人教版新课标A选修2-23.1数系的扩充和复数的概念达标测试

第三章　数系的扩充与复数的引入

3.1　数系的扩充和复数的概念

3.1.1　数系的扩充和复数的概念

3.1.2　复数的几何意义

基础过关练

题组一　复数的概念及分类

1.(2019北京八中高二期中)1-i的虚部为(　　)

A.i B.-i C.1 D.-1

2.复数3-4i-i2的实部是(　　)

A.3 B.4 C.4i D.-4i

3.设a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的(　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.2i,-1-3i,,+i,i2中,虚数的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

5.设集合A={实数},B={纯虚数},C={复数},若全集S=C,则下列结论正确的是(　　)

A.A∪B=C      B.A=B

C.A∩(∁SB)=⌀ D.(∁SA)∪(∁SB)=C

6.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为(　　)

A.-1 B.2 C.1 D.-1或2

7.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是　　　　. 

8.若log2(x2-3x-2)+i·log2(x2+2x+1)>1,则实数x的值是　　　　. 

9.已知复数z=m(m-1)+(m2+2m-3)i,求当实数m取什么值时,复数z是(1)零;(2)纯虚数.

题组二　复数相等的充要条件

10.若复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为　(　　)

A.1 B.1或-4

C.-4 D.0或-4

11.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi等于(　　)

A.-2+i B.2+i

C.1-2i D.1+2i

12.已知集合A={k2-3k+ki|k∈R},B={4+(5k+4)i|k∈R},若A=B,求k的值.

13.已知x2+y2-6+(x-y-2)i=0,求实数x,y的值.

题组三　复数的几何意义

14.已知复数z=(a-1)+ai(i为虚数单位,a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,则复数z的虚部可以是(　　)

A.-i    B.i C.-    D.

15.复数z=2i-1(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于　(　　)

A.第一象限  B.第二象限

C.第三象限  D.第四象限

16.向量a=(-sin 2,1)对应的复数是(　　)

A.z=1+isin 2 B.z=1-isin 2

C.z=-1+isin 2 D.z=-sin 2+i

17.已知复数z=x+1+(y-1)i在复平面内对应的点位于第二象限,则点(x,y)所构成的平面区域是(　　)

18.复数z1=1+i和z2=1-i在复平面内对应的点关于　(　　)

A.实轴对称

B.一、三象限的角平分线对称

C.虚轴对称

D.二、四象限的角平分线对称

19.在复平面内表示复数z=(m-3)+2i的点在直线y=x上,则实数m的值为　　　　. 

20.复数z=x-4+(x-2)i在复平面内对应的点在第二象限,则实数x的取值范围是　　　　. 

21.当实数m为何值时,复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i(i为虚数单位)在复平面中对应的点

(1)位于第四象限;

(2)位于x轴的负半轴上.

题组四　复数的模

22.(2019北京牛栏山一中高三月考)设z=1+i(i为虚数单位),则|z|=(　　)

A.1  B.   C.2i D.i

23.已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为(　　)

A.1或3 B.1 C.3 D.2

24.(1)若复数z=+(a2-a-6)i(a∈R)是实数,求z1=(a-1)+(1-2a)i的模;

(2)已知复数z=3+ai(a∈R),且|z|<4,求实数a的取值范围.

25.在复平面内画出复数z1=1-i,z2=-+i,z3=-2,z4=2+2i对应的向量,并求出各复数的模.

能力提升练

一、选择题

1.(2020宁夏石嘴山第三中学高三期末,★★☆)已知a为实数,若复数z=(a2-9)+ (a+3)i为纯虚数,则复数z的虚部为(　　)

A.3 B.6i C.±3 D.6

2.(2018河北邢台月考,★★☆)已知复数z=a+(a-1)i(a∈R),若|z|=,则z在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一或第二象限 B.第二或第三象限

C.第一或第三象限 D.第二或第四象限

二、填空题

3.(2019辽宁大连高三二模,★★☆)复数z=-1+i(i是虚数单位),则z的模为　　　. 

4.(★★☆)若z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m=　　　　, n=　　　　. 

5.(★★☆)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=　　　　. 

6.(★★☆)已知复数z=a+i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则复数z等于　　　　. 

7.(★★★)关于x的不等式mx2-nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为(-1,2),则复数m+pi对应的点位于复平面内的第　　　　象限. 

8.(★★★)如果复数z的模不大于1,而z的虚部的绝对值不小于,则复平面内复数z对应的点组成的图形的面积是　　　　. 

三、解答题

9.(★★☆)已知(m2-3m-1)-(m2-5m-6)i=3,求实数m的值.

10.(★★☆)已知复数z1=+(a2-1)i,z2=m+(m-1)i(i是虚数单位,a∈R,m∈R).

(1)若z1是实数,求a的值;

(2)在(1)的条件下,若|z1|<|z2|,求实数m的取值范围.

11.(★★☆)实数x分别取什么值时,复数z=-(x2-2x-15)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?

12.(★★☆)已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i},且满足M∩N≠⌀,求整数a,b的值.

13.(★★☆)求实数x取什么值时,复平面内表示复数z=x2+x-6-(x2-2x-15)i的点Z:

(1)位于第一象限;

(2)位于第二象限;

(3)位于直线x+y-3=0上.

答案全解全析

基础过关练

1.D　由复数的定义可知1-i的虚部为-1,故选D.

2.B　3-4i-i2=4-4i,所以由复数的定义可知3-4i-i2的实部为4.故选B.

3.B　因为a,b∈R,所以当a=0时,复数a+bi不一定是纯虚数,也可能b=0,即a+bi=0∈R.

而当复数a+bi是纯虚数时,a=0一定成立.

综上,a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件.

4.C　2i,-1-3i,,+i,i2=-1中的虚数有2i,-1-3i,+i,共3个,故选C.

5.D　集合A,B,C的关系如图,可知只有(∁SA)∪(∁SB)=C正确,故选D.

6.D　因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,

所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.

7.答案　(-∞,-1)∪(3,+∞)

解析　由已知可得a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1,

因此,实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).

8.答案　-2

解析　由题意知

即解得

即x=-2.

9.解析　(1)由题意得解得m=1,即m=1时,复数z=0.

(2)由题意得解得m=0,

即m=0时,复数z=-3i为纯虚数.

10.C　由复数相等的充要条件得解得a=-4,故选C.

11.B　由i2=-1,得xi-i2=1+xi,则由题意得1+xi=y+2i,根据复数相等的充要条件得x=2,y=1,故x+yi=2+i.

12.解析　由题意得k2-3k+ki=4+(5k+4)i,从而解得k=-1.

13.解析　由复数相等的充要条件得方程组

由②得x=y+2,代入①得y2+2y-1=0.

解得y1=-1+,y2=-1-.

所以x1=y1+2=1+,x2=y2+2=1-.

即或

14.D　因为z=(a-1)+ai,

所以在复平面内对应的点的坐标为(a-1,a),

又因为该点在第二象限,

所以所以复数z的虚部a的取值范围为0<a<1.

15.B　z=2i-1=-1+2i,对应的点Z(-1,2)位于第二象限,故选B.

16.D　向量a=(-sin 2,1)对应的复数是z=-sin 2+i,故选D.

17.A　由题意得即故点(x,y)所构成的平面区域为A选项中的阴影部分.

18.A　复数z1=1+i在复平面内对应的点为Z1(1,),复数z2=1-i在复平面内对应的点为Z2(1,-),点Z1与Z2关于实轴对称,故选A.

19.答案　9

解析　∵z=(m-3)+2i表示的点在直线y=x上,∴m-3=2,解得m=9.

20.答案　(2,4)

解析　∵复数z在复平面内对应的点在第二象限,∴解得2<x<4.

21.解析　(1)由

得所以-7<m<3.

(2)由

得所以m=4.

22.B　|z|==.

23.A　依题意可得=2,解得m=1或m=3,故选A.

24.解析　(1)∵z为实数,∴a2-a-6=0,

∴a=-2或a=3.

∵a=-2时,z无意义,∴a=3,

∴z1=2-5i,∴|z1|=.

(2)解法一:∵z=3+ai(a∈R),

∴|z|=,

由已知得32+a2<42,∴a2<7,

∴a∈(-,).

解法二:利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,4为半径的圆内(不包括边界),

由z=3+ai知z对应的点Z在直线x=3上,

∴线段AB(除去端点)为动点Z的集合.

由下图可知:-<a<.

25.解析　在复平面内分别画出点Z1(1,-1),Z2,Z3(-2,0),Z4(2,2),则向量,,,分别为复数z1,z2,z3,z4对应的向量,如图所示.

各复数的模分别为

|z1|==,

|z2|==1,

|z3|==2,

|z4|==2.

能力提升练

一、选择题

1.D　由已知得解得a=3,故z=6i,其虚部为6.

2.C　根据题意可知|z|===,

化简得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2.

当a=-1时,z=-1-2i;当a=2时,z=2+i,

所以在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2)或(2,1).所以z在复平面内对应的点位于第一象限或第三象限.故选C.

二、填空题

3.答案　

解析　|z|=|-1+i|==.

4.答案　2;±2

解析　两个复数相等,则实部和虚部分别相等,所以解得

5.答案　-2

解析　由题知

解得即m=-2.

6.答案　-1+i

解析　∵z=a+i在复平面内对应的点位于第二象限,∴a<0,

由|z|=2得=2,解得a=-1或a=1(舍去),∴z=-1+i.

7.答案　二

解析　∵mx2-nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为(-1,2),

∴

∴m<0,p>0.

故复数m+pi对应的点位于复平面内的第二象限.

8.答案　-

解析　设z=x+yi(x,y∈R),则≤1,|y|≥,如图,∠AOB=.

因此复平面内复数z对应的点组成的图形为两个弓形,其面积为2××12-×1×1×sin =-.

三、解答题

9.解析　因为(m2-3m-1)-(m2-5m-6)i=3,所以解得m=-1.

10.解析　(1)因为z1是实数,所以解得a=-1.

(2)由(1)可得z1=1,

因为|z2|=,|z1|<|z2|,

所以>1,

解得m<0或m>1.

11.解析　(1)当x满足即x=5时,z是实数.

(2)当x满足即x≠-3且x≠5时,z是虚数.

(3)当x满足

即x=-2或x=3时,z是纯虚数.

12.解析　依题意得(a+3)+(b2-1)i=3i,①

或8=(a2-1)+(b+2)i,②

或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.③

由①得a=-3,b=±2,由②得a=±3,b=-2,

③中,a,b无整数解,不符合题意.

综上,a=-3,b=2或a=3,b=-2或a=-3,b=-2.

13.解析　(1)当实数x满足

即2<x<5时,点Z位于第一象限.

(2)当实数x满足

即-3<x<2时,点Z位于第二象限.

(3)当实数x满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即x=-2时,点Z位于直线x+y-3=0上.