高中数学人教版新课标A选修2-22.3数学归纳法课时练习

第二章　推理与证明

2.3　数学归纳法

基础过关练

题组一　用数学归纳法证明等式

1.用数学归纳法证明1-+-+-…-=2++…+(n为正偶数)成立时,若假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立,则还需要用归纳假设证n=　　　　时等式成立(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.k+1   B.k+2

C.2k+2 D.2(k+2)

2.某个与正整数n有关的命题:如果当n=k(k∈N*)时命题成立,并且可以推出当n=k+1时该命题也成立.现已知当n=5时命题不成立,那么可以推得(　　)

A.当n=4时命题不成立 B.当n=6时命题不成立

C.当n=4时命题成立 D.当n=6时命题成立

3.(2019福建莆田一中高二期中)用数学归纳法证明等式1+a+a2+…

+an-1=(a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,等式左边需计算的项是(　　)

A.1      B.1+a

C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3

4.(2019辽宁凤城一中高二月考)用数学归纳法证明“1+2+3+…+n3=,n∈N*”的过程中,从n=k(k∈N*)到n=k+1时,等式左边应添加的项是(　　)

A.k3+1 　　               B.(k+1)3

C.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3 　　D.

5.(2019安徽六安二中高二期末)已知f(n)=1++++…+(n∈N*),用数学归纳法证明f(n)>n时,有f(k+1)-f(k)=　　　　　　　　　　　　(k∈N*). 

6.(2019安徽亳州二中高二月考)用数学归纳法证明:

1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*).

题组二　用数学归纳法证明不等式

7.(2019安徽师范大学附属中学高二期中)在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时,第一步验证的n0等于(　　)

A.1 B.3 C.5 D.7

8. 对于不等式≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下:

①当n=1时,≤1+1,不等式成立.

②假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,即≤k+1,则n=k+1时, =<==(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立.上述证法中(　　)

A.过程全部正确

B.n=1验证不正确

C.归纳假设不正确

D.从n=k到n=k+1的推理不正确

9.用数学归纳法证明++…+>-(n∈N*).假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是　          . 

10.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”时,第一步的验证为　       . 

题组三　用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题

11.(2019北师大附中高二期末)在数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*).

(1)计算a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;

(2)用数学归纳法证明你的猜想.

能力提升练

一、选择题

1.(2019山西大学附中高二月考,★★☆)用数学归纳法证明“5n-2n(n∈N*)能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为(　　)

A.5(5k-2k)+3×2k B.(5k-2k)+4×5k-2k

C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-3×5k

2.(2018湖北鄂州期中,★★☆)已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=-,且Sn++2=an(n≥2),则S2 018=(　　)

A.- B.- C.- D.-

二、填空题

3.(★★☆)如图为一个类似于杨辉三角的数阵,则第九行的第二个数为　　　　. 

1

3　3

5　6　5

7　11　11　7

9　18　22　18　9

……

三、解答题

4.(2019湖南长沙长郡中学调研,★★☆)已知正项数列{an}满足a1=1, an+1=(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=(n+1)an-nan+1,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<.

5.(2019江苏海门中学高二期中,★★☆)观察下列等式:

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

按照以上式子规律:

(1)写出第5个等式,并猜想第n(n∈N*)个等式;

(2)用数学归纳法证明上述所猜想的第n(n∈N*)个等式成立.

6.(★★☆)在正整数集上定义函数y=f(n),满足f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且f(1)=2.

(1)求证:f(3)-f(2)=;

(2)是否存在实数a,b,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立?并证明你的结论.

答案全解全析

基础过关练

1.B　根据数学归纳法的步骤可知,n=k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n=k+2,故选B.

2.A　因为当n=k(k∈N*)时命题成立,且可以推出当n=k+1时该命题也成立,所以假设当n=4时命题成立,那么当n=5时命题也成立,这与已知矛盾,所以当n=4时命题不成立.

3.A　当n=1时,等式左边=1,故选A.

4.C　由题意可知,

当n=k(k∈N*)时,左边=1+2+3+…+k3,

当n=k+1时,左边=1+2+3+…+k3+(k3+1)+…+(k+1)3,

所以由n=k到n=k+1时,等式左边应添加的项是(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3.

5.答案　+++…+

解析　由题可知, f(k)=1++++…+(k∈N*),

f(k+1)=1++…++++…+,

所以f(k+1)-f(k)=+++…+(k∈N*).

故答案为+++…+.

6.解析　①当n=1时,左边=1+2+3+4=10,右边==10,左边=右边.

②假设n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+3+…+(k+3)=,

那么当n=k+1时,1+2+3+…+(k+3)+(k+4)=+(k+4)=,

即当n=k+1时,等式成立.

综上,1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*).

7.C　当n=1时,2n>n2,当n=2时,2n=n2,当n=3时,2n<n2,当n=4时,2n=n2,当n≥5时,2n>n2,所以第一步验证的n0等于5,故选C.

8.D　从n=k(k∈N*)到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,不符合数学归纳法的证明要求.

9.答案　 ++…++>-

解析　观察不等式左边分式的分母可知,从n=k(k∈N*)到n=k+1,不等式的左边多出了这一项.

10.答案　当n=1时,左边=4,右边=4,左边≥右边,不等式成立

解析　∵n∈N*,∴第一步的验证应为当n=1时的情况.

11.解析　(1)∵a1=1,an+1=(n∈N*),

∴a2==,

a3===,

a4===,

因此可猜想:an=(n∈N*).

(2)当n=1时,a1=1,等式成立,

假设n=k(k∈N*)时,等式成立,即ak=,

则当n=k+1时,ak+1====,

即当n=k+1时,等式也成立.

综上所述,对任意n∈N*,an=.

能力提升练

一、选择题

1.A　假设当n=k(k∈N*)时,命题成立,即5k-2k能被3整除,

当n=k+1时,

5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k.

2.A　数列{an}的前n项和为Sn,且Sn++2=an(n≥2),

则Sn++2=Sn-Sn-1,

所以Sn=-.

S1=a1=-,

则当n=2时,S2=-=-,

当n=3时,S3=-=-,

……

猜想:Sn=-(n∈N*).

用数学归纳法证明如下:

①当n=1时,左边S1=a1=-,右边=-=-,猜想成立.

②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即

Sk=-,

则当n=k+1时,Sk+1=-=-=-,所以当n=k+1时猜想也成立.

综上所述,Sn=-对任意n∈N*都成立.

所以S2 018=-=-.故选A.

二、填空题

3.答案　66

解析　设第n(n≥2且n∈N*)行的第二个数为an,由题图可知a2=3,a3-a2=3,a4-a3=5,……,an-an-1=2n-3,叠加可得an=n2-2n+3,所以第九行的第二个数a9=81-18+3=66.

三、解答题

4.解析　(1)由题可得,a1=1,a2=,a3=,从而猜想an=(n∈N*).用数学归纳法证明如下:

①当n=1时,有a1=1=,猜想成立;

②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即ak=,则当n=k+1时,

ak+1==,所以当n=k+1时,猜想也成立.

由①②可知,an=对任意n∈N*都成立.

(2)证明:-=(-)[(n+1)+×+n],

由基本不等式可得(n+1)+×+n>(2×+×)=3×,

所以->(-)××=(n+1)-n=bn,

所以Tn<{(-)+(-)+…+[-]}=-,

故Tn<.

5.解析　(1)第5个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=92;

第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2,n∈N*.

(2)①当n=1时,等式左边=1,等式右边=(2-1)2=1,所以等式成立.

②假设n=k(k∈N*)时,等式成立,即

k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2,

那么,当n=k+1时,

(k+1)+[(k+1)+1]+[(k+1)+2]+…+[3(k+1)-2]=(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)-k=(2k-1)2+8k=4k2-4k+1+8k=(2k+1)2=[2(k+1)-1]2,即n=k+1时等式成立.

根据①和②,可知对任何n∈N*等式都成立.

6.解析　(1)证明:因为f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],整理,得f(n+1)=,

由f(1)=2,代入得f(2)==, f(3)==,

所以f(3)-f(2)=-=.

(2)存在.

由f(1)=2, f(2)=,可得a=-,b=.

故猜想存在实数a=-,b=,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立.

用数学归纳法证明如下:

①当n=1时,显然成立.

②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,

即f(k)=+1,

那么,当n=k+1时, f(k+1)==

==1+=+1,

即当n=k+1时, f(k+1)=+1成立.

由①②可知,存在实数a=-,b=,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立.