华师大版九年级上册24.3 锐角三角函数综合与测试导学案及答案

第15讲  锐角三角函数

1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；

2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；

3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.

知识点01 锐角三角函数的概念 

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；

锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；

锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.

同理；；．

【微点拨】

　　(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．

　　(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，

　 　　，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成

　 　　“tanAEF”；另外，、、常写成、、．

　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．

　　(4)由锐角三角函数的定义知：

当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．

【即学即练1】

如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）

A．2 B． C． D．

知识点02 特殊角的三角函数值

　　　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：

【微点拨】

　　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．

　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现：

　 　　、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：

　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；

　 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．

【即学即练2】

求下列各式的值：

 (1)（2021•茂名校级一模） 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；

 (2)（2021•乐陵市模拟） sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；

(3)（2021•宝山区一模） +tan60°﹣．

知识点03锐角三角函数之间的关系

　　如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

　　(1)互余关系：，；

　　(2)平方关系：；

　　(3)倒数关系：或；

　　(4)商数关系：．

【微点拨】

　　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．

【即学即练3】

已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0

（1）试判断△ABC的形状．

（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．

题组A  基础过关练

1.  已知为锐角，，则的值为（ ）

A. B. C. D.

2.  在中，＝，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.

3.  直角中，，，则的值是（ ）

A. B. C. D.

4.  在中，，如果，那么的值为（ ）

A. B. C. D.

5.  计算：的结果等于(        )

A. B. C. D.

6.  已知锐角满足，则锐角的值为（ ）

A. B. C. D.

7.  在中，，，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.

8.  已知为锐角，，则的值为（ ）

A. B. C. D.

题组B  能力提升练

9.  在中，，下列式子不一定成立的是（ ）

A. B.

C. D.

10.  中，，若，则的值是（ ）

A. B. C. D.

11.  计算：________.

12.  为一锐角，且，那么________．

13.  已知ɑ，则锐角ɑ________．

14.  已知是锐角，，则________．

15.  若则________.

16.  若是锐角，且，则________．

17.  在中，，，则等于________．

18.  已知，都是锐角，且，，则________．

19.  如果是锐角，且十，那么________度．

20.  中，＝，，则＝________．

题组C  培优拔尖练

21.  在中，，，求的值．

22.  计算：.

23.  计算：．

24.  已知，求的值．

25.  在中，已知，，求的值．

26.  计算：．

27.  计算：