人教版新课标A选修2-21.7定积分的简单应用免费同步练习题

第一章　导数及其应用

1.7　定积分的简单应用

1.7.1　定积分在几何中的应用

1.7.2　定积分在物理中的应用

基础过关练

题组一　定积分在几何中的应用

1.(2019云南云天化中学高二月考)射线y=4x(x≥0)与曲线y=x3所围成的图形的面积为(　　)

A.2 B.4 C.5 D.6

2.(2019河北迁安三中高三上期中)由曲线y=,直线y=2x-1及x轴所围成的封闭图形的面积为(　　)

A. B.

C. D.

3.(2019豫南六市高二下期中联考)用定积分表示由曲线y=-,直线y=-x+2及y轴所围成的图形的面积,下列选项中错误的为(　　)

A.(2-x+)dx B.dx

C.(2-y-y2)dy D.(4-y2)dy

4.(2019河南开封高三三模)如图,在矩形ABCD中的曲线分别是y=sin x,y=cos x的一部分,已知点A(0,0),B,D(0,1),若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是(　　)

A.(-1) B.(-1)

C.4(-1)π D.4(-1)π

5.(2019黑龙江哈尔滨三中高二期中)曲线y=x-x2和y=x2-x所围成的封闭图形的面积是　　　　. 

6.(2019广东执信中学高二期中)由曲线y=,直线y=x-1及x=1所围成的图形的面积为　　　　. 

7.(2019河北开滦二中高二期中)已知曲线f(x)=ax2+2在x=1处的切线与2x-y+3=0平行.

(1)求f(x)的解析式;

(2)求由直线y=3x,x=0,x=2与曲线f(x)所围成的平面图形的面积.

题组二　定积分在物理中的应用

8.如果1 N的力能拉长弹簧1 cm,那么将弹簧拉长6 cm,力所做的功为(　　)

A.0.18 J B.0.26 J

C.0.12 J D.0.28 J

9.一质点在直线上从时刻t=0 s以速度v(t)=t2-4t+3(单位:m/s)开始运动,求:

(1)在t=4 s时的路程s;

(2)在t=4 s时的位移x.

10.一个弹簧压缩x cm可产生4x N的力,把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm,求弹簧克服弹力所做的功.

答案全解全析

基础过关练

1.B　在同一坐标系中作出射线y=4x(x≥0),曲线y=x3(如图),所求面积为图中阴影部分的面积.

解方程组得射线y=4x(x≥0)与曲线y=x3交点的坐标为(0,0)和(2,8),

故所围成的图形的面积为==4.

故选B.

2.A　由解析式作出如图所示的草图:

由图可知所求封闭图形的面积为曲线y=与x轴围成的曲边三角形OCB的面积与△ABC的面积之差.

解方程组得曲线y=与直线y=2x-1的交点为C(1,1),则点B的坐标为(1,0),

直线与x轴的交点为A,所以AB=,BC=1.

因此曲边三角形的面积SOCB==,△ABC的面积S△ABC=××1=,

所以所围成的封闭图形的面积为-=.

3.C　曲线y=-,直线y=-x+2及y轴所围成的图形如图阴影部分所示:

∴阴影部分的面积可表示为(2-x+)dx;

根据对称性可知,(2-x)dx=(x-2)dx,

∴阴影部分的面积可表示为[0-(-)]dx=dx;

由y=-得x=y2(y≤0),由y=-x+2得x=2-y,

可画出图象如图所示:

∴阴影部分的面积可表示为(2-y-y2)dy+(2-y)dy;

根据对称性可知[4-(2-y)]dy=(2-y)dy,

∴阴影部分的面积可表示为(4-y2)dy.故选C.

4.B　阴影部分的面积为2=2(sin x+cos x)=2-2,

矩形ABCD的面积为×1=,

则此点取自阴影部分的概率P==(-1).

5.答案　

解析　作出曲线y=x-x2与y=x2-x.

如图所示,曲线y=x-x2和y=x2-x所围成的封闭图形的面积为[(x-x2)-(x2-x)]dx=

(2x-2x2)dx==1-=,故答案为.

6.答案　2ln 2-

解析　由题意,作出曲线y=(x>0),直线y=x-1及x=1,它们所围成的图形如下(阴影部分):

解方程组得直线y=x-1与曲线y=(x>0)交点的坐标为(2,1),

所以阴影部分的面积为S===2ln 2-.

7.解析　(1)由题得f'(x)=2ax,∴f'(1)=2a=2,解得a=1.

∴f(x)=x2+2.

(2)在平面直角坐标系中画出如图所示的草图:

则所求图形的面积

S=+

=+

=+2-+6--4-=1.

8.A　设x(单位:m)表示弹簧的伸长量,F(x)(单位:N)表示加在弹簧上的力.

由题意,设F(x)=kx(k≠0).

当x=0.01时,F(0.01)=1,即0.01k=1,

∴k=100,∴F(x)=100x,

∴将弹簧拉长6 cm,力所做的功W=100xdx=50x2=0.18(J).

故选A.

9.解析　(1)由v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),

得当0≤t≤1或3≤t≤4时,v(t)≥0;

当1<t<3时,v(t)<0.

所以在t=4 s时的路程s=(t2-4t+3)dt-(t2-4t+3)dt+(t2-4t+3)dt=-+=4(m).

(2)在t=4 s时的位移x=(t2-4t+3)dt

==(m).

10.解析　设F(x)=kx(k≠0),

∵弹簧压缩x cm可产生4x N的力,

∴k=4,

∴弹簧克服弹力所做的功W=4=4×x2=50(N·cm)=0.5(J).