或③a=4),若选②,则A∩B=[3,6]∩[5,8]=[5,6].(或若选③,则A∩B=[3,6]∩[4,8]=[4,6])
(2)因为A∪B=[3,8],A=[3,6],B=[a,8],
所以结合数轴可得3≤a≤6,
所以实数a的取值范围为{a|3≤a≤6}.
点评 本题考查集合的交集、并集的运算,将题设条件转化为含参数的不等式,体现了转化与化归的思想.
18.(★★)已知函数f(x)=-2x2+7x-3.
(1)求不等式f(x)>0的解集;
(2)当x∈(0,+∞)时,求函数y=f(x)x的最大值,以及y取得最大值时x的值.
考向 解一元二次不等式 基本不等式的应用
分析 (1)根据“三个二次”的关系直接解一元二次不等式即可;
(2)利用基本不等式直接求y的最大值以及取得最大值时x的值即可.
解析 (1)由题意得方程-2x2+7x-3=0有两个不等实根,分别为x1=12,x2=3,
又二次函数f(x)=-2x2+7x-3的图象开口向下,
所以不等式f(x)>0的解集为x|12(2)由题意知,y=f(x)x=-2x2+7x-3x=-2x-3x+7,x∈(0,+∞).
因为x>0,所以y=-2x-3x+7=7-2x+3x≤7-26.
当且仅当2x=3x,即x=62时,等号成立.
综上所述,当x=62时,y取得最大值,为7-26.
点评 本题主要考查解一元二次不等式以及利用基本不等式求最值问题,根据“三个二次”的关系解一元二次不等式要注意二次函数图象的开口方向,利用基本不等式求最值,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中一正,二定,三相等的条件,这也是易错点.
19.(★★)已知函数f(x)=lga(x+2)+lga(2-x)(0(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)若函数f(x)的最小值为-2,求实数a的值.
考向 函数的性质 对数的运算
分析 (1)根据题意,先求定义域,判断定义域是否关于原点对称,再求f(-x)与f(x)的关系即可;
(2)令t=4-x2,根据x∈(-2,2)求出t的取值范围,再根据t的取值范围利用对数函数的单调性求出函数f(x)的最小值,再求a的值即可.
解析 (1)要使函数f(x)=lga(x+2)+lga(2-x)有意义,则有x+2>0,2-x>0,解得-2即函数的定义域是关于原点对称的区间,
因为f(-x)=lga(-x+2)+lga(2+x)=f(x),
所以f(x)是偶函数.
(2)f(x)=lga(4-x2)(0因为x∈(-2,2),所以0<4-x2≤4,
令t=4-x2,则t∈(0,4],又0所以f(x)=lgat在t∈(0,4]上为减函数,
所以f(x)min=lga4=-2,
所以a-2=4,所以a=12.
点评 本题考查函数奇偶性的判断以及对数函数性质及其应用,换元法是一种常用的转化方法,通过换元可以将一些较复杂的问题转化为比较简单的问题来解决,但是一定要注意换元的等价性.
20.(★★)已知函数 f(x)=12x-1,x<0,lg2(x+1),x≥0.
(1)求f[f(-1)]的值;
(2)在绘出的平面直角坐标系中,画出函数y=f(x)的大致图象;
(3)解关于x的不等式f(x)>2.
考向 指数、对数函数的图象和性质
分析 (1)根据分段函数的解析式,按定义域要求代入求解即可;(2)根据指数、对数函数的图象以及函数图象变换规律画图即可;(3)根据分段函数的解析式分段讨论,解出f(x)>2即可.
解析 (1)f(-1)=1,f[f(-1)]=f(1)=lg2(1+1)=1.
(2)如图所示,
(3)当x<0时,令f(x)=12x-1>2,
则12x>3,得x当x≥0时,令f(x)=lg2(x+1)>2,
则x+1>4,得x>3,
故原不等式的解集为{x|x<-lg23或x>3}.
点评 本题主要考查了指数、对数函数的基本运算以及指数、对数函数的图象和性质的应用,注意正确理解、运用“左加右减、上加下减”的函数图象变换规律,对于分段函数解不等式的问题注意分段讨论.
21.(★★)某手机生产厂商为迎接5G时代的到来,要生产一款5G手机,在生产之前,该公司对手机屏幕的需求尺寸进行了社会调查,共调查了400人,将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组,分别是[5.0,5.5),[5.5,6.0),[6.0,6.5),[6.5,7.0),[7.0,7.5),[7.5,8.0)(单位:英寸),得到如下频率分布直方图:
其中,屏幕需求尺寸在[5.5,6.0)的一组人数为 50.
(1)求a和b的值;
(2)用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为[5.0,5.5)和[7.0,7.5)两组人中抽取6人参加座谈会,并在6人中选择 2 人做代表发言,则这 2 人来自同一组的概率是多少?
(3)若以厂家此次调查结果的频率作为概率,市场随机调查两人,这两人屏幕需求尺寸分别在[6.0,6.5)和[7.0,7.5)的概率是多少?
考向 频率分布直方图 古典概型 相互独立事件的概率计算
分析 (1)根据屏幕需求尺寸在[5.5,6.0)的一组人数为 50,求得区间对应的频率,进而求b,再根据频率分布直方图的面积之和为1求解a即可;(2)利用分层抽样的方法得到两组所抽取的人数,根据古典概型的方法得到所求概率;(3)利用相互独立事件的概率公式求解即可.
解析 (1)因为屏幕需求尺寸在[5.5,6.0)的一组人数为50,
所以其频率为50400=0.125,
又因为组距为0.5,所以b=,
又因为(0.1+0.25+0.7+a+0.2+0.1)×0.5=1,
所以a=0.65,所以a=0.65,b=0.25.
(2)由直方图知,屏幕需求尺寸在[5.5,6.0),[7.0,7.5)的两组人数分别为0.1×0.5×400=20,0.2×0.5×400=40,
若用分层抽样的方法在两组人中抽取6人,则在[5.0,5.5)的组中抽取2人,分别设为x,y;在[7.0,7.5)的组中抽取4人,分别设为a,b,c,d,
样本空间Ω={(x,y),(x,a),(x,b),(x,c),(x,d),(y,a),(y,b),(y,c),(y,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)},共15个基本事件,
记两人来自同一组为事件A,A={(x,y),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)},共7个基本事件,
所以P(A)=715.
(3)记事件B为屏幕需求尺寸在[6.0,6.5),事件C为屏幕需求尺寸在[7.0,7.5),若以调查频率作为概率,则P(B)=0.35,P(C)=0.1,又事件B与事件C是相互独立事件,所以P(BC)=P(B)P(C)=0.035,
所以两人屏幕需求尺寸分别在[6.0,6.5)和[7.0,7.5)的概率为0.035.
点评 本题主要考查了概率与统计的综合应用,包括频率分布直方图、抽样方法、古典概型、相互独立事件的概率等内容,熟练掌握这些概念和有关公式是正确完成本题的关键.
22.(★★★)已知函数f(x)=1ex-a,函数y=g(x)为函数y=f(x)的反函数.
(1)求函数y=g(x)的解析式;
(2)若方程g(x)=ln[(a-3)x+2a-4]恰有一个实根,求实数a的取值范围;
(3)设a>0,若对任意b∈14,1,当x1,x2∈[b,b+1]时,满足|g(x1)-g(x2)|≤ln4,求实数a的取值范围.
考向 指数函数的图象和性质 对数函数的性质 二次函数的性质
分析 (1)由f(x)=y=1ex-a,解出x,互换x,y,即可得到所求的反函数;
(2)由题意化简等式得方程(a-3)x2+(a-4)x-1=0,再分情况讨论即可;
(3)根据|g(x1)-g(x2)|≤ln4结合y=g(x)的单调性,利用二次函数的最值求解即可.
解析 (1)由f(x)=y=1ex-a,解得x=ln1y+a.
因为函数y=g(x)为函数y=f(x)的反函数,
所以g(x)=ln1x+a.
(2)由ln1x+a=ln[(a-3)x+2a-4],得(a-3)x2+(a-4)x-1=0.
因为方程g(x)=ln[(a-3)x+2a-4]恰有一个实根,
即方程(a-3)x2+(a-4)x-1=0恰有一个实根,
①当a=3时,x=-1,经检验,满足题意;
②当a=2时,x1=x2=-1,经检验,满足题意;
③当a≠2且a≠3时,x1=1a-3,x2=-1,x1≠x2,
若x1是原方程的解,当且仅当1x1+a>0,即a-3+a>0,解得a>32,
若x2是原方程的解,当且仅当1x2+a>0,即-1+a>0,解得a>1,
于是满足题意的a∈1,32.
综上,a的取值范围为1,32∪{2,3}.
(3)对于任意b≤x11x2+a,
所以函数g(x)=ln1x+a在[b,b+1]上为减函数,
则g(x)max=ln1b+a,g(x)min=ln1b+1+a,
因为当x1,x2∈[b,b+1]时,满足|g(x1)-g(x2)|≤ln4,
所以只需ln1b+a-ln1b+1+a≤ln4,
即3ab2+3(a+1)b-1≥0对任意b∈14,1恒成立.
所以函数y=3ab2+3(a+1)b-1≥0在b∈14,1上恒成立,
因为a>0,所以当b=14时,y有最小值316a+34(a+1)-1=15a16-14,
由15a16-14≥0,得a≥415,
故a的取值范围为415,+∞.
点评 本题主要考查求反函数、一元二次方程根的讨论、二次函数在闭区间上的值域问题.对于一元二次方程根的讨论要注意“真假二次”.含有多个参数的不等式恒成立问题,需要认真领会题意,一般转化为求函数最值问题.