高中数学人教版新课标A必修41.5 函数y=Asin（ωx+ψ）综合训练题

第一章　三角函数

1.5　函数y=Asin(ωx+φ)的图象

基础过关练

题组一　y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,A,ω,φ的物理意义

1.(2020重庆一中高二期末)已知函数f(x)=2sinx+φ的图象经过点(0,1),则该函数的最小正周期T和初相φ分别为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.T=6,φ=                  B.T=6,φ=                C.T=6π,φ=                D.T=6π,φ=

2.(2020安徽滁州高二期末)最大值为,最小正周期为,初相为的函数表达式是(　　)

A.y=sin     B.y=sin        C.y=sin     D.y=sin

3.函数y=sin2x-(x∈R)的周期和初相分别是(　　)

A.π,   B.π,-      C.2π, D.2π,-

题组二　“五点法”作图

4.函数y=sin在区间上的简图是(　　)

5.(2018福建莆田六中高一下期中)已知f(x)=1+2sin.

(1)画出函数f(x)在x∈上的简图;

(2)求函数f(x)的单调递增区间.

题组三　图象变换

6.将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数是(　　)

A.奇函数                    B.偶函数              C.既奇又偶函数         D.非奇非偶函数

7.(2019浙江高一期末)为了得到函数y=sin2x+的图象,只需把函数y=sin 2x的图象(　　)

A.向左平移个单位长度          B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度           D.向右平移个单位长度

8.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是(　　)

9.(2019广西高一期末)已知函数f(x)=cos,将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数y=g(x)的图象,则下列描述正确的是(　　)

A.点是函数y=g(x)图象的一个对称中心

B.直线x=是函数y=g(x)图象的一条对称轴

C.点是函数y=g(x)图象的一个对称中心

D.直线x=是函数y=g(x)图象的一条对称轴

10.(2020宁夏银川一中高三月考)函数y=cos(x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向左平移个单位长度后,与函数y=sin的图象重合,则φ=　　　　. 

题组四　由图象确定函数的解析式

11.(2019天津红桥重点中学高一上联考)函数f(x)=2·sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是(　　)

A.2,- B.2,- C.4,- D.4,

12.(2019河南高一期中)已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的部分图象如图所示,如果A>0,ω>0,|φ|<,则(　　)

A.A=4 B.ω=1 C.φ= D.B=4

13.(2019河南镇平一中月考)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.

下列结论:

①最小正周期为π;②f(0)=1;③f(x)=-f;④将f(x)的图象向左平移个单位长度,得到的图象对应的函数是偶函数.其中正确的是　　　　.(填序号) 

14.(2020吉林吉化一中高一下期中)已知定义在区间上的函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称,当x∈时,函数f(x)=Asin(ωx+φ),其图象如图所示.

(1)求函数y=f(x)在区间上的表达式;

(2)求方程f(x)=的解的集合;

(3)写出不等式f(x)≥的解集.

能力提升练

一、选择题

1.(2019湖南浏阳一中高二期末,★★☆)要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=cos图象上的所有点(　　)

A.向左平移个单位长度           B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度           D.向右平移个单位长度

2.(2020福建泉州高一上期末,★★☆)已知A(x1,m)和B(x2,m)为函数f(x)=2sin 图象上的两点,若|x2-x1|=kπ,k∈{1,2,3,4,5},则m的值不可能为(　　)

A.0 B.1 C. D.

3.(★★☆)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间上的值域为[-2,1],则实数a的取值范围为(　　)

A. B.            C.         D.

4.(2019河南新乡高一下期末,★★☆)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=2sin 2x的图象,可以将f(x)的图象(　　)

A.向右平移个单位长度             B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度             D.向左平移个单位长度

5.(2020黑龙江大庆实验中学高一月考,★★☆)若函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称,则φ的值可以是(　　)

A. B. C. D.-

6.(2020河北石家庄二中高一上学期期末,★★☆)已知函数f(x)=2sin2x-+1,则下列说法正确的是(　　)

A.f-x=2-f(x)

B.fx-的图象关于直线x=对称

C.若0<x1<x2<,则f(x1)<f(x2)

D.若x1,x2,x3∈,,则f(x1)+f(x2)<f(x3)

二、填空题

7.(★★☆)已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同.若x∈,则f(x)的取值范围是　　　　. 

8.(2019上海奉贤中学高一期末,★★☆)已知函数y=sin(ω>0)的最小正周期为π,若将该函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得图象关于原点对称,则m的最小值为　　　　. 

9.(2018上海金山中学高一下期中,★★☆)已知函数f(x)=4sin的图象与直线y=m的三个交点的横坐标分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),那么x1+2x2+x3的值是　　　　. 

三、解答题

10.(2020山东济南外国语学校高一月考,★★☆)已知函数y=2sin.

(1)求出它的振幅、周期、初相;

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;

(3)说明y=2sin的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.

11.(2019河北冀州中学高一上期中,★★☆)已知函数f(x)=cos,x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;

(2)当x∈时,方程f(x)=a恰有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围;

(3)将函数f(x)=cos的图象向右平移m(m>0)个单位长度后所得的函数y=g(x)的图象关于原点中心对称,求m的最小值.

12.(2020河南林州一中高一月考,★★☆)已知函数f(x)=Asin(ωx+α)的最小正周期是π,且当x=时,f(x)取得最大值3.

(1)求f(x)的解析式及单调递增区间;

(2)若x0∈[0,2π),且f(x0 )=,求x0;

(3)将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,且y=g(x)是偶函数,求m的最小值.

答案全解全析

第一章　三角函数

1.5　函数y=Asin(ωx+φ)

的图象

基础过关练

1.A　T===6.

∵f(x)的图象经过点(0,1),∴sin φ=.

∵|φ|<,∴φ=.

2.D　由最小正周期为,排除A,B;由初相为,排除C.故选D.

3.B　函数的周期T==π,

由初相的定义可知初相为-.

故选B.

4.A　当x=0时,y=sin=-<0,排除B、D;当x=时,sin=sin 0=0,排除C.故选A.

5.解析　(1)列表:

描点,连线(如图所示).

(2)令2kπ-≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤+kπ,k∈Z,

∴f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z).

6.A　将y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin2x-=sin(2x-π)=-sin(π-2x)=-sin 2x的图象,由于x∈R,且y=-sin(-2x)=sin 2x,所以y=-sin 2x是奇函数.

7.A　因为y=sin=sin2x+,所以只需把函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度即可得到y=sin的图象,故选A.

8.A　变换后的图象对应的函数为y=cos(x+1),结合四个选项可得A正确.

9.D　将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数y=g(x)=cos2x-+=cos 2x的图象,

令x=,得g(x)=-1,为最小值,

可得函数y=g(x)图象的一条对称轴方程为x=,

故点不是函数y=g(x)图象的一个对称中心,故D正确,A错误;

令x=,得g(x)=cos=-,不是g(x)的最值,且g≠0,

故B、C错误.故选D.

10.答案　-

解析　把函数y=sin的图象向右平移个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为y=sin=sinx-=cosx--=cos,

因为-π≤φ≤π,所以φ=-.

11.A　由题图可知T=-=,

∴T=π,∴ω==2.

∵点在f(x)的图象上,

∴2×+φ=2kπ+,k∈Z,

∴φ=2kπ-,k∈Z.

∵-<φ<,∴φ=- .故选A.

12.C　由题图知函数的最大值为4,最小值为0,∴解得

函数的周期为×4=π,即π=,∴ω=2,∴y=2sin(2x+φ)+2.

又函数在x=处取最大值,∴2×+φ=2kπ+,k∈Z,∴φ=2kπ+,k∈Z,

∵|φ|<,∴φ=.故选C.

13.答案　①③

解析　由题图知A=2,=-=,

∴T=π,ω==2.

又f=2sin2×+φ=-2,

∴+φ=+2kπ,k∈Z,

∴φ=+2kπ,k∈Z.

又|φ|<,∴φ=,

∴f(x)=2sin2x+.

∴f(x)的最小正周期为π,f(0)=2sin =,f-x=2sin-2x+=2sin-2x-=-f(x).

将f(x)的图象向左平移个单位长度得y=2sin2x++=2sin2x+的图象,对应的函数不是偶函数,因此正确的是①③.

14.解析　(1)由题图可得A=1,ω==1,

∴f(x)=sin(x+φ).

又f=sin=1,∴+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z.

又-<φ<,∴φ=,

∴当x∈-,时,函数f(x)=sin.

由函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称,得x∈-π,-时,f(x)=-sin x.

∴f(x)=

(2)当x∈时,由sin=,得x+=或x+=,解得x=0或x=;

当x∈-π,-时,由-sin x=,得x=-或x=-.

∴方程f(x)=的解构成的集合为.

(3)由(2)知不等式f(x)≥的解集为-,-∪0,.

能力提升练

一、选择题

1.D　函数y=cos=sin2x-+=sin=sin2+,

∴要得到函数y=sin的图象,

只需将函数y=cos图象上的所有点向右平移个单位长度,故选D.

2.C　由已知可得f(x)的周期为6π.

当k=3时,如下图所示,此时m=0.

当k=2或k=4时,如下图所示,结合对称性,此时m=±1.

当k=1或k=5时,如下图所示,结合对称性,此时m=±.

故选C.

3.D　易知A=2,T=-=,∴T=π,∴ω==2.

又其图象过点,∴2×+φ=2kπ,k∈Z,∴φ=2kπ-(k∈Z).

又|φ|<π,∴φ=-,

即f(x)=2cos,

则g(x)=f

=2cos=2cos.

令2x-=t,

∵x∈,∴2x-∈.

由函数y=2cos t的图象可知,要使值域为[-2,1],只需π≤2a-≤,

解得≤a≤,故选D.

4.A　根据函数的图象得A=2,

=-,解得T=π,则ω=2,

又f=2sin2×+φ=-2,

∴+φ=+2kπ,k∈Z,

∴φ=+2kπ,k∈Z.

又|φ|<π,∴φ=.

∴f(x)=2sin2x+=2sin 2x+,

∴为了得到g(x)=2sin 2x的图象,可以将f(x)的图象向右平移个单位长度.故选A.

5.A　f(x)的图象向右平移个单位长度后得y=2sin的图象,此时图象关于y轴对称,

∴-+φ=+kπ,k∈Z,

∴φ=+kπ,k∈Z,

当k=0时,φ=.故选A.

6.B　A.当x=0时,f=f=2sin+1=2sin 0+1=1,2-f(0)=2-2sin-1=1+,此时f=2-f(x)不成立,故A错误;

B.f=2sin+1=2sin+1,令2x-=kπ+得x=+,k∈Z.

当k=-1时,x=-=,即函数的图象关于直线x=对称,故B正确;

C.当0<x<时,0<2x<π,-<2x-<,此时函数f(x)不是增函数,故C错误;

D.当≤x≤时,≤2x≤π,≤2x-≤,

则当2x-=或2x-=时,函数f(x)取得最小值,为2sin +1=+1.

当2x-=时,函数f(x)取得最大值,为2sin +1=2+1=3,

则两个最小值之和为+1++1=2+2>3,故D错误.故选B.

二、填空题

7.答案　-,3

解析　由题意知f(x)与g(x)的周期相同,∴=,即ω=2.

∴f(x)=3sin,

∵x∈,

∴2x-∈,

∴3sin∈,即f(x)的取值范围是.

8.答案　

解析　由T==π得ω=2,所以y=sin,其图象向左平移m(m>0)个单位长度后,得到y=sin=sin的图象,因为其图象关于原点对称,所以该函数为奇函数,所以2m+=kπ,k∈Z,则m=-+(k∈Z),故m的最小值为.

9.答案　

解析　易知f(x)max=f=f=4,f(x)min=f=-4,由正弦函数图象的对称性可得x1+x2=2×=,x2+x3=2×=.故x1+2x2+x3=x1+x2+x2+x3=+=,故答案为.

三、解答题

10.解析　 (1)y=2sin的振幅为2,

周期T==π,初相为.

(2)列表如下:

描点并连线,如图所示.

(3)把y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,得到y=sin的图象;

再把y=sin的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到y=sin的图象;最后把y=sin2x+图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin2x+的图象.

11.解析　(1)因为f(x)=cos,所以函数f(x)的最小正周期为T==π.

令-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故函数f(x)的单调递增区间为-+kπ,+kπ(k∈Z).

(2)易知f(x)=cos在区间上为增函数,在区间,上为减函数,

且f-=0,f=,f=cosπ-=-cos =-1.

∵方程f(x)=a恰有两个不相等的实数根,∴a∈[0,).

(3)由题意得g(x)=cos2(x-m)-=cos2x-2m-.

∵y=g(x)的图象关于原点对称,

∴-2m-=+kπ,k∈Z,

∴m=--,k∈Z,

∵m>0,∴m的最小值为.

12.解析　(1)由题意得A=3,=π,所以ω=2.所以f=3sin2×+α=3,

得2×+α=2kπ+(k∈Z).

又-<α<,所以α=.

所以f(x)=3sin.

令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).

所以f(x)的单调递增区间是kπ-,kπ+(k∈Z).

(2)由f(x0 )=3sin=,

得sin=.

所以2x0+=2kπ+(k∈Z)或2x0+=2kπ+(k∈Z),所以x0=kπ(k∈Z)或x0=kπ+(k∈Z).

又x0∈[0,2π),所以x0=0,π,,.

(3)由题意可得g(x)=3sin2(x-m)+=3sin.

又g(x)是偶函数,所以g(x)的图象关于y轴对称.所以当x=0时,g(x)取最大值或最小值,即3sin=±3,所以-2m+=kπ+(k∈Z),解得m=--(k∈Z).又m>0,所以m的最小值是.