人教版新课标A必修4第一章 三角函数综合与测试同步练习题

专题强化练3　函数y=Asin(ωx+φ)的图象

一、选择题

1.(2020安徽高一月考,★★☆)要得到函数y=cos4x+的图象,只需将函数y=cos 4x的图象(　　)

A.向左平移个单位长度

B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

2.(2019天津塘沽一中高考模拟,★★☆)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图中实线所示,圆C与f(x)的图象交于M,N两点,且M在y轴上,则下列说法中正确的是(　　)

A.函数f(x)的最小正周期是2π

B.函数f(x)的图象关于点成中心对称

C.函数f(x)在上单调递增

D.函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度后关于y轴对称

二、填空题

3.(2019江苏高二期末,★★☆)已知函数f(x)=sin2x+的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则函数g(x)在上的单调递增区间是　　　　. 

4.(2019河北深州中学高一下期末,★★☆)若函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,f(π)=,则下列结论正确的是　　　　.(写出所有正确结论的序号) 

①f是偶函数;

②函数f(x)的图象关于点对称;

③函数f(x)在上单调递增;

④将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得函数y=2sin 2x的图象;

⑤函数f(x)的图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).

三、解答题

5.(2020河北石家庄二中高一月考,★★☆)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)0<φ<的部分图象如图,该图象与y轴交于点A(0,),与x轴交于B,C两点,D为图象的最高点,且△BCD的面积为.

(1)求f(x)的解析式及其单调递增区间;

(2)若x0∈,,且f(x0)=1,求x0的值;

(3)若将f(x)的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.试求关于x的方程g(x)=a(-1<a<0)在x∈[0,4π]内所有根的和.

专题强化练3　函数y=

Asin(ωx+φ)的图象

一、选择题

1.B　∵y=cos=cos 4,

∴要得到函数y=cos的图象,只需把函数y=cos 4x的图象向左平移个单位长度.故选B.

2.B　由对称性得C点的横坐标为,

∴=-=,∴T=π,ω==2.

函数y=f(x)图象的对称中心为(k∈Z),所以f(x)的图象关于点成中心对称;

由图象的对称性可得f=-A,故f(x)的单调性在x=-处有变化,可得函数y=f(x)在上单调递增,在-,-上单调递减;

函数y=f(x)图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得y=Asin(x+φ)的图象,再向右平移个单位长度得y=Asin的图象.由f=0得sin=0,且在递增段内,∴-+φ=2kπ(k∈Z),

因此y=Asin=Asin x的图象不关于y轴对称.故选B.

二、填空题

3.答案　

解析　函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)=sin=sin的图象,令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),由于x∈,

∴g(x)在上的单调递增区间是.

4.答案　①⑤

解析　∵函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,∴=⇒T=π⇒ω=2,则f(x)=2sin(2x+φ),由f(π)=,|φ|<,得φ=,所以f(x)=2sin2x+,f=2sin2x+=2cos 2x,为偶函数,故①正确.将x=代入解析式得f=2sin+=1≠0,故②错误.当-≤x≤-时,-π≤2x≤-,-≤2x+≤-,此时函数f(x)不单调,故③错误.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得函数y=2sin2x-的图象,故④错误.令2x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,故⑤正确.

三、解答题

5.解析　(1)∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)0<φ<的最大值为2,且△BCD的面积S=×|BC|×2=,∴|BC|=,∴函数f(x)的周期T=π,即ω=2,由函数f(x)的图象与y轴交于点A(0,),得f(0)=2sin φ=,∴sin φ=,∵0<φ<,∴φ=,

∴f(x)=2sin2x+.

令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,

得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

∴f(x)的单调递增区间为-+kπ,+kπ(k∈Z).

(2)∵f(x0)=1,∴sin=,

又∵x0∈,,∴2x0+∈[π,3π],

∴2x0+=或2x0+=,

∴x0=或x0=.

(3)由题意易知g(x)=2sinx+,画出g(x)的图象,如图所示.

则方程g(x)=a(-1<a<0)在x∈[0,4π]内有四个根,由图象的对称性得四个根的和为2×+=.