高中数学人教版新课标A必修43.2 简单的三角恒等变换巩固练习

第三章　三角恒等变换

3.2　简单的三角恒等变换

基础过关练

题组一　求值

1.(2019陕西高一期末)已知cos=-,0<α<,则cos=(　　)

A.- B. C. D.-

2.设5π<θ<6π,cos=a,则sin=(　　)

A. B.

C.- D.-

3.若f(x)=2tan x-,则f的值是(　　)

A.- B.8 C.4 D.-4

4.已知sin-cos=-,450°<α<540°,求tan的值.

题组二　化简

5.函数f(x)=(0<x<π)的大致图象是(　　)

6.(2019吉林蛟河一中高一月考)化简-=(　　)

A.2sin 3 B.2cos 3 C.-2sin 3 D.-2cos 3

7.化简的结果是(　　)

A.-cos 1 B.cos 1

C.cos 1 D.-cos 1

8.化简+2sin2得(　　)

A.2+sin α B.2+sin

C.2 D.2+sin

9.若θ∈(π,2π),试化简.

10.已知π<α<,化简:

+.

题组三　三角恒等变换的综合应用

11.函数f(x)=cos2,x∈R,则f(x)(　　)

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数,也是偶函数

D.既不是奇函数,也不是偶函数

12.(2019山东冠县实验高级中学高一期中)已知函数f(x)=3cos2x-sin2x+3,则函数(　　)

A.f(x)的最小正周期为π,最大值为5

B.f(x)的最小正周期为π,最大值为6

C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为5

D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为6

13.(2019广东中山高一下期末)求下列各式的值:

(1)-;

(2).

14.已知向量a=,b=(sin x,-cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)求函数f(x)的单调递减区间;

(3)求函数f(x)在上的最大值和最小值.

15.(2020北京朝阳高一上期末质检)已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x+.

(1)若点P在角α的终边上,求tan 2α和f(α)的值;

(2)求函数f(x)的最小正周期;

(3)若x∈,求函数f(x)的最小值.

16.(2020浙江温州高一上期末)已知向量a=(sin x,2sin x),b=(cos x,0),设函数f(x)=|a+b|.

(1)解不等式f(x)≥;

(2)是否存在实数t∈(3,+∞),使函数y=f(x)在(3,t)内单调递增,若存在,求出t的取值范围;若不存在,请说明理由.

能力提升练

一、选择题

1.(2020广西河池中学高一下月考,★★☆)设a=cos 2°-sin 2°,b=,c=,则有　(　　)

A.a<c<b   B.a<b<c

C.b<c<a   D.c<a<b

2.(★★☆)已知函数f(x)=cos2·cos2,则f等于(　　)

A. B. C. D.

3.(2019河南郑州高一下期末,★★☆)要得到函数y=2cos2x+sin 2x-的图象,只需将函数y=2sin 2x的图象(　　)

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

4.(2019河南高一期末,★★☆)若函数f(x)=sin x+cos x-2sin xcos x+1-a有零点,则实数a的取值范围为(　　)

A. B.[-,2]

C.[-2,] D.

5.(2019河南郑州高一下期末,★★☆)设f(x)=asin 2x+bcos 2x,ab≠0,若f(x)≤对任意x∈R成立,则下列命题中正确命题的个数是(　　)

(1)f =0;

(2)<;

(3)f(x)不具有奇偶性;

(4)f(x)的单调递增区间是(k∈Z);

(5)可能存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交.

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

6.(2018江西上饶高一下联考,★★☆)设向量a=,b=,若a∥b,则sin的值是　　　　. 

7.(2020安徽安庆高一上期末,★★☆)若A为不等边△ABC的最小内角,则f(A)=的值域为　　　　. 

三、解答题

8.(2019湖南师大附中高一期中,★★☆)已知2sin x=cos x.

(1)求sin2x-sin xcos x的值;

(2)若π<x<2π,求tan的值.

9.(2019乌鲁木齐市第四中学高一期中,★★☆)已知向量a=(2sin x-cos x,sin x),b=(cos x,sin x),f(x)=a·b+1.

(1)求f(x)的单调递减区间;

(2)当x∈时,求f(x)的值域.

答案全解全析

第三章　三角恒等变换

3.2　简单的三角

恒等变换

基础过关练

1.B　因为cos=2cos2-1=-,所以cos=±,又因为0<α<,所以cos=.

2.D　∵5π<θ<6π,∴∈,,

∴sin=-=-.

3.B　f(x)=2tan x-

=2tan x+=2tan x+.

又tan ==

==,

∴f =2×++2=8.

4.解析　由题意得sin -cos 2=,

即1-sin α=,得sin α=.

∵450°<α<540°,∴cos α=-,

∴tan ===2.

5.B　f(x)=3cos2+4sin2cos2-2

=

==3×+-2=|cos x|(0<x<π),故选B.

6.A　因为-=-,<3<π,所以原式=sin 3-cos 3+sin 3+cos 3=2sin 3.

7.C　原式=====cos 1.

8.C　原式=1+2sin cos +1-cos2-=2+sin α-cos-α=2+sin α-sin α=2.

9.解析　∵θ∈(π,2π),∴sin θ<0,

∴==

=-tan .

10.解析　原式=+

.

∵π<α<,∴<<,

∴cos<0,sin>0,

∴原式=

+

=-+

=-cos.

11.D　由cos 2x=2cos2x-1,

得f(x)=cos2x+=

=+cos2x+=-,

所以f(-x)=+,故f(x)≠f(-x),且-f(x)≠f(-x),

所以该函数既不是奇函数,也不是偶函数.

12.B　依题意f(x)=3×-+3=2cos 2x+4,故最小正周期为T==π,最大值为2+4=6,故选B.

13.解析　(1)原式=

=

===4.

(2)原式=

=

===.

14.解析　(1)f(x)=a·b=sin x·cos x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin2x-,故函数f(x)的最小正周期T==π.

(2)令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

故函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).

(3)由(1)知f(x)=sin,

∵x∈,∴2x-∈,

结合正弦函数的图象可得函数f(x)在上的最大值为1,最小值为-.

15.解析　(1)因为点P,-在角α的终边上,

所以sin α=-,cos α=,tan α=-,

tan 2α===-.

f(α)=sin 2α-2sin2α+

=2sin αcos α-2sin2α+

=2×-×-2×-2+

=0.

(2)f(x)=sin 2x-2sin2x+

=sin 2x+cos 2x

=2sin2x+,

所以f(x)的最小正周期为π.

(3)因为x∈0,,

所以≤2x+≤,

所以-≤sin2x+≤1,

所以当2x+=,即x=时,f(x)有最小值-.

16.解析　(1)由题意得,

f(x)=

=

=.

令≥,

得sin2x-≥,

得+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z).

∴不等式的解集是x≤x≤kπ+,k∈Z.

(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

∴f(x)的单调递增区间是kπ-,kπ+(k∈Z).

由题知当k=1时,f(x)在,内单调递增,且3∈,满足条件,

所以当3<t≤时,f(x)在(3,t)内单调递增,

∴3<t≤.

能力提升练

一、选择题

1.D　由题意可得,a=cos 2°-sin 2°

=sin 30°cos 2°-cos 30°sin 2°=sin 28°,

b==tan 28°,

c===sin 25°,

结合三角函数线和三角函数的单调性可得c<a<b.

2.A　f(x)=cos2·cos2

=·

=·=,

所以f ==.

故选A.

3.C　y=2cos2x+sin 2x-=(2cos2x-1)+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2cos 2x+sin 2x=2sin=2sin 2,故只需将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度.故选C.

4.D　令f(x)=0,得a=sin x+cos x-2sin xcos x+1,

∵(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x,令t=sin x+cos x=sin∈[-,],

则2sin xcos x=t2-1,∴sin x+cos x-2sin x·cos x+1=t-(t2-1)+1=-t2+t+2,

构造函数g(t)=-t2+t+2,其中-≤t≤,

则g(t)=-+,

∴g(t)max=g=,g(t)min=g(-)=-,

∴当-≤a≤时,直线y=a与函数y=g(t)的图象在区间[-,]上有交点,

∴实数a的取值范围是,故选D.

5.B　f(x)=sin(2x+θ)其中tan θ=.由于f(x)≤对任意x∈R成立,故x=是函数f(x)图象的对称轴,所以2×+θ=kπ+,k∈Z,∴θ=kπ+,k∈Z,

所以f(x)=sin

=±sin.

对于(1),f=±sin2×+=0,故(1)正确.对于(2),计算得=,故(2)错误.对于(3),根据f(x)的解析式可知,f(x)是非奇非偶函数,故(3)正确.对于(4),由于f(x)的解析式有两种情况,故单调性要分情况讨论,故(4)错误.对于(5),要使经过点(a,b)的直线与函数f(x)没有交点,则此直线和x轴平行,且|b|>,两边平方得b2>a2+b2,与已知矛盾,所以不存在经过点(a,b)的直线与函数的图象不相交,故(5)错误.综上,正确的命题有两个,故选B.

二、填空题

6.答案　-

解析　因为a∥b,

所以cos α+=sin α,

所以cos α+=sin α,

所以sinα-=,

所以sin2α-=sin2α--

=-cos2α-=2sin2α--1

=-1=-.

7.答案　(0,-1]

解析　∵A为不等边△ABC的最小内角,

∴A∈,设t=sin A+cos A,

则t=sin A+cos A=sin∈(1,].

又2sin Acos A=(sin A+cos A)2-1=t2-1,

∴f(A)===t-1∈(0,-1].故答案为(0,-1].

三、解答题

8.解析　(1)由2sin x=cos x得tan x=,

则sin2x-sin xcos x=

==-.

(2)解法一:tan x==,

则tan2+4tan-1=0,解得tan=-2±,

由π<x<2π及tan x=>0,得π<x<,

则<<,∴tan=-2-.

解法二:由π<x<2π及tan x=>0,得π<x<,

从而sin x=-,cos x=-,

tan=====-2-.

9.解析　(1)f(x)=a·b+1=(2sin x-cos x)·cos x+sin2x+1

=2sin xcos x-cos2x+sin2x+1

=sin 2x-(cos2x-sin2x)+1

=sin 2x-cos 2x+1

=2sin+1,

由于函数y=sin u的单调递减区间为,

所以令+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),

因此函数y=f(x)的单调递减区间为,k∈Z.

(2)∵x∈,∴2x-∈-,,∴sin∈,

∴2sin+1∈[1-,2],因此函数y=f(x)在区间上的值域为[1-,2].