高中数学人教版新课标A选修2-1第一章 常用逻辑用语综合与测试免费同步达标检测题

本章复习提升

易混易错练

易错点1　对含有逻辑联结词的命题的否定理解不清而致错

1.(★★☆)已知全集U=R,A⊆U,B⊆U,若命题r:a∈A∪B,则命题¬r为(　　)

A.a∈A 

B.a∈∁UB

C.a∉A∩B 

D.a∈(∁UA)∩(∁UB)

2.(★★☆) 命题“若ab≠0,则a,b都不为零”的逆否命题是　　　　　　　　　　. 

易错点2　混淆命题的否定与否命题

3.(★★☆)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是(　　)

A.所有不能被2整除的数都是偶数

B.所有能被2整除的数都不是偶数

C.存在一个不能被2整除的数是偶数

D.存在一个能被2整除的数不是偶数

4.(★★☆)命题“若a>b,则ac2>bc2(a,b∈R)”的否命题的真假性为　　　　.(填“真”或“假”) 

5.(★★☆)请写出下列命题的否命题和命题的否定.

(1)若|x|+|y|=0,则x=y=0;

(2)若x2-3x-4≤0,则-1≤x≤4.

易错点3　条件判定不全面而致错

6.(2018山东潍坊重点高中联考,★★☆)毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗“不到长城非好汉,屈指行程二万”,假设诗句的前一句为真命题,则“到长城”是“好汉”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.(★★☆) 已知p:|x-6|≤4,q:a-1≤x≤a+1,a∈R,且p是q成立的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 

易错点4　忽视等价命题的应用而致漏解或无解

8.(★★☆)若“a≥b⇒c>d”和“a<b⇒e≤f ”都是真命题,则“c≤d”是“e≤f ”的　　　　条件(填“充分”或“必要”). 

9.(★★★)已知命题“∀x∈[1,2], x2-2ax+1≤0”是假命题,则实数a的取值范围为　　　　. 

易错点5　对含量词的命题理解不充分致错

10.(2018湖南、江西等十四校高三二联,★★☆)已知命题p:∀x∈R, log2(x2+2x+3)>1;命题q:∃x0∈R,sin x0>1,则下列命题中为真命题的是(　　)

A.(¬p)∧(¬q) B.p∧(¬q)

C.(¬p)∧q    D.p∧q

易错点6　忽视对命题的讨论而致错

11.(★★★)已知p:∃x∈R,cos 2x-sin x+2≤m;q:函数f(x)=在[1,+∞)上单调递减.

(1)若p∧q为真命题,求m的取值范围;

(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求m的取值范围.

思想方法练

一、数形结合思想在研究命题、判定充分条件与必要条件中的应用

1.(★★☆)已知全集U和集合A,B,则A∩B=A是∁UA⊇∁UB的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.(★★☆)记不等式组表示的平面区域为D,命题p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.给出四个命题:①p∨q;②(¬p)∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∧(¬q),其中真命题的序号是(　　)

A.①③ B.①② 

C.②③ D.③④

3.(★★☆)南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上做出了突出的贡献,他提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图,夹在两个平行平面间的两个几何体的体积分别为V1,V2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1,S2,则“V1,V2相等”是“S1,S2总相等”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.(★★★)若命题“∀x∈R,|x-2|>kx+1”为真,则k的取值范围是　　　　. 

二、转化与化归思想在研究命题中的应用

5.(2018山东滨州期中,★★☆)下列说法正确的是(　　)

A.命题“3能被2整除”是真命题

B.命题“∃x0∈R,使得-x0-1<0”的否定是“∀x∈R,x2-x-1>0”

C.命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题

D.命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆否命题是假命题

6.(★★☆)设p:2x2-3x+1≤0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p是¬q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　)

A.               B.

C.(-∞,0]∪   D.(-∞,0)∪

三、分类讨论思想在研究含参数命题中的应用

7.(★★★)已知a>0,命题p:函数y=ax为减函数.命题q:当x∈时,函数f(x)=x+>恒成立,如果p或q为真命题,p且q为假命题,求a的取值范围.

8.(★★★)已知p:≤-1,q:x2-x<a2-a,a为常数.若¬q的一个充分不必要条件是¬p,求实数a的取值范围.

答案全解全析

易混易错练

1.D　易知¬r:a∈∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).故选D.

2.答案　若a,b中至少有一个为零,则ab=0

解析　“ab≠0”的否定是“ab=0”,“a,b都不为零”的否定是“a,b中至少有一个为零”,因此逆否命题为“若a,b中至少有一个为零,则ab=0”.

3.D　全称命题的否定为相应的特称命题,即将“所有”变为“存在”,并且将结论进行否定.

4.答案　真

解析　否命题为“若a≤b,则ac2≤bc2”.

若c=0,则结论成立.若c≠0,则c2>0,不等式ac2≤bc2也成立,故否命题为真命题.

5.解析　(1)否命题:若|x|+|y|≠0,则x,y中至少有一个不为0;

命题的否定:若|x|+|y|=0,则x,y中至少有一个不为0.

(2)否命题:若x2-3x-4>0,则x<-1或x>4;

命题的否定:若x2-3x-4≤0,则x<-1或x>4.

6.B　解法一:由“不到长城非好汉”可知,要想为“好汉”必须“到长城”,因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.

解法二:设¬p为不到长城,推出¬q:非好汉,即¬p⇒¬q,由原命题与其逆否命题等价可知q⇒p,即好汉⇒到长城,故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.故选B.

7.答案　[3,9]

解析　由|x-6|≤4,即-4≤x-6≤4,得2≤x≤10,∴p:2≤x≤10.

由于p是q成立的必要不充分条件,则[a-1,a+1]⫋[2,10],所以且等号不同时成立,

解得3≤a≤9,因此,实数a的取值范围是[3,9].

8.答案　充分

解析　因为“a≥b⇒c>d”为真命题,所以它的逆否命题“c≤d⇒a<b”是真命题,又“a<b⇒e≤f ”也是真命题,所以“c≤d⇒a<b⇒e≤f ”.故“c≤d”是“e≤f ”的充分条件.

9.答案　

解析　由已知得命题“∃x0∈[1,2],-2ax0+1>0”是真命题,

所以2a小于x0+在[1,2]内的最大值,

由y=x0+在[1,2]上单调递增,可得x0+在[1,2]上的最大值为,

所以2a<,得a<,

则实数a的取值范围为.

10.A　因为x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,

所以log2(x2+2x+3)≥1,

故p为假命题,¬p为真命题,

因为∀x∈R,sin x≤1,

所以命题q:∃x0∈R,sin x0>1为假命题,

¬q为真命题,所以(¬p)∧(¬q)为真命题,故选A.

11.解析　若p为真,

令g(x)=cos 2x-sin x+2,则m≥g(x)min,

又g(x)=cos 2x-sin x+2=-2sin2x-sin x+3,

-1≤sin x≤1,

所以sin x=1时,g(x)min=0,

所以m≥0.

若q为真,

函数f(x)=在[1,+∞)上单调递减,

则≤1,所以m≤4.

(1)若p∧q为真,则p,q均为真,所以m∈[0,4].

(2)若p∨q为真,p∧q为假,则p,q一真一假,即或所以m>4或m<0.

所以m的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞).

思想方法练

1.C　 A∩B=A⇔A⊆B,画出Venn图如图,由图可得∁UA⊇∁UB,反之也成立.

2.A　 平面区域D为图中阴影部分,由解得即A(2,4),

观察可知,直线2x+y=9与直线2x+y=12均过区域D,

则p真q假,¬p假,¬q真,所以①③是真命题.故选A.

3.B　 由祖暅原理知,若S1,S2总相等,则V1,V2相等成立,即必要性成立.

当V1,V2相等时,不妨设两个几何体为图中长方体ABCD-A1B1C1D1内的三棱锥A-A1B1D1和B1-BCD,

此时满足“V1,V2相等”,但是被平行于上,下底面的平面所截,不满足“S1,S2总相等”,即充分性不成立,

综上,“V1,V2相等”是“S1,S2总相等”的必要不充分条件.

4.答案　

解析　设y1=|x-2|,其图象如图,为射线BA,BF.

设y2=kx+1,表示恒过点C(0,1)的一簇不与x轴垂直的直线,

要使|x-2|>kx+1对任意x∈R恒成立,

只需y1的图象永远在y2的图象的上方,

当y2的图象处于BC位置时不满足题意,直线BC的斜率k1=-,

当y2的图象处于l位置时,此时与直线AB平行,满足题意,直线l的斜率k2=-1,

所以直线y2绕着点C旋转于直线BC(不包括直线BC)和直线l(包括直线l)之间,均可满足题意,所以k的取值范围是.

5.C　对于A,“3能被2整除”是假命题,故A不正确;对于B,命题“∃x0∈R,使得-x0-1<0”的否定是“∀x∈R,x2-x-1≥0”,故B不正确;对于C,“47是7的倍数或49是7的倍数”是“p或q”的形式,其中p:“47是7的倍数”为假命题;q:“49是7的倍数”为真命题,故命题“47是7的倍数或49是7的倍数”为真命题,故C正确;对于D,命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”为真命题,由原命题与逆否命题的等价性,知其逆否命题也为真命题,故D不正确.故选C.

6.A　由题意可得:

p对应集合A=,

q对应集合B={x|a≤x≤a+1},

∵¬p是¬q的必要不充分条件,∴q是p的必要不充分条件,

∴A⫋B,∴a+1≥1且a≤,∴0≤a≤.

7.解析　由a>0,命题p:函数y=ax为减函数,可得0<a<1.

命题q:当x∈时,函数f(x)=x+>恒成立,

∴<,

又x∈时,函数f(x)=x+≥2=2,当且仅当x=1时取等号,

∴<2,又a>0,∴a>.

∵p或q为真命题,p且q为假命题,∴p,q中必然一个为真命题一个为假命题.

①当p真q假时,

解得0<a≤,∴a的取值范围是.

②当q真p假时,

解得a≥1,∴a的取值范围是[1,+∞).

综上,a的取值范围为∪[1,+∞).

8.解析　p中的不等式等价为或即或

得-3≤x<1,即p:-3≤x<1.

由x2-x<a2-a,得x2-x-(a2-a)<0,

即x2-x-a(a-1)<0,

得(x-a)(x+a-1)<0,

对应方程(x-a)(x+a-1)=0的根为x=a或x=1-a.

①当a>1-a,即a>时,不等式的解集为{x|1-a<x<a};

②当a=1-a,即a=时,不等式等价为<0,无解;

③当a<1-a,即a<时,不等式的解集为{x|a<x<1-a}.

∵¬q的一个充分不必要条件是¬p,

∴p的一个充分不必要条件是q.

设p对应的集合为A,q对应的集合为B,则满足B⫋A.

①当a>时,满足即

解得<a≤1;

②当a=时,B=⌀,满足B⫋A;

③当a<时,满足即

解得0≤a<.

综上,实数a的取值范围是[0,1].