高中数学人教版新课标A选修2-1第二章 圆锥曲线与方程综合与测试课时作业

专题强化练4　圆锥曲线中的范围、最值问题

一、选择题

1.(2019安徽淮北一中高二期末,★★☆)已知点A(0,-2),B(0,2)及抛物线x2=4y,若抛物线上的一点P满足|PA|=λ|PB|,则λ的最大值为(　　)

A.3  B.2  

C.  D.

2.(2019河南安阳高三调研,★★★)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点N的坐标为.若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|+|MN|>4b,则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)

A. 

B.(,)

C.∪(,+∞) 

D.(1,)∪(,+∞)

3.(★★★)已知点P(x,y)是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上任意一点,则||+x的最小值为(　　)

A.5 B.4 

C.3 D.2

二、填空题

4.(2018山西质检,★★☆)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点,若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为　　　　. 

三、解答题

5.(2018海南联考,★★★)已知椭圆C1,抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心与C2的顶点均为原点O,从C1,C2上分别取两个点,将其坐标记录于下表中:

(1)求C1,C2的标准方程;

(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C1交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过定点G,求实数k的取值范围.

6.(2018天津静海第一中学月考,★★★)设椭圆C:+=1(a>b>0),定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=,若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合,且椭圆C的短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.

(1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程;

(2)过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l,与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点.

①证明:∠AOB的大小为定值;

②连接PO并延长,交“相关圆”E于另一点Q,求△ABQ的面积的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.C　设P(x,y),则x2=4y,

由|PA|=λ|PB|,得λ2====1+.

∵y>0,∴y+≥4,∴λ2=1+≤3,当且仅当y=2时取等号.

∴λ的最大值为.

2.C　由已知可得|MF2|-|MF1|=2a,

若|MF2|+|MN|>4b,

则|MF1|+|MN|+2a>4b,

如图所示,当点M位于H点时,|MF1|+|MN|取得最小值,为,

故+2a>4b,即3b2+4a2>8ab,

∴3b2-8ab+4a2>0,即(2a-b)(2a-3b)>0,

∴2a>3b或2a<b,∴4a2>9b2或4a2<b2,

∴9c2<13a2或c2>5a2,∴1<<或>,∴双曲线C的离心率的取值范围为∪(,+∞).

3.C　设抛物线y2=4x的焦点为F,则F(1,0),准线方程为x=-1,

圆C:(x+2)2+(y-4)2=1的圆心为C(-2,4),半径r=1,

P到抛物线准线的距离d=|PF|,|FC|==5,

根据抛物线的定义,可得点P到y轴的距离为d-1,即x=d-1,则|PQ|+x=|PQ|+|PF|-1.

如图,当C,Q,P,F四点共线时,|PQ|+x取得最小值,

所以(|PQ|+x)min=|FC|-r-1=5-1-1=3,故选C.

二、填空题

4.答案　

解析　直线x-y+1=0与双曲线x2-y2=1的一条渐近线x-y=0平行,这两条平行线之间的距离为,又P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点,点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则c≤,即实数c的最大值为.

三、解答题

5.解析　(1)设抛物线C2的方程为y2=2px(p≠0),则有=2p(x≠0),

据此验证4个点,知点(3,-2),(4,-4)在抛物线C2上,此时2p=4,

所以C2的方程为y2=4x.

设椭圆C1的方程为+=1(a>b>0),把(-2,0),分别代入得解得

所以C1的方程为+=1.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),将y=kx+m(k≠0)代入椭圆方程,

消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,

所以Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,

即m2<4k2+3.①

由根与系数的关系,得x1+x2=-,

则y1+y2=,

所以线段MN的中点P的坐标为.

易知线段MN的垂直平分线l'的方程为y=-,

由点P在直线l'上,

得=-,

即4k2+8km+3=0,所以m=-(4k2+3).②

由①②得<4k2+3,解得k2>,

即k<-或k>,

所以实数k的取值范围是∪.

6.解析　(1)因为抛物线y2=4x的焦点(1,0)与椭圆C的一个焦点重合,所以c=1.

又因为椭圆C的短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形,所以b=c=1,a2=b2+c2=2.

故椭圆C的方程为+y2=1,

“相关圆”E的方程为x2+y2=.

(2)①证明:当直线l的斜率不存在时,不妨设直线AB的方程为x=,

则A,B,

所以∠AOB=.

当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立,得方程组消去y,得x2+2(kx+m)2=2,

即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,

Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2-m2+1)>0,

即2k2-m2+1>0.

由根与系数的关系,得

因为直线l与“相关圆”E相切,

所以d===,

所以3m2=2+2k2,

所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=-+m2==0,

所以⊥,所以∠AOB=.

综上,∠AOB的大小为定值.

②因为PQ是“相关圆”的直径,所以S△ABQ=|AB|·|PQ|=|AB|,所以要求S△ABQ面积的取值范围,只需求弦长|AB|的取值范围.

当直线AB的斜率不存在时,由①知|AB|=.

当直线AB的斜率存在时,

|AB|=

=

=

=,

当k≠0时,|AB|=.

因为4k2++4≥8,

所以0<≤,

所以<≤3,

所以<|AB|≤,

当且仅当k=±时取“=”.

当k=0时,|AB|=.

综上,|AB|的取值范围是,

故△ABQ的面积的取值范围是.