必修5综合测评

全书综合测评

(满分:150分;时间:120分钟)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.不等式>0的解集为(　　)

A.

B.

C.

D.

2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,a=1,b=,则c=(　　)

A.1或2 B.2

C. D.1

3.已知-1,a,b,-5成等差数列,-1,c,-4成等比数列,则a+b+c=(　　)

A.-8 B.-6

C.-6或-4 D.-8或-4

4.在△ABC中,若2cos B·sin A=sin C,则△ABC的形状一定是(　　)

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

5.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著,在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问小儿多少岁,各儿岁数要详推.这位公公最小的儿子的年龄为(　　)

A.8岁 B.11岁 C.20岁 D.35岁

6.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(　　)

A.< B.>

C.> D.a|c|>b|c|

7.*已知变量x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为(　　)

A.2 B.6 C.8 D.11

8.已知{an}是等比数列,公比q=2,Sn为{an}的前n项和,记Tn=(n∈N*),设为数列{Tn}的最大项,则n0=(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

9.已知y=loga(2-ax)在(0,1)上是增函数,则不等式loga|x+1|>loga|x-3|的解集为(　　)

A.{x|x<-1} B.{x|x<1}

C.{x|x<1,且x≠-1} D.{x|x>1}

10.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a1 009a1 010=3,则log3+log3+…+log3的值为(　　)

A.2 018 B.-2 018 C.1 009 D.-1 009

11.在△ABC中,若asin A+bsin B-csin C=0,则圆O:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0的位置关系是(　　)

A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定

12.已知数列{an}满足a1=1,an∈Z,且an+1-an-1<3n+,an+2-an>3n+1-(n≥2,且n∈N*),则a2 019=(　　)

A. B.

C. D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)

13.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解,则k的取值范围是　　　　.

14.如图,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为　　　　.

15.+++…+等于　　　　.

16.已知△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是A,B,C的对边.若A=2B,则+的取值范围是　　　　.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且=.

(1)求角A的大小;

(2)若a=,求b+c的取值范围.

18.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.

(1)设bn=Sn-3n,求证:数列{bn}是等比数列;

(2)若an+1>an对任意n∈N*都成立,求实数a的取值范围.

19.(本小题满分12分)在凸四边形ABCD中,CD=2AD=2.

(1)若AB=,∠C=75°,∠D=60°,求sin B的大小;

(2)若AB=2,BC=3且∠A-∠C=,求四边形ABCD的面积.

20.*(本小题满分12分)已知点(x,y)是不等式组(n∈N*)表示的平面区域内的点,目标函数z=x+y,z的最大值记作zn.若数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且点(Sn,an)在直线zn=x+y上.

(1)证明:数列{an-2}为等比数列;

(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.

21.(本小题满分12分)某投资商到一开发区投资72万元建一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设f(n)(万元)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).

(1)该厂从第几年起开始盈利?

(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:①年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂.问哪种方案更合算?

22.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,设bn=an+1-2an.

(1)证明数列{bn}是等比数列;

(2)数列{cn}满足cn=(n∈N*),设Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1,若对一切n∈N*不等式4mTn>(n+2)cn恒成立,求实数m的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.A　∵>0,

∴<0,解得<x<,

即不等式>0的解集为,故选A.

2.B　∵B=2A,a=1,b=,∴由正弦定理得===,

∴cos A=,

由a2=b2+c2-2bccos A,得1=3+c2-3c,

解得c=2或c=1(经检验不合题意,舍去),∴c=2,故选B.

3.D　由于-1,a,b,-5成等差数列,则a+b=(-1)+(-5)=-6.

又-1,c,-4成等比数列,则c2=(-1)×(-4)=4,∴c=±2.

当c=-2时,a+b+c=-8;当c=2时,a+b+c=-4.因此,a+b+c=-8或-4.

4.C　∵2sin Acos B=sin(A+B)+sin(A-B),且2sin Acos B=sin C,sin(A+B)=sin C,

∴sin(A-B)=0.∴A=B.∴△ABC为等腰三角形,又无法判断△ABC是不是直角三角形、等边三角形,∴△ABC一定为等腰三角形.

5.B　由题意知,九个儿子的年龄成等差数列,公差为3.记最小的儿子年龄为a1岁,则S9=9a1+×3=207,解得a1=11.

6.C　∵a>b,>0,

∴>,故选C.

7.D　作出变量x,y满足的约束条件的可行域,如图,

由z=3x+y知,y=-3x+z,所以当直线y=-3x+z过点A时,纵截距z取得最大值.

由得A(3,2),

故zmax=3×3+2=11.

8.A　由题易得Sn==a1(2n-1),S2n==a1(22n-1),an+1=a1·2n,

∴Tn===17-≤17-2=17-8=9,

当且仅当2n=,即n=2时取等号,∴数列{Tn}的最大项为T2,则n0=2,故选A.

9.C　因为a>0,且a≠1,所以y=2-ax为减函数.

又因为y=loga(2-ax)在(0,1)上是增函数,

所以0<a<1,则y=logax为减函数.

所以|x+1|<|x-3|,且x+1≠0,x-3≠0.

由|x+1|<|x-3|,得(x+1)2<(x-3)2,即x2+2x+1<x2-6x+9,解得x<1.

又x≠-1,且x≠3,

所以解集为{x|x<1,且x≠-1}.

10.D　各项均为正数的等比数列{an}中,若a1 009a1 010=3,则根据等比数列的性质得a1 009a1 010=a1a2 018=a2a2 017=a3a2 016=…=3,

∴log3+log3+…+log3

=log3

=log3

=log3=-1 009.

11.A　因为asin A+bsin B-csin C=0,所以a2+b2-c2=0,所以圆心O(0,0)到直线l:ax+by+c=0的距离d==1,所以圆O:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0相切,故选A.

12.B　∵an+1-an-1<3n+(n≥2,且n∈N*),∴an+2-an<3n+1+,

又∵an+2-an>3n+1-,

∴3n+1-<an+2-an<3n+1+,

∵an∈Z,∴an+2-an∈Z,∴an+2-an=3n+1,

于是得到a3-a1=32,a5-a3=34,……,a2 019-a2 017=32 018,

上述所有等式全部相加得a2 019-a1=32+34+…+32 018==,

因此,a2 019=a1+=.

二、填空题

13.答案　(-∞,2]∪[4,+∞)

解析　因为x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解,所以把x=1代入不等式得k2-6k+8≥0,解得k≥4或k≤2.

14.答案　3a km

解析　由题意知,∠ACB=120°,

∴由余弦定理得AB2=3a2+3a2-2a×a×cos 120°=9a2,

∴AB=3a km.

15.答案　

解析　原式=.

令Tn=+++…+,两边同乘,得Tn=+++…+,

两式相减得Tn=++…+-,

则Tn=3--=3-.

∴原式=.

16.答案　

解析　∵A=2B,A+B+C=π,∴C=π-3B.

∵△ABC是锐角三角形,

∴解得<B<.

由正弦定理得,====2cos B,由<B<,

得<cos B<,即<<.

令t=,则t∈(,).∴+=t+,设g(t)=t+,则g(t)在t∈(,)上单调递增.

∴g(t)∈,即+的取值范围是.

三、解答题

17.解析　(1)∵=,

∴asin C=ccos A+2c,

∴由正弦定理可得sin Asin C=sin Ccos A+2sin C,

∵sin C≠0,∴sin A=cos A+2,整理,得sin=1,

∵A∈(0,π),∴A-∈,

∴A-=,∴A=.

(2)∵A=,a=,∴由正弦定理可得===2,

∴b+c=2sin B+2sin C=2sin B+2sin=sin B+cos B=2sin,

∵B∈,∴B+∈,∴sin∈,

∴b+c=2sin∈(,2].

18.解析　(1)证明:由an+1=Sn+3n得Sn+1-Sn=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,所以Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即=2.

所以{bn}是首项为b1=a-3,公比为2的等比数列,∴bn=(a-3)·2n-1.

(2)由(1)知Sn-3n=(a-3)·2n-1,∴Sn=(a-3)·2n-1+3n,

则an+1=Sn+3n=(a-3)·2n-1+2·3n,

∴an=(a-3)·2n-2+2·3n-1(n≥2).

由an+1>an,得(a-3)·2n-1+2·3n>(a-3)·2n-2+2·3n-1,即<(n≥2)恒成立.

因为函数y=在R上单调递增,所以<,解得a>-9.

而当n=1时,a2=a1+3,a2-a1=3>0成立.

又a≠3,

故a∈(-9,3)∪(3,+∞).

19.解析　(1)连接AC.

在△ACD中,AD=1,CD=2,∠D=60°.

由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos D=3,∴AC=(负值舍去).

∴AC2+AD2=CD2,∴∠DAC=90°,∴∠DCA=30°,∴∠ACB=75°-30°=45°.

在△ABC中,由正弦定理得=,∴sin B==.

(2)连接BD.

在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=5-4cos A.

又∠A-∠C=,∴cos A=cos=-sin C,∴BD2=5+4sin C.

在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C.

∴5+4sin C=13-12cos C,即sin C+3cos C=2.

又sin2C+cos2C=1,∴cos C=.

∵C为锐角,∴sin C=2-3cos C>0,

∴cos C<,

∴cos C=,sin C=2-3cos C=.

∴四边形ABCD的面积为AB·ADsin A+BC·DCsin C=sin A+3sin C=sin+3sin C=3sin C+cos C=.

20.解析　(1)证明:由已知得,当直线y=-x+z过点(2n,0)时,目标函数取得最大值,故zn=2n.

∵(Sn,an)在直线zn=x+y上,

∴Sn+an=2n,①

∴Sn-1+an-1=2(n-1),n≥2,②

①-②得,2an-an-1=2,n≥2,

∴an-1=2an-2,n≥2.

又∵===,n≥2,且a1-2=-1,

∴数列{an-2}是以-1为首项,为公比的等比数列.

(2)由(1)得an-2=-,

∴an=2-.

∵Sn+an=2n,

∴Sn=2n-an=2n-2+,

∴Tn=++…+

=[0+2+…+(2n-2)]+

=+

=n2-n+2-.

21.解析　(1)由题意知f(n)=50n--72=-2n2+40n-72,

令f(n)>0,得-2n2+40n-72>0,解得2<n<18,由n∈N*知,从第三年起开始盈利.

(2)方案①:年平均纯利润为=40-2≤40-2·2=40-2×2=16,当且仅当n=,即n=6时,等号成立.

故方案①共获利6×16+48=144(万元),此时n=6.

方案②:由(1)得f(n)=-2(n-10)2+128,所以当n=10时, f(n)max=128.故方案②共获利128+16=144(万元),此时n=10.

比较两种方案,获利都是144万元,但由于第①种方案只需6年,而第②种方案需10年,故选择第①种方案更合算.

22.解析　(1)证明:因为Sn+1=4an+1,①

所以当n≥2时,Sn=4an-1+1.②

①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2,且n∈N*).

所以an+1-2an=2(an-2an-1).

又bn=an+1-2an,

所以bn=2bn-1.

因为a1=1,且a1+a2=4a1+1,

所以a2=3a1+1=4.

所以b1=a2-2a1=2.

故数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列.

(2)由(1)可知bn=2n,则cn==(n∈N*).

Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1

=+++…+

=-+-+-+…+-

=-

=.

由4mTn>(n+2)cn,得>,

即m>,

所以m>=1+=1++对于一切n∈N*恒成立.

设f(x)=1++,x≥1.

可知f(x)在[1,+∞)为减函数,

又f(1)=,

所以当n∈N*时,有f(n)≤f(1).

所以m>.