高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积练习

这是一份高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积练习，共11页。试卷主要包含了4　平面向量的数量积等内容，欢迎下载使用。

第二章　平面向量
2.4　平面向量的数量积
2.4.2　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
基础过关练

题组一　数量积的坐标运算
1.(2019安徽高三月考)已知AB=(-3,-2),AC=(m,1),|BC|=3,则BA·AC=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.7 B.-7 C.15 D.-15
2.已知a=(2,1),b=(-1,1),则向量a在b方向上的投影为(　　)
A.22 B.-22 C.-55 D.55
3.(2019北京师大附中高一期中)已知向量a=(-1,2),b=(3,4),则a2-a·b=(　　)
A.0 B.-1
C.2或-2 D.12
4.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则这个三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
5.已知OA=(2,2),OB=(4,1),OP=(x,0),则当AP·BP的值最小时,x的值是(　　)
A.-3 B.3 C.-1 D.1
6.(2019江苏苏州高一上学业调研)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,4),B(5,12).
(1)求OA·OB的值;
(2)若∠AOB的平分线交线段AB于点D,求点D的坐标;
(3)在单位圆上是否存在点C,使得CA·CB=64?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.


题组二　向量的模
7.已知点A(1,-1),B(-2,3), 则与向量AB方向相同的单位向量为(　　)
A.-35,45 B.35,-45
C.-45,35 D.45,-35
8.已知向量a=(x,2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,则x的值为　　　　. 
9.已知向量a=(x,1),b=(1,2),c=(-1,5),若(a+2b)∥c,则|a|=　　　　. 
10.已知向量a,b满足a=(1,-1),a+b=(3,1),则|b|=　　　　. 
11.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,求|PA+3PB|的最小值.








题组三　向量的夹角
12.(2018陕西四校高三联考)已知向量a=(1,-3),b=(0,-2),则a与b的夹角为(　　)
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
13.(2019安徽高一期末)已知向量a=12,-32,|b|=23,若a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为(　　)
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
14.(2019河北深州中学高二期末)已知向量a=(x,6),b=(3,4),若a与b的夹角为锐角,则实数x的取值范围是(　　)
A.[-8,+∞) B.-8,92∪92,+∞
C.-8,92∪92,+∞ D.(-8,+∞)
15.(2018湖南衡阳八中高一下期末)已知向量a=(x2,x+2),b=(-3,-1),c=(1,3),若a∥b,则a与c的夹角为　(　　)
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
16.已知a=(1,2),b=(3,4),求a+b与a-b夹角的余弦值.

















题组四　坐标表示下的平面向量数量积的应用
17.(2019内蒙古高一期末)已知向量a=(1,0),b=(1,1),则下列结论正确的是(　　)
A.|a|=|b| B.a·b=2
C.a-b与a垂直 D.a∥b
18.(2019湖南长沙一中高三月考)已知向量a=(k,-2),b=(2,2),a+b为非零向量,若a⊥(a+b),则实数k的值为(　　)
A.0 B.2 C.-2 D.1
19.(2019湖南长沙一中高一期中)已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于(　　)
A.79,73 B.-73,-79
C.73,79 D.-79,-73
20.在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积是(　　)
A.5 B.25 C.5 D.10
21.(2020云南宾川四中高一月考)已知a=(4,2),则与a垂直的单位向量的坐标为(　　)
A.255,-55或-255,-55
B.55,255或-55,-255
C.255,55或-255,-55
D.55,-255或-55,255
22.设向量a=(3,-1),b=(1,m),若(a+2b)⊥a,则|b|=　　　　. 
23.(2020安徽淮北高三月考)在△ABC中,三个顶点的坐标分别为A(3,t),B(t,-1),C(-3,-1),已知△ABC是以B为直角顶点的直角三角形,求t的值.













24.已知a=(3,-1),b=12,32,
(1)证明:a⊥b;
(2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求函数关系式k=f(t).
能力提升练

一、选择题
1.(2020陕西安康高一下期末,★★☆)已知向量a=(0,-1),b=-12,12,则下列结论正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a∥b B.(a+b)⊥b
C.(a-b)⊥b D.|a-b|=|b|
2.(2019云南曲靖一中高三质检,★★☆)若O(0,0),A(1,3),B(3,1),则sin∠AOB=(　　)
A.35 B.45 C.-35 D.-45
3.(2020贵州高二月考,★★☆)已知向量a=(1,-2),b=(1,1),m=a+b,n=a-λb,如果m⊥n,那么实数λ=(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
4.(2019山东济南历城第二中学高一期中,★★☆)已知向量a=12,-32,|b|=1,且两向量的夹角为120°,则|a-b|=(　　)
A.1 B.3 C.5 D.7
5.(2019浙江高一期中,★★☆)平面向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=3,|a-b|=4,当|a+b|取得最小值时,a·b=(　　)
A.0 B.2 C.3 D.6

二、填空题
6.(★★☆)如图,在正方形ABCD中,AD=4,点E为DC边上一点,DE=3EC,点F为BC边的中点,则AE·AF=　　　　. 

7.(★★☆)已知向量a,b满足a=(2,0),|b|=1,|a+b|=3,则向量a,b所成的角为　　　　. 

三、解答题
8.(2019甘肃高二期末,★★☆)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=25,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=52,且a+2b与a-b垂直,求a与b的夹角θ.


9.(2020安徽六安月考,★★☆)已知△ABC是边长为1的正三角形,动点M为△ABC所在平面内一点,若AM·AB<0,|CM|=1,求CM·AB的取值范围.








10.(2019广西南宁三中高一期中,★★☆)(1)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),求a与b的夹角θ;
(2)设四边形ABCD为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4,若点M,N满足BM=3MC,DN=2NC,求AM·NM的值.









11.(2019浙江杭州高一下期中,★★☆)平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(0,1),C(2,5),D是AC上的动点,满足AD=λAC(λ∈R).
(1)求|2AB+AC|的值;
(2)求cos∠BAC;
(3)若BD⊥BA,求实数λ的值.







答案全解全析
第二章　平面向量
2.4　平面向量的数量积
2.4.2　平面向量数量积的
坐标表示、模、夹角
基础过关练
1.B　因为AB=(-3,-2),AC=(m,1),
所以BC=AC-AB=(m+3,3),
所以|BC|=(m+3)2+9=3,所以m=-3,
所以AC=(-3,1),
所以BA·AC=-AB·AC=(3,2)·(-3,1)=-9+2=-7.故选B.
2.B　由题意知a·b=-1,|b|=2,∴向量a在b方向上的投影为a·b|b|=-12=- 22.故选B.
3.A　因为a=(-1,2),b=(3,4),所以a2=|a|2=1+4=5,a·b=(-1)×3+2×4=5,所以a2-a·b=5-5=0.故选A.
4.B　易知AB=(2,-2),CB=(6,6),∴AB·CB=2×6+(-2)×6=0,即AB⊥CB.
又|AB|=4+4=22,|CB|=36+36=62,即|AB|≠|CB|,
∴△ABC为直角三角形.故选B.
5.B　由已知可得AP=OP-OA=(x-2,-2),
BP=OP-OB=(x-4,-1),
AP·BP=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,AP·BP的值最小.故选B.
6.解析　(1)由已知可得OA=(3,4),OB=(5,12),所以OA·OB=3×5+4×12=63.
(2)设点D的坐标为(a,b),则AD=(a-3,b-4),且AB=(2,8).
因为点D在线段AB上,
所以AD∥AB,所以8(a-3)=2(b-4),化简得4a-b=8,①
再设∠AOD=∠BOD=θ,
则cos θ=OA·OD|OA||OD|=(3,4)·(a,b)5a2+b2=3a+4b5a2+b2,
同理cos θ=OB·OD|OB||OD|=(5,12)·(a,b)13a2+b2=5a+12b13a2+b2,
可知13(3a+4b)=5(5a+12b),化简得a=47b,②
由①②解得a=329,b=569,即点D的坐标为329,569.
(3)假设单位圆上存在点C(cos α,sin α)满足条件,
则CA·CB=(3-cos α,4-sin α)·(5-cos α,12-sin α)=sin2α+cos2α-8cos α-16sin α+15+48=64-8(cos α+2sin α).
当CA·CB=64时,cos α+2sin α=0,即cos α=-2sin α,
又因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=15,
所以sinα=55,cosα=-255或sinα=-55,cosα=255.
所以当α为第二象限角时,点C的坐标为-255,55;
当α为第四象限角时,点C的坐标为255,-55 .
综上,单位圆上存在点C-255,55或C255,-55满足题意.
7.A　由题可得AB=(-3,4),
设与向量AB方向相同的单位向量为a,则a=λAB=λ(-3,4),其中λ>0,
则|a|=(-3λ)2+(4λ)2=1,解得λ=15或λ=-15(舍去),
所以与向量AB方向相同的单位向量为a=-35,45.故选A.
8.答案　2
解析　因为a=(x,2),b=(-1,1),所以a+b=(x-1,3),a-b=(x+1,1),
因为|a-b|=|a+b|,所以有(x+1)2+1=(x-1)2+9,解得x=2.
9.答案　10
解析　∵a=(x,1),b=(1,2),∴a+2b=(x+2,5),又(a+2b)∥c,∴5(x+2)=-5,解得x=-3,∴a=(-3,1),∴|a|=10.
10.答案　22
解析　依题意得b=(3,1)-(1,-1)=(2,2),故|b|=22+22=22.
11.解析　建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=h,则A(2,0),B(1,h).设P(0,y)(0≤y≤h),则PA=(2,-y),PB=(1,h-y),
∴PA+3PB=(5,3h-4y),
∴|PA+3PB|=25+(3h-4y)2≥25=5.
故|PA+3PB|的最小值为5.

12.A　设a与b的夹角为θ(θ∈[0,π]),
则cos θ=a·b|a||b| =1×0+(-3)×(-2)1+3×0+4=32,
所以θ=π6.故选A.
13.A　由已知可得a2=|a|2=1,a·b-a2=2,即a·b=3,
设向量a与b的夹角为θ,则cos θ=a·b|a||b|=32,所以向量a与b的夹角为π6.故选A.
14.B　若a∥b,则4x=18,解得x=92.
因为a与b的夹角为锐角,所以x≠92.
又a·b=3x+24,且a与b的夹角为锐角,
所以a·b>0,即3x+24>0,解得x>-8.
又x≠92,所以x∈-8,92∪92,+∞.故选B.
15.A　由a∥b,a=(x2,x+2),b=(-3,-1),知x≠0,所以x2>0,又-3<0,
所以a,b的方向相反.
设b,c的夹角为θ,则a与c的夹角为π-θ.
由b=(-3,-1),c=(1,3),
可得cos θ=-3-32×2=-32,∴θ=5π6,
所以a与c的夹角为π-θ=π6.故选A.
16.解析　∵a=(1,2),b=(3,4),
∴a-b=(-2,-2),a+b=(4,6),
∴cos=(-2)×4+(-2)×622×213=-52626.
17.C　由题意得|a|=1,|b|=2,选项A错误;a·b=1,选项B错误;(a-b)·a=(0,-1)·(1,0)=0,∴(a-b)⊥a,选项C正确;∵不存在实数λ,使得b=λa,∴a与b不平行,选项D错误.故选C.
18.A　∵a=(k,-2),b=(2,2),
∴a+b=(k+2,0).
∵a⊥(a+b),∴a·(a+b)=k(k+2)=0.
∵a+b为非零向量,即k+2≠0,
∴k=0.故选A.
19.D　设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n).
由(c+a)∥b,
得(-3)×(1+m)=2×(2+n),即3m+2n+7=0.①
由c⊥(a+b),a+b=(3,-1),得3m-n=0.②
由①②得m=-79,n=-73,
∴c=-79,-73.
20.C　因为AC=(1,2),BD=(-4,2),
所以|AC|=5,|BD|=25,
又AC·BD=1×(-4)+2×2=0,
所以AC⊥BD,
所以S四边形ABCD=12|AC|×|BD|=12×5×25=5.故选C.
21.D　设所求向量为b=(x,y),
∴x2+y2=1,4x+2y=0,∴x=55,y=-255或x=-55,y=255.
故选D.
22.答案　65
解析　a+2b=(5,-1+2m),由于(a+2b)⊥a,所以(a+2b)·a=0,即(5,-1+2m)·(3,-1)=15+1-2m=0,解得m=8,故|b|=12+82=65.
23.解析　由已知得BA·BC=0,即(3-t,t+1)·(-3-t,0)=0,∴(3-t)(-3-t)=0,解得t=3或t=-3,当t=-3时,点B、C重合,故t的值是3.
24.解析　(1)证明:∵a·b=3×12-1×32=0,
∴a⊥b.
(2)∵x⊥y,∴x·y=-ka2+[t-k(t2-3)]a·b+t(t2-3)b2=0.
∵|a|=2,|b|=1,a·b=0,
∴-4k+t(t2-3)=0,
∴k=14(t3-3t)(t≠0).
能力提升练
一、选择题
1.B　若a∥b,则0×12-(-1)×-12=0,显然不成立,故A错误;
若(a+b)⊥b,则(a+b)·b=0,即-12,-12·-12,12=14-14=0,显然成立,故B正确;
若(a-b)⊥b,则(a-b)·b=0,即12,-32·-12,12=-14-34=0,显然不成立,故C错误;
若|a-b|=|b|,则14+94=14+14,显然不成立,故D错误.故选B.
2.B　由已知得OA=(1,3),OB=(3,1),
∴cos∠AOB=OA·OB|OA||OB|=1×3+3×110×10=35,
∴sin∠AOB=45.故选B.
3.A　∵a=(1,-2),b=(1,1),
∴m=a+b=(2,-1),
n=a-λb=(1-λ,-2-λ),
∵m⊥n,∴m·n=2(1-λ)+(-1)×(-2-λ)=0,∴λ=4.故选A.
4.B　∵a=12,-32,
∴|a|=122+-322=1.
又|b|=1,且两向量的夹角为120°,
∴|a-b|=|a-b|2
=a2-2|a||b|×-12+b2
=1-2×1×1×-12+1=3.故选B.
5.A　根据题意设e=(1,0),a=(1,m),b=(3,n),∴a-b=(-2,m-n),
∴4+(m-n)2=16,∴m-n=±23.
不妨设m-n=23,则a+b=(4,m+n)=(4,2n+23),
∴|a+b|2=16+4n2+83n+12=4n2+83n+28=4(n+3)2+16,
∴当n=-3时上式取最小值,此时m=3.
∴a·b=3+mn=3-3=0.故选A.

二、填空题
6.答案　20
解析　如图所示,以A为坐标原点,AB,AD所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),F(4,2).
∵DE=3EC,∴E(3,4),则AE=(3,4),AF=(4,2),∴AE·AF=3×4+4×2=20.

7.答案　120°
解析　因为a=(2,0),|b|=1,|a+b|=3,
所以|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=4+2a·b+1=3,解得a·b=-1,
所以由向量的夹角公式可得cos=a·b|a||b|=-12,又0°≤≤180°,
所以=120°.

三、解答题
8.解析　(1)由题意可设c=λa=(λ,2λ),
则|c|=λ2+(2λ)2=25,
可得λ=±2,∴c=(2,4)或 c=(-2,-4).
(2)∵|b|=52,且a+2b与a-b垂直,
∴(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=0,
化简可得 a·b=-52,即 5×52×cos θ=-52,解得cos θ=-1,
又θ∈[0,π],故θ=π.
9.解析　如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
则B(1,0),C12,32,
设M(x,y),则AM·AB=(x,y)·(1,0)=x<0,
由|CM|=1得x-122+y-322=1,
所以-12≤x<0,
所以CM·AB=x-12,y-32·(1,0)=x-12∈-1,-12.

10.解析　(1)因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,得到a·b=-2|a|2,
则cos θ=a·b|a||b|=-2|a|24|a|2=-12,
又0≤θ≤π,所以θ=2π3.
(2)AM=AB+BM=AB+34BC=AB+34AD,NM=CM-CN=-14AD+13AB,
∴AM·NM=14(4AB+3AD)·112(4AB-3AD)=148(16AB2-9AD2)=148(16×62-9×42)=9.
11.解析　(1)因为AB=(-1,1),AC=(1,5),所以2AB+AC=(-1,7),
所以|2AB+AC|=(-1)2+72=52.
(2)cos∠BAC=AB·AC|AB|·|AC|
=(-1)×1+1×5(-1)2+1212+52=21313.
(3)BD=AD-AB=λAC-AB=λ(1,5)-(-1,1)=(λ+1,5λ-1).
因为BD⊥BA,所以BD·BA=0,
又BA=(1,-1),所以(λ+1)×1+(5λ-1)×(-1)=0,解得λ=12.