人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线学案

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2．已知双曲线，设左，右焦点分别为，，，在双曲线右支上存在一点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形，且所在直线与圆相切，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．2
3．已知为双曲线的右焦点，为双曲线右支上一点，且位于轴上方，为渐近线上一点，为坐标原点．若四边形为菱形，则双曲线的离心率
A．2B．3C．D．
4．有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为 ．
题组二 双曲线的渐近线及其应用
1．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为
A．4B．2C．D．
3．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且，则下列结论正确的是
A．双曲线的渐近线方程为
B．以为直径的圆的方程为
C．到双曲线的一条渐近线的距离为1
D．△的面积为1
4．已知为双曲线的右焦点，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率是 ．
题组三 直线与双曲线的位置关系
1．已知双曲线方程为，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，已知点，点，在双曲线上，且，则直线的斜率为
A．B．C．D．
3．已知，，点满足，记点的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）若直线过点且与轨迹交于、两点．
无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值．
在的条件下，求面积的最小值．
解析
题组一 双曲线性质的简单应用
1．【分析】根据双曲线的对称性，得到等腰中，为锐角，可得，将此式转化为关于、的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率的取值范围．
【解答】解：根据双曲线的对称性，得
中，，
是锐角三角形，即为锐角
由此可得中，，得
，
，即
两边都除以，得，解之得
双曲线的离心率
该双曲线的离心率的取值范围是
故选：．
2．【分析】根据双曲线的性质可得，由切线性质和勾股定理可得，故而可得出离心率．
【解答】解：设与圆相切于点，则，，
，，
，
又在抛物线上，左，右焦点分别为，，
，即，
，
离心率．
故选：．
3．【分析】画出图形，利用已知条件求解，坐标，利用点在双曲线上，化简求解离心率即可．
【解答】解：由题意为双曲线的右焦点，为双曲线右支上一点，且位于轴上方，为渐近线上一点，为坐标原点．若四边形为菱形，
可知，则，在双曲线上，可得，
可得，，
解得．
故选：．
4．【分析】可设为第一象限的点，，，运用椭圆和双曲线的定义，可得，，再由勾股定理，结合离心率公式，化简可得所求值．
【解答】解：可设为第一象限的点，，，
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得
可得，，
由，可得
，
即为，
化为，
则，
即有．
故答案为：2．
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日期：2021/11/10 21:12:43；用户：郭天军；邮箱：wcdezx37@xyh.cm；学号：26222372
题组二 双曲线的渐近线及其应用
1．【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．
【解答】解：椭圆的焦点坐标，，
则双曲线的焦点坐标为，，可得，
双曲线的一条渐近线方程为，
可得，即，解得，，
所求的双曲线方程为：．
故选：．
2．【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．
【解答】解：双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，
可得：，
可得，即，
所以双曲线的离心率为：．
故选：．
3．【分析】给出双曲线方程，可以得出的值，左右焦点的坐标，渐近线方程，由，得的横纵坐标的关系，再由在双曲线上，可求出的坐标．进而得命题的真假．
【解答】解：中双曲线，可得焦点在轴上，，，，是实半轴长，虚半轴长，
所以渐近线方程为即，所以 正确；
中，，可得左焦点，，右焦点，，所以以为直径的圆的圆心是，半径为，
所以圆的方程为，所以不正确；
中，，到一条渐近线为的距离，所以正确；
中，，设坐标，，，，，
①，又在双曲线上，所以②，由①②得，，
△，正确；
故选：．
4．【分析】求得双曲线的渐近线方程，结合直角三角形的性质，推出，关系，然后转化求解离心率即可．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
若，可得在直角三角形中，
由，
可得，
，，
．
故答案为：．
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日期：2021/11/10 21:18:42；用户：郭天军；邮箱：wcdezx37@xyh.cm；学号：26222372
题组三 直线与双曲线的位置关系
1．【分析】设弦的端点的坐标分别为，，，，代入双曲线的方程，作差，结合平方差公式和中点坐标公式、直线的斜率公式，可得弦所在直线的斜率，由点斜式方程可得所求直线方程．
【解答】解：以点为中点的双曲线的弦的端点的坐标分别为，，，，
可得，，
相减可得，
且，，
则弦所在直线的斜率，
可得弦所在的直线方程为，
即为．
故选：．
2．【分析】设，，，，由直线经过点，且直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立双曲线的方程，消去，可得的二次方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得的方程，解方程可得的值，进而求得直线的斜率．
【解答】解：设，，，，又，，
可得，
即有，①
由直线经过点，且直线的斜率存在且不为0，
可设直线的方程为，
联立双曲线，可得，
即有△，即，且，
，，②
由①②可得，，
可得，解得，
则直线的斜率为．
故选：．
3．【分析】（1）利用双曲线的定义及其标准方程即可得出；
（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，，，，，与双曲线方程联立消得，利用根与系数的关系、判别式解出即可得出．
利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出；
利用点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出．
【解答】解：（1）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，
由，，，
故轨迹的方程为．（3分）
（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，，，，，
与双曲线方程联立消得，，解得（5分）
．（7分），，
故得对任意的恒成立，
，解得．当时，．
当直线的斜率不存在时，由，及知结论也成立，
综上，当时，．（8分）
由知，，当直线的斜率存在时，，
点到直线的距离为，则
（10分）
令，则，因为
所以（12分）
当直线的斜率不存在时，（13分）
综上可知，故的最小值为9．（14分）
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