【新教材新高考】考点1 平面向量的数量积及其应用——2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

【新教材新高考】考点1 平面向量的数量积及其应用—2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

【答题技巧】

求平面向量数量积的方法：

（1）利用数量积的定义求解.在解题时要注意利用数形结合的方法.在求向量在另一个向量方向上的投影时，可转化为解三角形求解.

（2）基底法求解，即选择两个不共线的向量作为基底，将所要研究的向量用基底的形式表示出来加以研究，一般地，基底要选择长度且角度已知的向量.

（3）坐标法求解，即通过建立直角坐标系，将所要研究的向量转化为坐标来加以研究.一般地，所要研究的问题是一些特殊的几何图形，如矩形、正方形、直角三角形、等腰三角形、正三角形等，往往这些图形能很方便地建立直角坐标系.

1.已知在中，，动点M位于线段BC上，则的最小值为(   )

A.0 B. C. D.

2.向量与向量的向量积仍是向量，记作，它的模是，则(   )
A. B. C. D.0

3.在中，已知分别是BC边上的两个三等分点，则的值是(   )

A.5 B. C.6 D.8

4.已知在中，点P满足则(   )

A. B. C. D.

5.如图，在正方形ABCD中，边长为，E是BC边上的一点，，以A为圆心，AE为半径画弧交CD于点F，P是弧EF上（包括边界点）任一点，则的取值范围是              (   )
 

A. B. C. D.

6.已知，若关于m的不等式恒成立，则(   )

A. B. C. D.

7.在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心作单位圆，分别交AB，AD于E，F两点，点P是上一点，则的取值范围为(   )

A. B. C. D.

8.已知的半径为1，在⊙O上，且，若点C在劣弧上运动，则的取值范围是(   )

A. B. C. D.

9.已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是的平分线，I为PC上一点，满足，则的值为(   )

A.2 B.3 C.4 D.5

10.（多选）已知面积为的等边三角形ABC的内心为M，点N满足，则的值可能为(   )
A. B. C. D.

11.（多选）如图，已知四边形OAED，OCFB均为正方形，则下列说法正确的是(   )

A. B. C. D.

12.如图所示的平行四边形ABCD中，为DC的中点，则____________.
 

13.已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，M，N分别是BC，CD上的点（不含端点），且满足，则的取值范围是_______.

答案以及解析

1.答案：C

解析：因为在中，，所以，且，所以，所以当时，有最小值.

2.答案：A

解析： .故选A.

3.答案：C

解析：如图，设BC的中点为O，由，得，.又由已知得，故选C.
 

4.答案：A

解析：本题考查平面向量的数量积.因为所以又所以所以为等边三角形.取AC的中点为O，连接OB，分别以OA，OB所在直线为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则所以所以，所以故选A.

5.答案：B

解析：以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，设，则.由正方形的边长为，可知，设，则，，所以.由，得.
故选B.

6.答案：B

解析：本题考查向量的模、数量积，根据不等式恒成立求角的正弦值.因为，且关于m的不等式恒成立，所以，所以，整理得，所以，所以.又，所以.故选B.

7.答案：A

解析：本题考查平面向量的数量积运算.根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系如图.由题意可知.设点，则.又，则，所以，所以，即的取值范围为，故选A.

8.答案：B

解析：通解   由题意知，由可得，所以.设则因此.因为所以所以故.
优解   由题意知，由可得所以所以由图形可知所以所以.

9.答案：B

解析：由可得所以点I在的平分线上，又点I在的平分线上.所以点I是的内心.如图，作的内切圆，I为圆心，H，F是切点，连接HI，FI.因为所以在直角三角形BIH中，所以.故选B.
 

10.答案：ACD

解析：本题考查平面向量的数量积.依题意，，解得.设AB边的中点为D，则点M在CD上，且，点N在以M为圆心，1为半径的圆上..结合图形可知，，故.故选ACD.
 

11.答案：ACD

解析：因为所以因为四边形OAED，OCFB均为正方形，所以所以，故A正确；因为所以故D正确；从而可得B错误；因为故C正确.故选ACD.

12.答案：18

解析：.

13.答案：

解析：解法一：因为，所以，所以，.

由题意设，则，所以

.

因为，所以.

解法二：以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以.由题意知，则，可设，则，

，所以.

因为，所以.