人教版新课标A必修4第一章 三角函数综合与测试同步练习题

专题强化练2　三角函数的图象与性质

一、选择题

1.(2020湖北沙市中学高一期末,★★☆)函数y=的定义域为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.,k∈Z                B.,k∈Z

C.,k∈Z         D.,k∈Z

2.(2019陕西高二期末,★★☆)已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为,则函数f(x)的图象(　　)

A.关于直线x=对称     B.关于直线x=对称

C.关于点对称     D.关于点对称

3.(2020山东菏泽一中高一月考,★★☆)函数f(x)=sin的单调递减区间是(　　)

A.(k∈Z)           B.(k∈Z)

C.(k∈Z)    D.(k∈Z)

4.(2019陕西榆林第二中学高一期末,★★☆)函数y=cos2x+sin x-1的值域为(　　)

A. B.       C. D.

5.(2020宁夏育才中学高一下期末,★★☆)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sin x,则f的值为(　　)

A.- B. C.- D.

6.(2019安徽高考模拟,★★★)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最大值为2,相邻对称轴间的距离为,且f=f,当x∈时, f(x)的值域为[-,2],则θ的取值范围为(　　)

A. B.          C. D.

二、填空题

7.(2019陕西高一期中,★★☆)设a=sin,b=cos,c=tan,则a、b、c之间的大小关系是　　　　. 

8.(2020河北石家庄二中高一月考,★★☆)下面四个结论:①函数y=cosx+是奇函数;

②直线x=是函数y=sin2x+图象的一条对称轴;

③若α,β是第一象限角,且α<β,则tan α<tan β;

④已知A,B,C是锐角三角形ABC的内角,则sin A>cos B.

其中结论正确的序号为　　　　. 

9.(2019河北冀州中学高一上期中,★★★)给出下列四个命题:

①函数y=的最小正周期是;

②直线x=是函数y=2sin图象的一条对称轴;

③若sin α+cos α=-,且α为第二象限角,则tan α=-;

④函数y=cos(2-3x)在区间上单调递减.

其中正确的是　　　　.(填序号) 

10.(2019江西高安中学高一上期末,★★★)下列结论中正确的有　　　　.(填序号) 

①若函数f(x)的定义域为[1,2],则函数f(2cos x)的定义域为(k∈Z);

②函数y=tan+1图象的一个对称中心为;

③函数y=sin2x-sin x+的值域为.

三、解答题

11.(2020北京通州高一上期末,★★☆)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<的部分图象如图所示.

(1)求ω,φ的值;

(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调区间;

(3)若对任意x1,x2∈[0,π]都有|f(x1)-f(x2)|<m,求实数m的取值范围.

12.(2019安徽池州高一期末,★★☆)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中A,B.

(1)求ω,φ的值;

(2)求函数f(x)的单调递增区间;

(3)求函数f(x)在[π,3π]上的值域.

13.(2020江西高安中学高一下期中,★★☆)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数f(x)在区间上的最值,并求出相应的x的值.

14.(2020江苏苏州高三上期中调研,★★☆)已知函数f(x)=-sin++b(a>0,b>0)的图象与x轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为.

(1)求a,b的值;

(2)求f(x)在上的最大值和最小值.

答案全解全析

专题强化练2　三角函数的图象

与性质

一、选择题

1.B　由题意得2sin x-≥0,即sin x≥,

解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.故选B.

2.A　∵f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为,∴=,解得ω=4,

∴f(x)=sin,令4x+=+kπ,k∈Z,得x=+(k∈Z).

故其图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).

当k=0时,A正确,B错误.

令4x+=kπ,k∈Z,得x=-+(k∈Z),

故其图象的对称中心为(k∈Z),C、D均错误.

故选A.

3.C　f(x)=sin=-sin.

函数f(x)=sin的单调递减区间是函数y=sin的单调递增区间,

令2kπ-≤3x-≤2kπ+,k∈Z,

得-≤x≤+,k∈Z,

即函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z,故选C.

4.C　y=cos2x+sin x-1=1-sin2x+sin x-1=-sin2x+sin x=-+,sin x∈[-1,1],

所以当sin x=时,函数取得最大值;

当sin x=-1时,函数取得最小值-2,

所以函数的值域为,故选C.

5.B　∵f(x)的最小正周期是π,

∴f=f-2π=f-.

∵f(x)是偶函数,

∴f-=f,

∴f=f.

∵当x∈0,时,f(x)=sin x,

∴f=f=sin =.

故选B.

6.A　函数的最大值为2,则A=2.

∵相邻对称轴间的距离为,

∴=,即T=π=,得ω=2,

则f(x)=2sin(2x+φ),

∵f-x=f+x,

∴x=是函数图象的对称轴,

则2×+φ=kπ+,k∈Z,

得φ=kπ+,k∈Z,

∵0<φ<,∴令k=0,得φ=,

则f(x)=2sin2x+,

当x∈-,θ时,

2x+∈-,2θ+,

令t=2x+,则t∈-,2θ+,

当t=-时,f(x)=2sin=2×=-,

∵当x∈-,θ时,f(x)的值域为[-,2],

∴≤2θ+≤π+,

得≤θ≤.

二、填空题

7.答案　c>b>a

解析　因为b=cos=sin=sin,且y=sin x在上单调递增,

所以1>b=sin>a=sin,

因为>>,y=tan x在,上单调递增,所以c=tan>1,

所以c>b>a.

8.答案　①②④

解析　对于①,函数y=cos=-sinx,是奇函数,①正确;

对于②,当x=时,函数y=sin2×+=-1,∴直线x=是函数y=sin2x+图象的一条对称轴,②正确;

对于③,当α=,β=+2π时,满足α,β是第一象限角,α<β,但tan α=tan β,③错误;

对于④,由A,B,C是锐角三角形ABC的内角,可得A+B>,即>A>-B>0,可得sin A>sin=cos B,故④正确.

综上,正确的命题是①②④.

9.答案　①②③

解析　对于①,∵函数y=sin的最小正周期是π,∴函数y=的最小正周期是,①正确;对于②,当x=时,y=2sin=-2,为最小值,∴直线x=是函数y=2sin图象的一条对称轴,②正确;对于③,若sin α+cos α=-,则sin2α+2sin αcos α+cos2α=,∴2sin αcos α=-1=-,又α为第二象限角,∴sin α-cos α>0,∴sin α-cos α===,∴sin α=,cos α=-,∴tan α=-,③正确;对于④,令2-3x=t,则y=cos t,当x∈,3时,2-3x∈(-7,0),区间(-7,0)不在y=cos t的减区间内,故函数y=cos(2-3x)在区间,3上不单调递减,④错误.综上,①②③正确.

10.答案　①

解析　若函数f(x)的定义域为[1,2],则函数f(2cos x)满足2cos x∈[1,2],得≤cos x≤1,

解得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),所以函数f(2cos x)的定义域为-+2kπ,+2kπ(k∈Z),故①正确.

函数y=tan+1,令x-=,k∈Z,得x=+,k∈Z,当k=0时,对称中心为,1,故②不正确.

函数y=sin2x-sin x+,令sin x=t,因为-≤x≤,所以t∈-,,所以y=t2-t+=t-2,t∈-,,当t=时,ymin=0,当t=-时,ymax=1,值域为[0,1],故③不正确.

三、解答题

11.解析　(1)设函数f(x)的最小正周期为T,

由题图可知,T=-=,

所以T=π.

又T=,ω>0,所以ω==2.

又f=2,所以sin=1.

因为-<φ<,

所以<+φ<,

所以+φ=,所以φ=-.

(2)由(1)知, f(x)=2sin.

因为当x∈[0,π]时,

2x-∈,

所以当2x-∈,即x∈时,f(x)单调递增;

当2x-∈,即x∈时,f(x)单调递减;

当2x-∈,即x∈时,f(x)单调递增.

所以函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间为和,单调递减区间为.

(3)由(2)可知,函数f(x)在[0,π]上的最大值为f=2,最小值为f=-2,

所以对任意x1,x2∈[0,π],都有|f(x1)-f(x2)|≤|2-(-2)|=4,当且仅当x1=,x2=时,|f(x1)-f(x2)|取到最大值4.

因为对任意x1,x2∈[0,π],都有|f(x1)-f(x2)|<m成立,

所以m>4,即m的取值范围是{m|m>4}.

12.解析　(1)依题意,得=-=3π,故T=4π,故ω==,

又f=2,故×+φ=+2kπ(k∈Z),

故φ=+2kπ(k∈Z),

因为|φ|<,故φ=.

(2)由(1)得f(x)=2sin,

令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,

得-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z.

故函数f(x)的单调递增区间为-+4kπ,+4kπ,k∈Z.

(3)当x∈[π,3π]时,x∈,x+∈,

故sin∈,

故f(x)∈[-2,],

即函数f(x)在[π,3π]上的值域为[-2,].

13.解析　(1)由题图可知|A|=2,又A>0,∴A=2.周期T=×-=×=π,

又T==π,∴ω=2.∴f(x)=2sin(2x+φ).

又f=2sin=2,|φ|<, ∴φ=-.∴f(x)=2sin.

(2)∵x∈0,,∴2x-∈-,,∴sin∈-,1,∴2sin∈[-1,2].

当2x-=,即x=时,f(x)max =f=2;当2x-=-,即x=0时,f(x)min=f(0)=-1.

14.解析　(1)∵f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为,∴f(x)的最小正周期为,∴ =,又a>0,∴a=2,

此时f(x)=-sin++b,

又∵f(x)的图象与x轴相切,

∴=,又b>0,∴b=-.

(2)由(1)可得f(x)=-sin+,∵x∈0,,

∴4x+∈,,

∴当4x+=,即x=时, f(x)取得最大值;

当4x+=,即x=时, f(x)取得最小值0.