高中数学人教版新课标A必修4第一章 三角函数综合与测试课后复习题

第一章　三角函数

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易混易错练

易错点1　应用终边相同的角的公式时不能正确合并、化简

1.(★★☆)设集合M=,N=,那么(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.M=N    B.N⊆M           C.M⊆N D.M∩N=⌀

2.(★★☆)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-x上,则角α的取值集合是　(　　)

A.          B.      C.              D.

易错点2　忽略角度的度量单位一致性

3.(★★☆)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)

A.2kπ+45°(k∈Z)                  B.k·360°+(k∈Z)            C.k·360°-315°(k∈Z)             D.kπ+(k∈Z)

4.(★★☆)扇形的圆心角为120°,半径为,则此扇形的面积为(　　)

A.π B. C. D.

易错点3　应用三角函数定义求参数时忽略参数的取值范围

5.(★★☆)已知角α的终边经过点P(2a+1,a-2),且cos α=-,则实数a的值是(　　)

A.-2 B.          C.-2或 D.2

易错点4　利用三角函数的基本关系求值时忽略角的范围

6.(2019上海三林中学高一月考,★★☆)已知sin α-cos α=,α∈(0,π),则tan α=　　　. 

易错点5　不理解“符号看象限”导致符号错误

7.(★★☆)化简:=　　　　　. 

8.(★★★)化简:

×=　　　　. 

易错点6　求函数单调性时忽略条件A<0或ω<0

9.(2019广东中山一中高一月考,★★☆)求函数y=2·sin的单调递增区间.

易错点7　图象综合变换时,先进行伸缩后进行平移,平移时出错

10.(2019甘肃天水一中高一月考,★★☆)为了得到函数y=sin2x-的图象,可以将函数y=cos 2x的图象(　　)

A.向右平移个单位长度          B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度          D.向左平移个单位长度

思想方法练

一、函数与方程思想在三角函数求值与化简中的应用

1.(2020甘肃会宁一中高三上月考,★★☆)若一个扇形的周长与面积的数值相等,则该扇形所在圆的半径不可能等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.5 B.2 C.3 D.4

2.(2019四川三台中学实验学校高一月考,★★☆)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(　　)

A.f(x)=sin             B.f(x)=sin           C.f(x)=sin               D.f(x)=sin

二、数形结合思想在解三角不等式和研究方程根中的应用

3.(★★☆)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8,则f(x)的单调递减区间是(　　)

A.[6kπ,6kπ+3],k∈Z B.[6kπ-3,6kπ],k∈Z        C.[6k,6k+3],k∈Z D.[6k-3,6k],k∈Z

4.(★★★)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图如图所示,则函数的解析式为　　　　　　　,方程f(x)-lg x=0的实数根个数为　　　　. 

5.(★★☆)求函数y=+的定义域.

三、转化与化归思想在化简求值及三角函数性质中的应用

6.(2019江苏扬州中学高二月考,★★☆)已知=-2,则tan x=　　　　. 

7.(★★☆)已知函数f(x)=2sin,x∈R.

(1)求f的值;

(2)求函数f(x)的单调递减区间.

四、分类讨论思想在三角函数中的应用

8.(★★☆)已知角α的终边经过点P(12m,-5m)(m≠0),求sin α,cos α,tan α的值.

9.(★★☆)已知函数y=asin+b在x∈上的值域为[-5,1],求a和b的值.

答案全解全析

第一章　三角函数

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易混易错练

1.C　由题意可得M=x+45°,k∈Z={x|x=(2k+1)×45°,k∈Z},即M为45°的奇数倍构成的集合,又N=={x|x=(k+1)×45°,k∈Z},即N为45°的整数倍构成的集合,∴M⊆N,故选C.

2.D　由题知,角α的终边在直线y=-x上,当α为第二象限角时,α=+2kπ=(2k+1)π-,k∈Z;当α为第四象限角时,α=+2kπ=(2k+2)π-,k∈Z.综上,角α的取值集合是.故选D.

3.C　与的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z),也可以写成k·360°+45°或k·360°-315°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有选项C正确.故选C.

4.A　120°化为弧度为,代入扇形的面积公式得S=××()2=π,故选A.

5.A　r=|OP|==(O为坐标原点),由余弦函数的定义知, =-,化简得11a2+20a-4=0,解得a=-2或a=,又2a+1<0,所以a=-2,故选A.

6.答案　-1

解析　∵sin α-cos α=,∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=2, ∴2sin αcos α=-1.

∵2sin αcos α<0,且α∈(0,π),

∴α∈,∴tan α<0,∴2sin αcos α====-1,∴tan α=-1.

7.答案　-1

解析　原式= ===-1.

8.答案　-

解析　原式= ×=·-=-,故填-.

9.解析　y=2sin=-2sin,

令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.

故y=2sin的单调递增区间为kπ+,kπ+(k∈Z).

10.C　y=sin=sin=cos=cos=cos,

所以为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=cos 2x的图象向右平移个单位长度.故选C.

思想方法练

1.B　因为扇形的周长与面积的数值相等,所以若设扇形所在圆的半径为R,扇形弧长为l,则lR=2R+l,即lR=4R+2l,所以l=,因为l>0,所以R>2,故选B.

2.D　由题图可知,函数的最大值为1,

∴A=1,函数的周期T=4×=π, ∴=π, 可得ω=2,

因此函数解析式为f(x)=sin(2x+φ),

再将点代入,得1=sin, ∴2×+φ=+2kπ(k∈Z),

解得φ=+2kπ(k∈Z),∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)的解析式是f(x)=sin.故选D.

3.D　依题意可得f(x)的大致图象如图所示.

由图象知T=8-2=6,当x=3时,y取最大值,当x=6时,y 取最小值,因此f(x)的单调递减区间为[6k+3,6k+6],k∈Z,即[6k-3,6k],k∈Z.故选D.

4.答案　f(x)=2sin;63

解析　显然A=2,由图象过点(0,1),得f(0)=1,即sin φ=,又|φ|<,所以φ=,又,0是图象上的点,则有f=0,即2sin=0.由题图可知,,0是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点,

所以ω+=2π,解得ω=2,所以此函数的解析式为f(x)=2sin.

在同一坐标系内作出函数f(x)=2sin2x+和函数y=lg x的简图,如图所示.

因为f(x)的最大值为2,所以令lg x=2,得x=100.由图象易知,这两个函数图象在内有两个交点,

又+30π<100, 且+31π>100,所以这两个图象在,100内有62个交点,另外在0,内还有1 个交点.

所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数根.

5.解析　由题意知即

作出单位圆,图中双阴影部分即为函数的定义域,定义域为.

6.答案　

解析　将已知等式变形得1-cos x+sin x=-2-2cos x-2sin x,即3sin x+3=-cos x,

等式两边分别平方,得(3sin x+3)2=cos2x,即9sin2x+18sin x+9=1-sin2x,

整理得5sin2x+9sin x+4=0,即(5sin x+4)(sin x+1)=0,

解得sin x=-或sin x=-1(舍去),将sin x=-代入3sin x+3=-cos x中,

得-+3=-cos x,即cos x=-,则tan x==.故答案为.

7.解析　(1)f=2sin-×=2sin-=-.

(2)f(x)=2sin-x=-2sinx-,故f(x)的单调递减区间即为y=2sinx-的单调递增区间.

令2kπ-≤x-≤+2kπ,k∈Z,解得6kπ-π≤x≤2π+6kπ,k∈Z,

所以函数f(x)=2sin-x的单调递减区间为[6kπ-π,2π+6kπ],k∈Z.

8.解析　r==13|m|,

若m>0,则r=13m,α为第四象限角,sin α==-=-,

cos α===,tan α==-=-.

若m<0,则r=-13m,α为第二象限角,sin α===,

cos α===-,tan α==-=-.

9.解析　因为x∈0,,所以2x+∈,,

所以sin2x+∈-,1.

所以当a>0时,解得

当a<0时,解得

所以a和b的值分别是4、-3或-4、-1.