山东省青岛市2021届高三数学二模试卷及答案

这是一份山东省青岛市2021届高三数学二模试卷及答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学二模试卷
一、单选题
1.集合 ，集合 ，则 （    ）
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
2.设 是虚数单位，若复数 满足 ，则复数 对应的点位于复平面的（    ）
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
3.设 、 是空间两个不同平面， 、 、 是空间三条不同直线，下列命题为真命题的是（    ）
A. 若 ， ，则              B. 若直线 与 相交， ， ，则 与 相交
C. 若 ， ，则        D. 若 ， ， ， ， ，则
4.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下： ，已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （    ）
A.                                         B. 45                                        C. 75                                        D. 150
5.已知 ，则 的大小关系正确的为（    ）
A.                      B.                      C.                      D. 
6.已知直线 ，曲线 ，则下列说法正确的是（    ）
A. “ ”是曲线C表示圆的充要条件
B. 当 时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1
C. “ 是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件
D. 当 时，曲线C与圆 有两个公共点
7.若将函数 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，则函数 在 上的最大值为（    ）
A. 2                                         B.                                          C. 1                                         D. 
8.定义在 上的奇函数 的图象连续不断，其导函数为 ，对任意正实数 恒有 ，若 ，则不等式 的解集是（    ）
A.                          B.                          C.                          D. 
二、多选题
9.某鱼业养殖场新进1000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：
分组(单位：毫米)






频数
100
100
m
350
150
n
已知在按以上6个分组做出的频率分布直方图中， 分组对应小矩形的高为 ，则下列说法正确的是（    ）
A. 
B. 鱼苗体长在 上的频率为
C. 鱼苗体长的中位数一定落在区间 内
D. 从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间 上的次数的期望为30
10.已知曲线 分别为曲线C的左右焦点，则下列说法正确的是（    ）
A. 若 ，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为
B. 若曲线C的离心率 ，则
C. 若 ，则曲线C上不存在点P，使得
D. 若 为C上一个动点，则 面积的最大值为
11.在平面直角坐标系中， 为坐标原点，P为 轴上的动点，则下列说法正确的是（    ）
A. 的最小值为2
B. 若 ，则 的面积等于4
C. 若 ，则 的最小值为5
D. 若 ，且 与 的夹角 ，则
12.在如图所示的几何体中，底面 是边长为4的正方形， 均与底面 垂直，且 ，点 分别为线段 的中点，则下列说法正确的是（    ）

A. 直线 与 所在平面相交
B. 三棱锥 的外接球的表面积为
C. 点C到平面 的距离为
D. 二面角 中， 平面 平面 为棱 上不同两点， ，若 ，则
三、填空题
13.某机械厂对一台自动化机床生产的标准零件尺寸进行统计发现，零件尺寸误差 近似服从正态分布 （误差单位 ），已知尺寸误差的绝对值在 内的零件都是合格零件，若该机床在某一天共生产了5000个零件，则其中合格的零件总数为      .
附：随机变量 服从正态分布 ，则 ， .
14.若 ，则       .
15.若二项式 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项是      .
16.定义方程 的实数根 叫做函数 的“新驻点”，若函数 ， 的“新驻点”分别为 ，则 的大小关系为      .
四、解答题
17.如图，直四棱柱 的底面是边长为1的正方形，点 在 上，且

（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
18.在 中，角 所对的边分别为
（1）若 ，点D在边AB上， ，求 的外接圆的面积；
（2）若 ，求 面积的最大值.
19.一场科普知识竞答比赛由笔试和抢答两部分组成，若笔试和抢答满分均为100分，其中5名选手的成绩如下表所示：
选手





笔试（x分）
87
90
91
92
95
抢答（y分）
86
89
89
92
94
对于这5名选手，根据表中的数据，试解答下列两个小题：
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）现要从笔试成绩在90分或90分以上的选手中选出2名参加一项活动，以 表示选中的选手中笔试和抢答成绩的平均分高于90分的人数，求随机变量 的分布列及数学期望 .
附：
20.在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，抛物线 上不同两点 同时满足下列三个条件中的两个：① ；② ；③直线 的方程为 .
（1）请分析说明两点 满足的是哪两个条件？并求抛物线 的标准方程；
（2）若直线 与抛物线 相切于点 与椭圆 相交于 两点， 与直线 交于点 ，以 为直径的圆与直线 交于 两点，求证：直线 经过线段 的中点.
21.已知函数 .
（1）求 的最小值；
（2）若存在区间 ，使 在 上的值域为 ，求实数 的取值范围.
22.若数列 满足：对于任意 ，只有有限个正整数 使得 成立，则记这样的 的个数为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）在等比数列 中， 是函数 的极小值点，求 的取值范围；
（3）求数列 的通项公式.

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】 ， 为实数集中去掉除1和2以外的所有正整数的实数组成的集合．
，
所以 ．
故答案为：D．

【分析】有对数定义域求出集合A，指数函数值域求出集合B，再用集合补集和交集运算即可求得。
2.【答案】 A
【解析】【解答】由题意可得 ，
因此，复数 对应的点(1,1)位于复平面的第一象限.
故答案为：A.

【分析】先由复数乘除运算化简z，再根据复数几何意义即可求得。
3.【答案】 D
【解析】【解答】对于A选项，若 ， ，则 或 ，A选项错误；
对于B选项，若直线 与 相交， ， ，则 与 相交或平行，B选项错误；
对于C选项，若 ， ，则 与 的位置关系不确定，C选项错误；
对于D选项，若 ， ， ， ，由面面垂直的性质可得 ，
，所以， ，D选项正确.
故答案为：D.

【分析】A由面面平行的性质可判断A错误。
B由线面平行性质可判断B错误。
C由面面垂直性质可判断C错误。
D由面面垂直性质和线面垂直性质可判断D正确。
4.【答案】 C
【解析】【解答】由行列式的定义有 ，即 ，
所以 .
故答案为：C.

【分析】由二阶行列式定义可求得a8=5，再由等差数列前n项和即可求得。
5.【答案】 B
【解析】【解答】解： ，
，
∴指数函数 在 上单调递减，
，即 ，
又幂函数 在 上单调递增，
，即 ，
，
故答案为：B.

【分析】先由已知推出0 再根据指数函数单调性和幂函数单调性判断大小即可判出。
6.【答案】 C
【解析】【解答】对于A，曲线 ，曲线 要表示圆，则 或 ，
所以“ ”是曲线 表示圆的充分不必要条件，A不符合题意；
对于B， 时，直线 ，曲线 ，
圆心到直线 的距离 ，
所以弦长 ，B不符合题意；
对于C，若直线 与圆相切，圆心到直线 的距离 ，
所以“ 是直线 与曲线 表示的圆相切的充分不必要条件，C符合题意；
对于D，当 时，曲线 ，其圆心坐标 ， ，
曲线C与圆 两圆圆心距离为 ，故两圆相离，不会有两个公共点，D不符合题意.
故答案为：C.

【分析】A由圆一般方程可判出A错误。
B由直线与圆相交性质可求出弦长为2可判断B错误。
C由直线与圆位置关系可判断C正确。
D由圆与圆位置关系可判断D错误。
7.【答案】 A
【解析】【解答】函数 的图象向左平移 个单位长度后，
图象所对应解析式为： ，
由 关于 轴对称，则 ，
可得 ， ，又 ，所以 ，
即 ，
当 时， ，
所以当 时，即 时， .
故答案为：A．

【分析】由正弦型函数图像变换求出， 再由正弦函数对称性和最值即可求得。
8.【答案】 D
【解析】【解答】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
所以当 时，有 ，
所以 为奇函数，
且对于正实数  
有 ，即 ，
所以 ，
所以 在 是增函数，又因为 为奇函数，
所以 c，
由 得 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
故答案为：D.

【分析】由函数奇偶性推出为奇函数，再结合导数推出为奇函数，再解对数不等式即可求得D正确。
二、多选题
9.【答案】 A,C,D
【解析】【解答】因为 分组对应小矩形的高为0.01，组距为5，
所以 分组对应的频率为 ， ，
则 ，A符合题意，
鱼苗体长在 上的频率为 ，B不符合题意，
因为鱼的总数为 ， ， ，
所以鱼苗体长的中位数一定落在区间 内，C符合题意，
由表中数据易知，鱼苗体长落在区间 上的概率 ，
设所抽取鱼苗体长落在区间 上的次数为X，
则X服从二项分布，即 ，
则 ，D符合题意，
故答案为：ACD.

【分析】由频率分布直方图可判出A正确，B错误，C正确，由题意依据二项分布期望可判断D正确。
10.【答案】 A,B,D
【解析】【解答】对于A选项，当 时，曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，渐近线方程为 ，故渐近线的倾斜角分别为 ，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为 ，A选项正确；
对于B选项，离心率 ，则曲线C为焦点在 轴上的双曲线， ，故 ，所以 ，所以 ，B选项正确；
对于C选项，若 ，则曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，此时 ，设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为 ，则 ，故 为钝角，所以线 上存在点 ，使得 ，C选项错误；
对于D选项，若 ，则曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，此时 ， 为 上一个动点，则 面积的最大值为 ，D选项正确.
故答案为：ABD

【分析】A根据双曲线渐近线方程可渐近线的倾斜角分别为 ，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为 ，A选项正确。
B根据椭圆离心率和椭圆中a,b,c的关系可求出m=-27，故B正确。
C根据椭圆标准方程可判断C表示焦点在 轴上的椭圆，再结合余弦定理即可判断C错误。
D根据椭圆标准方程和椭圆性质可判出P在短轴顶点时  面积的最大，根据三角形面积公式即可求出为  ，故D正确。
11.【答案】 A,C,D
【解析】【解答】 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，A符合题意；
， ，
轴， ， ，B不符合题意；
， 关于 轴的对称点 ，
，
，
当且仅当 共线时等号成立．C符合题意；
，则 ，
， ，
与 的夹角 ，即 ，
所以 ， ，
令 ，则 ，
，
易知函数 在 上是增函数，
所以 ，
所以 ，D符合题意．
故答案为：ACD．

【分析】A依据向量摸结合基本不等式可判断A正确。
B由三角形面积公式易判B错误。
C根据两点间距离公式结合三角形三边关系可判出C正确。
D根据向量夹角推出 ， 令 ，则 ， 利用单调性可推出 ， 故D正确。
12.【答案】 B,C
【解析】【解答】取 中点 ，连接 ，由题意 且 ，

所以 是平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又由中位线性质得 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
与 是平面 内两相交直线，所以平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
又由 与 平行且相等，得 是平行四边形，所以 ，
而 平面 ，所以 平面 ，A不符合题意；
把几何体补成长方体 ，则三棱锥 的外接球就是长方体 的外接球，球半径为 ，
表面积为 ，B符合题意；

设 到平面 距离为 ，
由已知 ， ， ， ，
所以 ， ，
由 得 ， ，C符合题意．

作出二面角 ，由上面的长方体知 是二面角 的平面角，
易得 ，
作 且 ，连接 ，则 是平行四边形， ， ，
，所以 ，而 ，所以 是二面角 的平面角， ，
，
由 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ．D不符合题意．

故答案为：BC．

【分析】取 中点 ，连接 ， 证出平面 平面 ， 易证平面 ， ， 得到 直线  与 位置关系可判A错误。
B把几何体还原成长方体可求得外接圆半径，求得球的表面积可判出B正确。
C利用等积法求出点C到平面AEF的距离可判C正确。
D作出二面角， 证出 是二面角 的平面角，在二面角中求出MN长，可判断D错误。
三、填空题
13.【答案】 3413
【解析】【解答】由已知条件可得 ， ， ，
因此，合格的零件总数为 .
故答案为：3413.

【分析】由正态分布求出， 易得合格的零件总数为 。
14.【答案】
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以
.
.
故答案为： .

【分析】根据同角三角函数基本关系式求得， 由正弦和角公式求出sin,再由余弦倍角公式即可求得。
15.【答案】 240
【解析】【解答】 的展开式中所有项的二项式系数之和为 ， .
的展开式的通项公式为 ，
令 ，可得 ，
的展开式的常数项为 .
故答案为：240.

【分析】根据二项式系数和可求得n,再由二项式定理通项公式即可求得常数项。
16.【答案】
【解析】【解答】 ， ， ，
，由 得 ，
在 上， 是增函数， 是减函数， ，
若 ，则 ，所以 ，
，由 得 ， ，又 ，所以 ，
所以 ．
故答案为：

【分析】类比题中定义利用导数求得， ， 再由单调性推出， 进而推得 ， 同理推得 ， 即可判断   的大小 。
四、解答题
17.【答案】 （1）在直四棱柱 中， 平面
因为 平面 ，所以
又因为 ， 平面
所以 平面
又因为 平面 ，所以平面 平面

（2）由（1）知： 平面 ，所以
在 中，可求得
以A为坐标原点，分别以 为 轴，建立空间直角坐标系 ，

因为 ，所以 ，
所以平面 的一个法向量为 因为 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 ，令 得
设二面角 的平面角为 ，
所以 ．
【解析】【分析】（1）由面面垂直判定即可证得。
（2）以A为坐标原点，分别以  为  轴，建立空间直角坐标系  ，由法向量的夹角即可求出二面角。
18.【答案】 （1）由 得： ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，
由余弦定理得：
设 外接圆的半径为 ，
由 可得： ，
所以 外接圆的面积

（2）由（1）可知 ，又 ，
由余弦定理可得： ，即 ，
因为 ，所以 ，
从而 （当且仅当 时取等号），
所以 面积 ，
从而 面积 的最大值为 .
【解析】【分析】（1）由正弦定理 得 ，求得   进而求得sinA，再由正弦定理求出AB，再由余弦定理求出CD，由正弦定理求出外接圆半径，易得  外接圆的面积 。
（2）由余弦定理结合基本不等式求得 ，再由面积公式即可求得  面积  的最大值 。
19.【答案】 （1），
，
，
所以 ， ，
故回归直线方程为

（2）随机变量的可能取值为0，1，2,
因为笔试成绩在90分或90分以上的选手有 共4人，
他们笔试和抢答的成绩平均分分别为： ，平均分高于90分的有2人，
所以 ,
故 的分布列为

0
1
2




所以 .
【解析】【分析】（1）由  得  ，  再由线性回归方程得  。
（2）由概率求出随机变量分布列，再用期望公式即可求 数学期望 。
20.【答案】 （1）若同时满足条件①②：
由① 知 过焦点 ，
当 时， ，而 ，
所以①②不同时成立.
若同时满足条件①③：
由① 知 过焦点 ，
显然，直线 不可能过焦点 ，
所以①③不同时成立.
只能同时满足条件②③：
因为 ，且直线 的方程为： ，
所以 ，解得 ，
拋物线 的标准方程为： .

（2）设 ，因为抛物线 ，所以 ，
直线 的斜率 ，
设 中点为 ，所以 ，
两式作差得：直线 的斜率 ，
因为 为直径，所以 ，
从而 ，直线 的斜率 ，
所以 ，所以 共线，
所以直线 经过线段 的中点.
【解析】【分析】（1）根据抛物线的性质通过推理可判断 ①②不同时成立 ， ①③不同时成立 ， 只能同时满足条件②③，再由抛物线标准方程即可求得。
（2）由导数求出直线  的斜率  ， 设  中点为 ，A,B坐标代入椭圆方程所得两式做差求出 直线  的斜率 ，再由斜率公式求出 直线  的斜率 ，得   所以  共线，即可证出。
21.【答案】 （1））函数 的定义域为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 的最小值为 .

（2），
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
为满足题意，必须 ，
即 在 有两个不同的实数解，
所以 ，记 ，
则 ，
再令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，
又所以 ，解得 .
【解析】【分析】（1）由导数求最值。
（2）通过两次求导推出   在  上单调递增，再由题意得
可得  在  有两个不同的实数解，得出   ，设 由导数推出 在  上单调递减，在  上单调递增 ，可推出   ， 解得 。
22.【答案】 （1）由 ，可得： ，
所以数列 的通项公式为

（2）因为 ，
若 对于任意 恒成立，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以 ，即 ，所以 .
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减.
所以 ，所以 符合题意，
若 ，则 ， 的极小值点为 ，
所以 ，此时 ，所以 无极值，不适合；
若 ，则 ， 的极小值点为 ，
因为 ，所以 ，所以此时 不是等比数列，不适合；
若 ，则 ，此时 ，所以 无极值，不适合；
若 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，此时 不是等比数列.
综上， ；

（3）由 可得： ，所以 ，
所以 ， ， ，
即数列 是0、1、1、1、2、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、3、…
又因为 ，所以 .
【解析】【分析】（1）通过类比推理即可求得 数列  的通项公式 。
（2）根据导数可求出fn（x)极小值点， 所以   ， 即   ， 所以  ，令 ，再由导数求出    ， 所以  符合题意 ，再根据题意排除 了 ，  ，   ， 综上， 。
（3）根据题中定义得    ， 即数列  是0、1、1、1、2、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、3、… ，再由  ，可得  。