高中数学人教版新课标A必修41.3 三角函数的诱导公式习题

第一章　三角函数

1.3　三角函数的诱导公式

基础过关练

题组一　给角求值

1.(2019山东高一期末)cos 570°=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B.- C. D.-

2.(2019河南鹤壁高一下期末)已知角α的终边经过点P(-5,-12),则sin的值等于(　　)

A.- B.- C. D.

3.(2019广西南宁三中高一期末)sin 150°·cos 240°的值为　　　　. 

4.=　　　　. 

5.(2019内蒙古集宁一中高一期中)求sin(-1 395°)·cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°的值.

题组二　给值求值

6.(2020河南林州一中高一月考)已知sin 110°=a,则cos 20°的值为(　　)

A.a B.-a         C. D.-

7.若cos(π+α)=-,<α<2π,则sin(2π+α)等于(　　)

A. B.± C. D.-

8.(2020广东东莞一中高一下月考)已知cos=,且|φ|<,则tan φ等于(　　)

A.- B. C. D.-

9.(2020甘肃武威一中高一月考)已知=,则tan α=(　　)

A.-6 B.6 C.- D.

10.(2020浙江高一期末)若cos=,则sinα+=(　　)

A.- B. C. D.-

11.(2020甘肃兰州一中高一月考)已知cos=a(|a|≤1),则cos+sin的值是　　　　. 

12.(2020四川攀枝花高一上质检)已知cos α=,且α为第四象限角,求的值.

题组三　利用诱导公式化简、计算

13.(2019四川高一期末)计算:sin +cos -tan π=(　　)

A. B.1 C.-1 D.0

14.(2020安徽合肥一中、六中、八中高一上期中)已知f(α)=,其中α是第三象限角,且cosα-=,则f(α)=　　　　. 

15.可化简为　　　　. 

16.(2020湖南高一月考)计算:sin+cos+tan.

17.化简:.

18.化简:+.

题组四　利用诱导公式证明

19.求证:=1.

20.求证:

+=.

21. 求证:=.

能力提升练

一、选择题

1.(2020重庆綦江高一上期末,★★☆)已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与射线2x-y=0(x≤0)重合,则sin-sin(π-θ)= (　　)

A.- B. C. D. -

2.(2019广东深圳耀华实验学校高一期末,★★☆)已知θ为第一象限角,若将角θ的终边按逆时针方向旋转,则它与单位圆的交点坐标是(　　)

A.(cos θ,sin θ) B.(cos θ,-sin θ)

C.(sin θ,-cos θ) D.(-sin θ,cos θ)

3.(2019陕西渭南尚德中学高一下期末,★★☆)已知sin=,则cos=(　　)

A.- B.- C. D.

4.(2019江西上饶二中高一下期末,★★☆)已知sin=cos(π-α),则α的取值集合是(　　)

A. B.

C. D.{α|α=kπ,k∈Z}

5.(2020安徽安庆高一上期末,★★☆)若函数y=sin 2x的图象经过点P(x0,y0),则其图象还经过点(　　)

A.(-x0,y0) B.        C. D.(π-x0,y0)

6.(2020西安电子科技大学附中高一月考,★★☆)在△ABC中,若sin(A+B-C)=sin(A-B+C),则△ABC必是(　　)

A.等腰三角形              B.直角三角形

C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形

7.(2018广西桂林高一下期末,★★☆)若A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式一定成立的是(　　)

A.cos(A+B)=cos C B.sin(A+B)=-sin C

C.cos=sin B     D.sin =cos

8.(2020河北高三月考,★★☆)若sin α-cos α=,则tan(π-α)=(　　)

A.- B. C.- D.

9.(2019浙江高二期末,★★☆)若α是第四象限角,sin=-,则sin=(　　)

A. B.- C. D.-

二、填空题

10.(2019安徽淮北一中高一下期中,★★☆)已知tan α=2,则cos(π+α)·cos=　　　　. 

11.(2020湖北沙市中学高一下月考,★★☆)计算+sin -=　　　　. 

12.(2019内蒙古集宁一中高一期中,★★☆)已知sin(α-3π)=2cos(α-4π), 则的值为　　　　. 

13.(★★☆)已知a=tan,b=cos ,c=sin,则a,b,c的大小关系是　　　　. 

14.(★★★)设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,且满足f(2 016)=-1,则f(2 017)的值为　　　　. 

三、解答题

15.(2020河北鸡泽一中高一下月考,★★☆)化简:(1);

(2)·sin(α-2π)·cos(2π-α).

16.(★★☆)化简:.

答案全解全析

第一章　三角函数

1.3　三角函数的诱导公式

基础过关练

1.B　cos 570°=cos(360°+210°)=cos 210°

=cos(180°+30°)=-cos 30°=-.故选B.

2.C　因为角α的终边经过点P(-5,-12),所以由三角函数的定义可知cos α===-,又由诱导公式可得sin+α=-cos α=,故选C.

3.答案　-

解析　sin 150°·cos 240°=sin(180°-30°)·cos(180°+60°)=sin 30°·(-cos 60°)=×=-.

4.答案　-2

解析　原式=

=

=

===-2.

5.解析　原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)

=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°

=×+×=+=.

6.A　sin 110°=sin(90°+20°)=cos 20°,因为sin 110°=a,所以cos 20°=a,故选A.

7.D　由cos(π+α)=- ,得cos α=,

又<α<2π,所以sin(2π+α)=sin α=-=-,故选D.

8.D　∵cos=-sin φ=,∴sin φ=-,又|φ|<,∴φ为第四象限角,

∴cos φ==, 则tan φ==-.故选D.

9.B　===,所以tan α=6,故选B.

10.B　因为-α=-,

所以cos=cos

=sin=,故选B.

11.答案　0

解析　cos+sin

=cos+sin

=-cos+cos

=-a+a=0.

12.解析　∵cos α=,且α为第四象限角,∴sin α=-=-,

∴

====7.

13.D　sin+cos-tan π=sin +cosπ--tan π=sin+-tan π=--0=0.故选D.

14.答案　-

解析　f(α)

=

==-tan α,因为α是第三象限角,且cos=-sin α=,所以sin α=-,cos α=-=-,tan α==,所以f(α)=-.

15.答案　1-sin θ

解析　

=

=

=|1-sin θ|

=1-sin θ.

16.解析　sin+cos+tan

=sin+cos+tan-6π-

=sin-cos-tan

=--1=-1.

17.解析　原式=

=

=tan θ.

18.解析　∵tan(-α)=-tan α,sin=cos α,

cosα-=cos-α=-sin α,

tan(π+α)=tan α,

∴原式=+

=+==-=-1.

19. 证明　左边=

==1=右边,

∴原等式成立.

20.证明　左边=+=+

====右边,∴原等式成立.

21.证明　右边=

=

=

=

=

=左边,∴原等式成立.

能力提升练

一、选择题

1.B　因为角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与射线2x-y=0(x≤0)重合,所以点(-1,-2)在角θ的终边上,所以sin θ=-,cos θ=-,所以sin-θ-sin(π-θ)=cos θ-sin θ=,故选B.

2.D　将角θ的终边按逆时针方向旋转,得到角θ+,角θ+的终边与单位圆的交点坐标为,即(-sin θ,cos θ).故选D.

3.A　∵x+-x-=,

∴x+=+x-,

∴cosx+=cos+x-

=-sinx-=-.故选A.

4.C　由题意得cos α=-cos α,∴cos α=0,

∴α=kπ+,k∈Z.故选C.

5.C　∵函数y=sin 2x的图象经过点P(x0,y0),∴y0=sin 2x0.

对于A,将x=-x0代入y=sin 2x,可得sin 2(-x0)=-sin 2x0=-y0,则函数y=sin 2x不一定经过点(-x0,y0),故A错误;对于B,将x=+x0代入y=sin 2x,可得sin 2+x0=sin(π+2x0)=-sin 2x0=-y0,则函数y=sin 2x不一定经过点,故B错误;对于C,将x=-x0代入y=sin 2x,可得sin 2=sin(π-2x0)=sin 2x0=y0,则函数y=sin 2x必经过点,故C正确;对于D,将x=π-x0代入y=sin 2x,可得sin 2(π-x0)=sin(2π-2x0)=-sin 2x0=-y0,则函数y=sin 2x不一定经过点(π-x0,y0),故D错误.故选C.

6.C　∵A+B=π-C,A+C=π-B,

∴sin(A+B-C)=sin(π-2C)=sin 2C,

sin(A-B+C)=sin(π-2B)=sin 2B,

则sin 2B=sin 2C,∴B=C或2B=π-2C,

即B=C或B+C=,所以△ABC为等腰或直角三角形,不一定为等腰直角三角形,故选C.

7.D　对于A,cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C;对于B,sin(A+B)=sin(π-C)=sin C;对于C,cos=cos=sin ;对于D,sin =sin =cos .故选D.

8.B　将sin α-cos α=两边同时平方,得sin2α+2cos2α-2sin αcos α=3,

则有=3,由题意知cos α≠0,∴=3,

即2tan2α+1+2tan α=0,解得tan α=- ,∴tan(π-α)=-tan α=,故选B.

9.C　∵α是第四象限角,∴+2kπ<α<(2k+2)π,k∈Z,

∴+2kπ<+α<+2kπ(k∈Z).

又sin=-,∴+α是第四象限角,

则cos==,

因此sin=sin=cos=,故选C.

二、填空题

10.答案　

解析　∵tan α=2,∴原式=-cos α·(-sin α)=sin αcos α====.

11.答案　0

解析　+sin -=+sin4π--2= --2=0.

12.答案　

解析　因为sin(α-3π)=2cos(α-4π),所以-sin α=2cos α,因此tan α==-2,

所以===.

13.答案　b>a>c

解析　∵a=-tan =-tan =-,b=cos=cos =,c=-sin=-sin=-,∴b>a>c.

14.答案　1

解析　∵f(2 016)=asin(2 016π+α)+b·cos(2 016π+β)=-1,

∴f(2 017)=asin(2 017π+α)+bcos(2 017π+β)

=asin[π+(2 016π+α)]+bcos[π+(2 016π+β)]=-[asin(2 016π+α)+bcos(2 016π+β)]=1.

三、解答题

15.解析　(1)

===1.

(2)·sin(α-2π)·cos(2π-α)=·sin α·cos α=sin2α.

16.解析　原式=

=

=

=

=

==-1.