数学4.3 对数一课一练

4.3　对数

4.3.1　对数的概念

4.3.2　对数的运算

基础过关练

题组一　对数的概念及其性质

1.下列说法:①只有正数有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以5为底25的对数等于±2;④=-5成立.其中正确的个数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.0          B.1

C.2          D.3

2.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为(　　)

A.a>,且a≠1 B.0<a<

C.a>0,且a≠1 D.a<

3.(2019湖南衡阳八中高一上期中)若log2[log3(log4x)]=0,则x=(　　)

A.4 B.16

C.64 D.256

4.(2020河北辛集中学高一期中)若log32=x,则3x+9x的值为 (　　)

A.6 B.3

C. D.

5.下列指数式与对数式的互化中不正确的是(　　)

A.e0=1与ln 1=0

B.log39=2与=3

C.=与log8=-

D.log77=1与71=7

6.(2019湖南湘南中学高一下期中)计算:log39+log51=　　　. 

题组二　对数的运算性质及对数式的恒等变形

7.化简+log2=(　　)

A.2 B.2-2log23

C.-2 D.2log23-2

8.(2020安徽合肥六中高一上期中)lg+2lg 2-=　　　　. 

9.(2020山东滨州高一上期末)计算:log2×log32=　　　　.  

10.计算:=　　　　. 

11.(2019天津耀华中学高一上期中)计算:eln 3+25+=　　　　. 

12.计算下列各式:

(1)2ln e+lg 1+;

(2)+2ln 1.

题组三　对数运算的综合运用

13.已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有两个相等的实数根,则△ABC的形状是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.钝角三角形

14.(2019宁夏银川一中高一上期中)已知3x=4y=6,则+=　　　　. 

15.已知地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R=(lg E-11.4).如果A地地震级别为9.0级,B地地震级别为8.0级,那么A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的　　　　倍. 

16.(2020河北唐山一中高一期中)已知loga3=m,loga2=n(a>0,且a≠1).

(1)求am+2n的值;

(2)若0<x<1,x+x-1=a,且m+n=log32+1,求x2-x-2的值.

能力提升练

题组一　对数的概念及性质

1.(2019黑龙江哈三中高一上期中,)已知函数f(x)=,则f(lg 3)+f的值等于(　　)

A.1 B.2 C.3 D.9

2.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)设2a=5b=m,且+=2,则m=(　　)

A. B.-

C.或- D.10

3.(2018山西大同一中高一上期末,)若a=log43,则2a+2-a=　　　　.  

题组二　对数式的恒等变形

4.(2019天津和平高一上期中,)已知lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的两根,则等于(　　)

A. B. C. D.

5.(2020陕西西安中学高一上期中,)已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为(　　)

A. B.60 C. D.

6.(2020广东珠海高一上期末,) 计算:·-log37·log79+log126+log122=　　　　.深度解析 

7.(2020福建厦外高一上期中,) 计算:log26-log23-+=　　　　. 

8.(2020浙江浙北G2高一上期中联考,)已知实数a,b满足logab-3logba=2,且aa=bb,则a+b=　　　　. 

9.(2020山西长治二中高一上期中,)计算:lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.

10.(2020河南省实验中学高一上期中,)计算:

(1)log3+lg 25-+lg 4;

(2)2log32-log3+log38-.

题组三　对数运算的综合运用

11.(2020安徽马鞍山二中高一上期末,)某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2019年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)(　　)

A.2022年 B.2023年 C.2024年 D.2025年

12.(2020浙江温州十五校联合体高一上期中联考,)lg 4+2lg 5=　　　　; 若loga2=m,loga3=n,则=　　　　. 

13.(2020山东师大附中高一上第一次学分认定考试,)求值:

(1)××+lg-;

(2)(log25+log40.2)×(log52-log250.5).

答案全解全析

基础过关练

1.B　对于①,由对数的概念知,负数和0没有对数,故①正确;对于②,指数式(-1)2=1没有相应的对数式,故②错误;对于③,以5为底25的对数等于2,故③错误;对于④,负数没有对数,所以log3(-5)无意义,故④错误.故选B.

2.B　由题意知解得0<a<.

3.C　由log2[log3(log4x)]=0,

得log3(log4x)=1,

∴log4x=3.

从而x=43=64,故选C.

4.A　由log32=x得3x=2,因此9x=(3x)2=4,所以3x+9x=2+4=6,故选A.

5.B　对于A,e0=1可化为0=loge1=ln 1,所以A中互化正确;对于B,log39=2可化为32=9,所以B中互化不正确;对于C,=可化为log8=-,所以C中互化正确;对于D,log77=1可化为71=7,所以D中互化正确.

6.答案　 2

解析　log39+log51=2+0=2.

7.B　==2-log23,

所以原式=2-log23+log23-1=2-2log23.

8.答案　-1

解析　lg +2lg 2-=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=lg 10-2=1-2=-1.故答案为-1.

9.答案　

解析　 log2×log32=×log23×log32=××=.

10.答案　1

解析　原式

=

=

====1.

11.答案　11

解析　原式=+lo52+

=3+log55+(2-3=3+4+4=11.

12.解析　(1)原式=21+0+2=2+2=4.

(2)原式=+20

=÷31+1=+1=.

13.B　由题意知Δ=0,即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,化简得2lg a-lg(c2-b2)=0,所以lg =0,所以=1,所以a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.

14.答案　2

解析　由3x=4y=6得x=log36,y=log46,

∴+=+=2log63+log64

=log6(32×4)=log636=2.

15.答案　10

解析　由R=(lg E-11.4),

得R+11.4=lg E,故E=1.

设A地,B地地震释放的能量分别为E1,E2,则===10,

即A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的10倍.

16.解析　(1)由loga3=m,loga2=n得am=3,an=2,因此am+2n=am·a2n=3×22=12.

(2)∵m+n=log32+1,∴loga3+loga2=loga6=log36,即a=3,因此x+x-1=3.

于是(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=5,

由0<x<1知x-x-1<0,

从而x-x-1=-,

∴x2-x-2=(x-x-1)(x+x-1)=-3.

能力提升练

1.A　f(lg 3)+f

=+=+

=+==1,故选A.

2.A　由等式2a=m,5b=m(m>0)两边取对数,

可得a=log2m,b=log5m,=logm2,=logm5,

所以+=logm2+logm5=logm10=2,可得m=,故选A.

3.答案　

解析　由a=log43,得4a=3,因此(2a)2=3,又2a>0,故2a=,因此2a+2-a=+=.

4.D　由lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的两个根,结合根与系数的关系得lg a+lg b=,lg a·lg b=-,而=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=-4×=,故选D.

5.B　依题意得logmx=,logmy=,

logm(xyz)=⇒logmx+logmy+logmz=.

∴logmz=--=.

因此logzm=60,故选B.

6.答案　0

解析　原式=×-log37×log732+log1212

=×-2log37×log73+1=1-2+1=0.

解题模板　对数式恒等变形的常用策略:一看底,底不同时用换底公式化不同底为同底;二看真数,利用对数的运算法则将真数进行适当变形.解题时还要考虑到对数恒等式及特殊值.

7.答案　

解析　原式=log26-log23-+(2-2

=log2-+21=1-+2=.

8.答案　

解析　由logab-=2,得到logab=3或logab=-1,则b=a3或b=.当b=a3时,aa=bb==,则a=3a3,而a>0,则a=,b=;当b=时,aa=bb==,则a=-,而a>0,所以无解,所以a+b=.

9.解析　原式=lg 53+lg 2(lg 5+lg 100)+(lg 2)2

=3lg 5+lg 2·lg 5+2lg 2+(lg 2)2

=3lg 5+2lg 2+lg 2(lg 5+lg 2)

=3lg 5+3lg 2=3lg 10=3.

10.解析　(1)log3+lg 25-+lg 4

=log327+(lg 25+lg 4)-

=+2-=1.

(2)原式=log34-log3+log38-

=log3-9

=log39-9=2-9=-7.

11.B　设经过x(x∈N*)年,该校全年投入的科研经费超过2 000万元,依题意得1 300×(1+0.12)x>2 000,即1.12x>,

因此x>≈=3.8,

又x∈N*,故x≥4,即从2023年起,该校全年投入的科研经费超过2 000万元,故选B.

12.答案　2;2

解析　lg 4+2lg 5=2lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2lg(2×5)=2lg 10=2.

由loga2=m得am=2,

由loga3=n得an=3,

∴=am·(an=2×=2.

13.解析　(1)××+lg -=××+lg 10-2-2=2-2-2=-2.

(2)(log25+log40.2)×(log52-log250.5)=×

=×

=log2×log52=×

=×=.